平板臥式超濾膜元件的微分方程模型

嚴(yán)丹燕，靖大為

(天津城市建設(shè)學(xué)院 膜技術(shù)研究中心，天津 300384)

超濾技術(shù)以其出水水質(zhì)穩(wěn)定、高效節(jié)能、操作簡單、對環(huán)境無污染等優(yōu)點(diǎn)，在液體的分離、凈化、濃縮、提純等工藝中顯示出了巨大的優(yōu)越性，因此被廣泛用于食品、醫(yī)藥、生物制品、飲用水、污水處理等行業(yè)[1]．?dāng)?shù)學(xué)模型的建立為超濾膜技術(shù)的廣泛應(yīng)用奠定了堅實(shí)的理論基礎(chǔ)．超濾膜元件的數(shù)學(xué)模型主要包括膜過程的微觀模型和膜元件的宏觀模型兩大類，前者主要針對膜元件的微觀結(jié)構(gòu)，用于膜分離的基礎(chǔ)研究與膜制備[2-5]；后者主要研究膜元件及膜系統(tǒng)的工程應(yīng)用，用于膜系統(tǒng)的運(yùn)行分析與設(shè)計計算．本文討論的內(nèi)容屬于宏觀模型范疇，在流體力學(xué)基本理論的基礎(chǔ)上[6-7]，以平板臥式超濾的立體結(jié)構(gòu)為依據(jù)，建立了平板臥式超濾膜的微分方程模型．

1 微分方程模型的建立

超濾膜元件根據(jù)其結(jié)構(gòu)差異分為平板式膜、卷式膜、管式膜、中空膜等多種形式，而平板式膜組件是結(jié)構(gòu)最簡單、商業(yè)化最早的膜組件[1]．如圖1所示，平板膜元件是長度L(m)、寬度B(m)和高度H(m)的立體結(jié)構(gòu)，其中給/濃水區(qū)與凈水區(qū)由超濾膜隔開，該結(jié)構(gòu)中元件的給水、濃水及凈水口的壓力和流量等6個可實(shí)驗測量的邊界條件分別用 P1，P2，P3，Q1，Q2，Q3表示．

膜元件結(jié)構(gòu)內(nèi)部，流程長度l(m)處至流程長度l+Δl的給/濃水流道稱為“膜微元”，其中Δl為膜微元長度．在流程長度l處的給/濃水區(qū)中具有給/濃水壓力p(l)(Pa)與水流量q(l)( m3/s)兩個函數(shù)，凈水區(qū)在流程長度l處也存在水壓力p"(l)與水流量q"(l)兩個函數(shù)．θ(l)(2m/s)為“膜微元”界面處膜的凈水線通量，即流程長度l處膜微元面積(H×Δl)中凈水量與膜微元長度Δl的比值．

圖1 超濾膜元件的順流結(jié)構(gòu)模型

超濾膜元件徑流屬于切向的黏性流和垂向的滲透流，該傳遞過程中滿足流體運(yùn)動的質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒三大定律．在膜元件穩(wěn)態(tài)運(yùn)行條件下，分別建立給/濃水區(qū)與凈水區(qū)各項的傳遞方程，并建立側(cè)向滲透產(chǎn)水的特性方程．由于在平板臥式超濾膜元件運(yùn)行過程中，可以不考慮重力的作用，因此在建模時忽略重力的影響．另外，將立體結(jié)構(gòu)中水的黏性系數(shù)、膜表面和器表面的阻力系數(shù)統(tǒng)一處理為流道的阻力系數(shù)，即流道的阻力與流體流速的平方成正比．文中垂直于膜表面的方向稱為垂向，平行于膜表面的方向稱為切向，且流入膜微元結(jié)構(gòu)的量為正，而流出部分的量為負(fù)．

1.1 質(zhì)量守恒

1.1.1 給/濃水區(qū)膜微元中水體流動的質(zhì)量守恒

膜微元中水體流動的質(zhì)量守恒表現(xiàn)為膜微元的流量守恒，所以膜微元給水側(cè)切向水流量q(l)與濃水側(cè)切向水流量 q(l+Δl)的差值為微元的垂向水流量θ·Δ l ，即 q(l)=q(l+Δl)+ θ·Δ l．該函數(shù)關(guān)系經(jīng)整理可得

1.1.2 凈水區(qū)膜微元中水體流動的質(zhì)量守恒

與給/濃水區(qū)類似，膜微元凈水區(qū)流入側(cè)切向水流量 q"(l+Δl)等于流出側(cè)切向水流量q"(l)與垂向水流量θ·Δl之和，即 q"(l+Δl)=q"(l)+θ ·Δl．該函數(shù)關(guān)系經(jīng)整理可得

1.2 動量守恒

1.2.1 給/濃水區(qū)膜微元中水體流動的動量守恒

膜微元的動量守恒表現(xiàn)為壓力守恒，所以給水側(cè)切向水壓力p(l)與濃水側(cè)切向水壓力 p(l+Δl)的壓力損失就是膜微元切向壓力損失K·q2(l)·Δl ，即p(l)=p(l+Δ l)+K·q2(l)·Δl ，其中K是給/濃水側(cè)壓力損失系數(shù)． 該函數(shù)關(guān)系經(jīng)整理可得

