水蒸氣在霜層中擴(kuò)散的分形模型

蔡亮，侯普秀，虞維平，張小松

(1. 東南大學(xué) 能源與環(huán)境學(xué)院，江蘇 南京，210096;2. 華南理工大學(xué) 機(jī)械及汽車工程學(xué)院，廣東 廣州，510641)

目前，結(jié)霜現(xiàn)象得到廣泛重視[1-3]。結(jié)霜問題的研究重點(diǎn)之一是對霜層物理性質(zhì)進(jìn)行研究，包括水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散。水蒸氣通過擴(kuò)散進(jìn)入霜層并凝結(jié)為冰晶體，其中一部分用于增加霜層的密度，另一部分用于增加霜層的厚度。關(guān)于水蒸氣在霜層中的擴(kuò)散模型，Brian等[4]將傳統(tǒng)擴(kuò)散理論應(yīng)用于結(jié)霜現(xiàn)象中，但沒有考慮霜層是一種固體邊界不斷生長變化的多孔介質(zhì)；Tao等[5]在其模型中引入了1個參數(shù)來研究除了孔隙率之外的其他因素對擴(kuò)散過程的影響，但這個模型的計算結(jié)果不能體現(xiàn)出通道彎曲的影響；Auracher[6]研究了結(jié)霜過程中水蒸氣在毛細(xì)管中的擴(kuò)散過程，據(jù)所建立的模型得出曲折的通道反而加強(qiáng)了水蒸氣的擴(kuò)散，這與事實不符。近年來，分形理論得到廣泛應(yīng)用[7-11]，不少研究者將分形理論引入到多孔介質(zhì)傳熱傳質(zhì)的研究中來[9-11]，并取得了一定的進(jìn)展。本文將以侯普秀等[12]的研究為基礎(chǔ)，分析不同孔隙率下水蒸氣擴(kuò)散通道的彎曲特性，進(jìn)而獲得水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散系數(shù)。本文暫不考慮熱擴(kuò)散效應(yīng)，并假定水蒸氣的擴(kuò)散遵循Fick定律。

1 水蒸氣在霜層中的擴(kuò)散模型

1.1 霜層對水蒸氣擴(kuò)散過程的影響

霜層對于水蒸氣的擴(kuò)散起到了阻礙作用，主要表現(xiàn)在2個方面：(1) 水蒸氣通道面積減??；(2) 使水蒸氣擴(kuò)散的通道存在一定的彎曲，因此，水分子運(yùn)動的路徑變長，擴(kuò)散變得緩慢。水蒸氣擴(kuò)散通道示意圖如圖 1所示，其中：L0為水分子自由飛行的距離；cv1和cv2為水蒸氣濃度；Nv為擴(kuò)散通量。

假定各擴(kuò)散通道的橫截面積不變，水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散系數(shù)可以表示為：

圖1 水蒸氣擴(kuò)散通道示意圖Fig.1 Schematic diagrams of water vaper diffusion alleyway

其中：Deff為有效擴(kuò)散系數(shù)；Dva為水蒸氣對空氣的擴(kuò)散系數(shù)；dx為水蒸氣濃度梯度方向的距離；ds為水蒸氣擴(kuò)散所經(jīng)過的實際路徑；ε為霜層的孔隙率；Av為孔隙面積；At為截面的總面積。

不僅孔隙率會對擴(kuò)散過程有影響，孔隙的分布以及通道軸線的彎曲也對擴(kuò)散過程有影響。為此，需要采用一些結(jié)構(gòu)參數(shù)來表征孔隙的分布情況以及通道軸線的彎曲程度。侯普秀等[12]的研究結(jié)果表明：冰晶體的分布在一定直徑范圍內(nèi)(λmin＜λ＜λmax，λmin和λmax分別為孔隙的最小直徑和最大直徑)具有分形特征，其分形維數(shù)隨著霜層的生長過程而變化。本文作者采用孔隙分形維數(shù)df以及軸線分形維數(shù)ds來表征上述因素對擴(kuò)散過程的影響。

