內(nèi)積空間上的矩陣pade型逼近的研究

萬(wàn)詩(shī)敏，陳 娟，于魯源

(1. 天津城市建設(shè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部，天津 300384；2. 南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226007；3. 天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

內(nèi)積空間上的矩陣pade型逼近的研究

萬(wàn)詩(shī)敏1，陳 娟2，于魯源3

(1. 天津城市建設(shè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部，天津 300384；2. 南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226007；3. 天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

通過(guò)構(gòu)造一個(gè)內(nèi)積空間的線性泛函，定義了一個(gè)新的矩陣 pade型逼近(MPTA)．從而利用MPTA生成的一般函數(shù)形式和行列式形式，解決了分母可以是奇次的矩陣 pade型逼近問(wèn)題，并舉出實(shí)例．

矩陣的內(nèi)積；矩陣型pade逼近；行列式

矩陣pade型逼近(matrix pade-type approximant，簡(jiǎn)稱 MPTA)有各種各樣的定義，筆者關(guān)注由 Graves-Morris和其他研究者在純量方面的研究[1-3]．Graves-Morris和 Robert[4]利用向量和矩陣同構(gòu)，把向量型pade逼近擴(kuò)展到矩陣 pade型逼近，并用 Clifford代數(shù)表示[4-6]．一般矩陣型pade逼近的方法是在矩陣內(nèi)積的基礎(chǔ)上，定義一個(gè)一般的廣義逆矩陣 pade型逼近(generalized inverse matrix pade approximation，簡(jiǎn)稱 GIMPA)．與現(xiàn)有的矩陣 pade型逼近相比[7]，GIMPA無(wú)需構(gòu)造矩陣的乘法，而是利用矩陣乘法的不可變換，通過(guò)控制階數(shù)和分解來(lái)建立的．這一方法隱含了當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，矩陣 pade型逼近[m n]不能建立的問(wèn)題．

本文的目標(biāo)是填補(bǔ)上述缺陷．在內(nèi)積空間里，引入一般線性泛函，定義出一個(gè)新的矩陣 pade型逼近(MPTA)，不同于向量型的 Clifford代數(shù)方法，也不同于矩陣型的 GIMPA方法，這是因?yàn)樵谒挠?jì)算中沒(méi)有利用矩陣的廣義逆，而是利用了冪級(jí)數(shù)的展開進(jìn)行的．MPTA方法具有如下形式：①它的生成函數(shù)形式是來(lái)源于定義的；②其行列式形式與正交多項(xiàng)式相關(guān)．利用新的 MPTA，解決了n是奇數(shù)時(shí)的矩陣 pade型逼近，并舉出實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明．

1 矩陣型pade型逼近

設(shè)A=(aij),B= ( bij)∈ Cs×t，定 義 內(nèi) 積(A, B)=

這里A *表示A的復(fù)共軛陣，引用相同的記號(hào)[4]．基于式(1)和式(2)，矩陣A的逆可相應(yīng)定義為

設(shè)A , B∈ Cs×t，同樣，如果內(nèi)積(A, B ) =0，就稱A正交于B．

設(shè)f( z)為一級(jí)數(shù)，其系數(shù)是s× t階矩陣，即

設(shè)P是一元實(shí)變量的數(shù)量多項(xiàng)式集合，它的系數(shù)屬于復(fù)數(shù)域C，且 Pk是P的元素中次數(shù)小于或等于k所構(gòu)成的集合．

設(shè)φ：P→ Cs×t為P上一廣義線性泛函，作用于x，定義為

對(duì)所給的級(jí)數(shù)(3)，則由式(4)得

設(shè)v是nP中次數(shù)為n的一個(gè)數(shù)量多項(xiàng)式

定義矩陣多項(xiàng)式w為

定理1- f( z) = O( z n)，具體證明見文獻(xiàn)[8]．

定義1對(duì)于所給級(jí)數(shù)(3)，一個(gè)矩陣pade型逼近定義為

設(shè)φ(l):P→ Cs×t為P上一個(gè)廣義線性泛函，作用于x，定義為

基于式(10)和式(8)，構(gòu)造

定理2，具體證明見文獻(xiàn)[8]．

定義2)被稱作是一個(gè)MPTA，定義為(mn)f(z)．

例 1： 設(shè)

解：(i)這里，由式(8)和式(10)得到

(b)ε-算法方法：通過(guò)利用廣義逆矩陣(3)，矩陣值的ε-算法定義為

(c)Thiele-型連分式方法：通過(guò)廣義逆矩陣

(3)n步收斂的Thiele-型矩陣值連分式可構(gòu)造為

上述方法表明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，GIMPA 方法不能構(gòu)建型為[m n]的pade逼近．

例2：設(shè) f ( z)由例 1給定．尋找當(dāng) v( z)= (z - 1 )2·(z - 2 )時(shí)的．

解：由式(11)、式(7)和式(8)可以得到

［1］BAKER G A J， GRAVES-MORRIS P R. Padé approximants[M]. 2nd ed. New York：Cambridge University Press，1995.

［2］SAFF E B，VARGA R H．Pade and Rational Approximation[M]. New York：Academic Press，1977．

［3］GRAVES-MORRIS P R. Vector valued rational Ⅱ[J].IMA J Numer Anal，1984，4(4)：209-224.

［4］GU C Q. Generalized inverse matrix valued padé approximation on the basis of scalar product[J]. Linear Algebra Appl，2001，322：141-167.

［5］GU C Q. Generalized inverse matrix valued padé approximants[J]. Numer Sinica，1997，19：19-28.

［6］陳 娟，顧傳青. 基于廣義逆矩陣 Thiele-型有理插值與ε-型有理插值[D]. 上海：上海大學(xué)，2008.

［7］徐獻(xiàn)瑜，李家楷，徐國(guó)良．Padé 逼近理論[M]. 上海：上?？萍汲霭嫔纾?990．

［8］陳 娟，萬(wàn)詩(shī)敏. 內(nèi)積空間上的矩陣型 pade逼近的代數(shù)性質(zhì)[J]. 南通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，8(3)：86-89.

Study on Matrix Pade-type Approximant in the Inner Product Space

WAN Shi-min1，CHEN Juan2，YU Lu-yuan3
(1. Department of Fundamental Subject，TIUC，Tianjin 300384，China；2. School of Science， Nantong University，Nantong 226007，China；3. School of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A new Matrix Pade-type approximant (MPTA) is defined in the paper by constructing a generalized linear function in the inner product space. The general functional form and determinant form are generated by using MPTA,which solves the pade approximation problem for the matrix with denominator being odd matrix, and then some examples are enumerated.

inner product；MPTA；determinant

O151.21

A

1006-6853(2010)02-0141-04

2010-01-05；

2010-03-12

天津城市建設(shè)學(xué)院教育教學(xué)改革與研究項(xiàng)目(JG-0731)

萬(wàn)詩(shī)敏（1977—），男，安徽潛山人，天津城市建設(shè)學(xué)院講師，碩士.