1.2.2 凈水區(qū)膜微元中水體流動的動量守恒

膜微元的動量守恒表現(xiàn)為流入側(cè)切向水壓力p"(l)等于流出側(cè)切向水壓力 p"(l+Δl)與膜微元切向壓力損失K·q"2(l)·Δl之和 ，即p"(l)=p"(l+Δl)+K·q"2(l)·Δl ．該函數(shù)關(guān)系經(jīng)整理可得

1.3 能量守恒

給/濃水區(qū)的能量損耗表現(xiàn)為

凈水區(qū)的能量損耗表現(xiàn)為

膜元件垂向徑流的能量損耗表現(xiàn)為

因此，膜元件中水體流動的能量守恒可表示為

1.4 其他關(guān)系

超濾是在壓力驅(qū)動作用下完成濃水與凈水的分離，它的產(chǎn)水過程有其自有的特性．

1.4.1 膜微元垂向的透水線通量

超濾膜的產(chǎn)水是壓力驅(qū)動的過程，它的產(chǎn)水量與給/濃水區(qū)和凈水側(cè)的壓力差成正比．該物理特性在立體結(jié)構(gòu)模型中表現(xiàn)為膜微元的透水線通量與壓力的關(guān)系，其中：相關(guān)系數(shù)A為超濾膜的透水系數(shù)，m2/（s·Pa）．

1.4.2 膜元件的產(chǎn)水量

膜元件產(chǎn)水量是給水量與濃水量之差，也表現(xiàn)為元件中產(chǎn)水線通量的積分，故有

1.4.3 給/濃水和凈水流道兩壓力損失系數(shù)K與K"的關(guān)系

給水流道中單位流程高度的壓力損失為K·q2=(k·q2)/(H·B)2，凈水流道中單位流程高度的壓力損失為 K"·q" =(k"·q")/(H"·B)2，其中k，k"分別為給水流道與凈水流道的阻力系數(shù)，Pa·s2/m3．設(shè)兩阻力系數(shù)之比為 β=k/ k"，且β可測，則有

因此，給水流道的壓力損失系數(shù)K與凈水流道的壓力損失系數(shù)K"的差異，決定于兩流道截面的差異以及兩流道阻力系數(shù)的差異．

從上述的微分?jǐn)?shù)學(xué)模型可知，共有八個待求量，即A，K，K"三個待定系數(shù)以及p，p"，q，q"，θ五個待求變量，且方程中存在dp/dl、dp"/dl、dq/dl、dq"/dl四個導(dǎo)數(shù)．因此共需要8個方程及4個邊界條件，而式(1)至式(8)這 8個方程滿足了方程的個數(shù)，而 P1，P2，P3，Q1，Q 2，Q3六個邊界參數(shù)中，存在Q1=Q2+Q3以及式(7)的關(guān)系，故存在以下式(9)四個獨(dú)立邊界條件

n個未知數(shù)存在于n個微分方程中，微分方程有通解，而方程中 m個導(dǎo)數(shù)所需的 m個初始條件提供了方程的特解，因此上述微分方程有唯一解．

改變凈水的出水方向，得出不同徑流方向的超濾微分模型．

2 結(jié) 論

以平板臥式超濾膜元件的立體結(jié)構(gòu)為依據(jù)，根據(jù)流體力學(xué)的質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒三大定律，對給/濃水區(qū)與凈水區(qū)分別進(jìn)行計算，建立了給/濃水區(qū)與凈水區(qū)各項的傳遞方程以及側(cè)向滲透產(chǎn)水的特性方程，從而建立了平板臥式錯流超濾膜元件運(yùn)行的宏觀數(shù)學(xué)模型．膜元件運(yùn)行微分方程模型的建立，為分析膜元件系統(tǒng)的運(yùn)行以及產(chǎn)水的最佳徑流方向提供了一定的理論基礎(chǔ)．

［1］ 靖大為. 反滲透系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2006.

［2］ 郝禾田，王 磊. 內(nèi)壓式中空纖維超濾膜污染模型研究[J]. 環(huán)境科學(xué)與技術(shù)，2009，32(4)：166-169.

［3］ 宋 航，石炎福，付 超. 錯流微濾和超濾的一種新的數(shù)學(xué)模型[J]. 四川大學(xué)學(xué)報，2000，32(4)：51-55.

［4］ 王 湛，武文娟，張新妙，等. 微濾膜通量模型研究進(jìn)展[J]. 化工學(xué)報，2005，56(6)：972-980.

［5］ 陳元生，鄧本榮. 超濾數(shù)學(xué)模型探討與試驗驗證[J].水處理技術(shù)，1989，15(2)：79-86.

［6］ 翟云芳. 滲流力學(xué)[M]. 北京：石油工業(yè)出版社，2003.

［7］ 趙毅山，程 軍. 流體力學(xué)[M]. 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2004.