1.2 水蒸氣在霜層中擴(kuò)散的通道

水蒸氣在霜層中擴(kuò)散通道的軸線具有分形特征，其長度可以用如下形式表示[4]：

其中：ds為通道軸線的分形維數(shù)，ds＞1；L(λ)為水分子在直徑為λ的通道軸線擴(kuò)散經(jīng)過的距離；L0為水分子在此兩端自由飛行的距離。

由式(2)可以看出：直徑較大的通道本身擴(kuò)散面積較大，且擴(kuò)散通道彎曲程度較小，水蒸氣在其中的擴(kuò)散路徑較短。而直徑較小的通道本身擴(kuò)散面積小，且彎曲程度較大，水蒸氣在其中的擴(kuò)散路徑較長。因此，直徑較大的通道其水蒸氣的質(zhì)量流量較大，在擴(kuò)散中起主要作用；而小直徑的通道則起一定的輔助擴(kuò)散作用。

1.3 有效擴(kuò)散系數(shù)的計算

考慮如圖 1(a)所示的擴(kuò)散截面，其孔隙數(shù)服從如下關(guān)系[13]：

其中：N為孔隙數(shù)；λ為通道直徑；df為孔隙分形維數(shù)；λmax為孔隙最大直徑。采用式(3)在計算小孔隙時，對前面的大孔隙采用小直徑分割后進(jìn)行了計數(shù)。以標(biāo)準(zhǔn)的分形結(jié)構(gòu) Sierpinski地毯為例，其二級孔隙會將一級孔隙作為9個二級孔隙來計算。

Mandelbrot[14]認(rèn)為，對式(3)微分即可求得λ～dλ間孔隙數(shù)。但實際上這個數(shù)目包含了對大孔隙的重復(fù)計數(shù)，以圖 1(a)為例，計算二級孔隙時會將一級孔隙當(dāng)作9個二級孔隙計數(shù)，計算三級孔隙時會將1級孔隙作為27個三級孔隙，將二級孔隙作為9個三級孔隙，依此類推。為此，在計算孔隙數(shù)時需要加入修正項(λ/λmax)2，修正后的結(jié)果為：

所有孔隙中單位時間內(nèi)擴(kuò)散通量為：

其中：Dva為水蒸氣在空氣中的擴(kuò)散系數(shù)；ΔC為濃度差；λmin為最小孔隙直徑。

當(dāng)df=2，ds=1時，意味著此時沒有霜晶體存在，孔隙率為100%，擴(kuò)散沒有受到擴(kuò)散面積變小以及通道彎曲的影響。此時，最大孔隙，式(6)還原為常見的形式。Yu等[15]證明了有如下公式成立：

其中：d為歐氏空間維數(shù)。對于實際多孔介質(zhì)，式(7)近似成立。將式(7)代入式(6)，考慮求解擴(kuò)散系數(shù)的公式，可得有效擴(kuò)散系數(shù)的表達(dá)式：

2 計算結(jié)果及討論

式(8)中有 3個未定參數(shù)，即λmax，λmin以及ds，其中：λmax和λmin分別為At中最大以及最小孔隙直徑；ds為通道軸線的分形維數(shù)。由式(2)可知，當(dāng)λmin小到一定程度時，通道截面非常小，且這種孔隙彎曲程度非常嚴(yán)重，故水蒸氣在其中的擴(kuò)散通量很少，對計算結(jié)果影響很小。當(dāng)ε=0時，意味著空間全部被冰晶體所占據(jù)，λmax=0，此時，可以認(rèn)為通道軸線遍歷了二維平面上所有的點(diǎn)，因此，ds=2；當(dāng)ε=1時，空間中不存在冰晶體，。假定λmax以及ds與ε存在線性關(guān)系，即可求得不同孔隙率下水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散系數(shù)。圖2所示為本模型與其他模型計算結(jié)果的對比。

圖2 本文模型與其他模型的對比結(jié)果Fig.2 Compared with model in this paper and other models

由于霜層生長過程復(fù)雜，目前很難采用實驗方法來測定水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散系數(shù)。目前，大多數(shù)研究者認(rèn)為水蒸氣的擴(kuò)散與霜層的孔隙率緊密相關(guān)。然而，從圖2可以看出：當(dāng)孔隙率相同時，由于所建立的模型不同，計算得到的擴(kuò)散系數(shù)也各不相同。這充分說明除了孔隙率之外，還有其他因素影響水蒸氣在霜層中的擴(kuò)散，這個因素就是霜層的結(jié)構(gòu)。

圖2中曲線1是Brian等[4]在考慮霜層在冷壁面上沉積時采用的模型。這個模型將傳統(tǒng)擴(kuò)散理論應(yīng)用于結(jié)霜現(xiàn)象中，認(rèn)為水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散系數(shù)與孔隙率相關(guān)，水蒸氣擴(kuò)散路徑的彎曲采用界于1.1～1.3的曲折因子來表示。對于固體骨架固定的多孔介質(zhì)，選取適當(dāng)?shù)那垡蜃?，理論分析結(jié)果與實際情況比較吻合。但霜層是一種固體邊界不斷生長變化的多孔介質(zhì)，水蒸氣擴(kuò)散的路徑也不斷變化，而這一點(diǎn)在這個模型中沒有得到體現(xiàn)。此外，當(dāng)ε=1時，意味著水蒸氣在空氣中擴(kuò)散，應(yīng)有Deff=Dav，而本模型的計算結(jié)果顯示Deff＜Dav。

Tao等[5]在其模型中，引入了另一個參數(shù)來考慮除了孔隙率之外的其他因素(包括所謂的hand-to-hand過程)對擴(kuò)散過程的影響。這個表達(dá)式的最大缺點(diǎn)就在于這個參數(shù)值難以確定，往往需要根據(jù)實際情況來使用不同的值。圖2中曲線3是該參數(shù)為0時的計算結(jié)果。從計算曲線可以看出：在ε=1以及ε=0時，采用這個模型所得結(jié)果與實際結(jié)果相符，但這個模型最大的缺點(diǎn)就是計算結(jié)果中沒有體現(xiàn)出通道彎曲的影響。圖2中曲線2是 Auracher[6]在研究了霜層結(jié)構(gòu)以及結(jié)霜過程中水蒸氣在毛細(xì)管中的擴(kuò)散過程而得到的結(jié)論，這個模型的計算結(jié)果大于曲線3所示結(jié)果，也就是說，曲折的通道反而加強(qiáng)了水蒸氣的擴(kuò)散，這明顯與事實不符。

曲線4為由本模型所得到的結(jié)果?？梢钥闯觯寒?dāng)孔隙率較小時，曲線上升比較緩慢，表明此時孔隙尺度相對較小，通道彎曲程度較大，孔隙尺度的輕微變化對有效擴(kuò)散系數(shù)影響?。划?dāng)孔隙率較高時，孔隙尺度的增加有可能將多個較小的孔隙合并為大孔隙，從而使彎曲程度急劇減小，有效擴(kuò)散系數(shù)迅速上升。本模型在ε=1以及ε=0時所得結(jié)果與曲線3所示結(jié)果相同，其余計算點(diǎn)的結(jié)果始終小于曲線3所示結(jié)果，表明通道的彎曲始終阻礙了水蒸氣的擴(kuò)散。因此，從理論上來看，本模型更反映實際情況。

3 結(jié)論

(1) 建立了基于分形理論的水蒸氣在霜層中的擴(kuò)散模型。該模型反映了霜層孔隙率變化時通道彎曲程度的變化，以及這種變化對于水蒸氣擴(kuò)散的影響。

(2) 求得水蒸氣在霜層中的有效擴(kuò)散系數(shù)表達(dá)式為：

(3) 當(dāng)霜層的孔隙率ε較小時，霜層中孔隙直徑較小且通道較為彎曲，因此，有效擴(kuò)散系數(shù)增長較緩慢；當(dāng)ε較大時，小孔隙有可能合并為較大孔隙，導(dǎo)致通道彎曲程度變小，故有效擴(kuò)散系數(shù)增加較快；當(dāng)ε=1時，意味著水蒸氣對空氣擴(kuò)散；當(dāng)ε=0時，意味著空間完全被冰晶體占據(jù)，本模型在ε=1和ε=0這2種情況下同樣有效。

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