局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承的建模與仿真

吳 笛

(西昌學(xué)院 工程技術(shù)系，四川 西昌 615013)

氣體靜壓軸系的研究一直是超精密機(jī)床的重點(diǎn)研究內(nèi)容之一[1]，隨著氣體靜壓導(dǎo)軌與主軸在超精密機(jī)床上的廣泛應(yīng)用，高剛度、高精度、結(jié)構(gòu)簡單和阻尼特性良好的靜壓軸承成為超精密機(jī)床設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)。近年來，多孔質(zhì)類型的氣體靜壓軸承的設(shè)計(jì)與制造成為研究的熱點(diǎn)[2]，多孔質(zhì)氣體靜壓軸承采用具有透氣性能的多孔質(zhì)材料作為節(jié)流器，由多孔質(zhì)材料的流體阻抗產(chǎn)生節(jié)流效果。與小孔節(jié)流型及狹縫節(jié)流型氣體靜壓軸承相比，多孔質(zhì)氣體靜壓軸承結(jié)構(gòu)相對(duì)簡單，具有較高的承載能力、剛度和更高的阻尼，且穩(wěn)定性較好[3]。為滿足超精密機(jī)床的發(fā)展需要，設(shè)計(jì)出更高剛度、更高精度、更低成本的氣體靜壓軸承已經(jīng)成為目前超精密機(jī)床制造亟待解決的問題。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 基本量描述及初始條件

(1)

圖1 局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承結(jié)構(gòu)圖

考慮Beavers-Joseph全速度滑移模型[4]：

(1)當(dāng)y=0，rp≤(dp/2)，0≤θp≤2π時(shí)，

(2)

v=vp

(3)

(4)

式中：u，v，w為氣流速度分別在x，y，z方向的速度分量；φx，φy，φz分別為多孔質(zhì)材料3個(gè)坐標(biāo)方向上的黏性滲透系數(shù)。

(2)當(dāng)y=0，rp>(dp/2)，|z|≤(L/2)，0≤|θ|≤2π時(shí)，u=0，v=0，w=0。

(3)當(dāng)y=h，|z|≤(L/2)，0≤|θ|≤2π時(shí)，

(5)

(6)

(7)

1.2 建立氣膜內(nèi)氣體壓力分布數(shù)學(xué)模型

按照局部多孔質(zhì)矩形止推軸承的推導(dǎo)方法[5]，則可以得到穩(wěn)態(tài)條件下，簡化Beavers-Joseph速度滑移模型的局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承無量綱氣膜壓力的分布方程：

(8)

氣體在多孔質(zhì)內(nèi)流動(dòng)符合Darcy定律：

(9)

(10)

(11)

式中：up，vp，wp分別為氣體在多孔質(zhì)內(nèi)部3個(gè)坐標(biāo)方向上的速度分量，m/s；pp為氣體在多孔質(zhì)內(nèi)任意點(diǎn)的壓力，Pa。

由(9)～(11)式和氣體連續(xù)性方程[6]，可以得到穩(wěn)態(tài)條件下氣體在局部多孔質(zhì)節(jié)流器內(nèi)部無量綱的氣體壓力分布方程：

(12)

建立邊界條件如下：

根據(jù)局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承的邊界條件，采用弱積分原理[7]把(8)式和(12)式轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的積分形式，然后使用有限元的方法將2個(gè)積分方程分別進(jìn)行離散化處理。離散后的2個(gè)方程是相互耦合的非線性方程，需要反復(fù)迭代來進(jìn)行解耦求解，直到相鄰2次求解的壓力分布差值小于預(yù)設(shè)的值(可根據(jù)實(shí)際情況選取小值)即可停止迭代，從而得到氣體薄膜內(nèi)的壓力分布情況。

在迭代解耦的過程中，會(huì)遇到有限元方程的收斂性求解問題，針對(duì)這個(gè)問題可以參考文獻(xiàn)[8],利用適用于多孔質(zhì)軸承的比例分割因子，可以方便地求解出任意間隙下的氣膜壓力分布值，同時(shí)計(jì)算速度也比較快。

1.3 局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承特性描述

徑向軸承的承載分為徑向分量Wr和切向分量Wθ，分別表示如下：

(13)

(14)

承載的無量綱形式為：

(15)

(16)

(17)

軸承角為：

(18)

(19)

軸承的氣體質(zhì)量流量可以利用速度邊界進(jìn)行積分求得：

(20)

使用Beavers-Joseph全滑移模型得到局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承的氣體質(zhì)量流量：

(21)

氣體質(zhì)量流量的無量綱形式為：

(22)

式中：R為理想氣體常數(shù)，J/kg·K；Ta為外部環(huán)境氣體絕對(duì)溫度，K；ρa(bǔ)為外部環(huán)境大氣密度，kg/m3。

2 靜態(tài)特性仿真

2.1 仿真條件

進(jìn)行仿真的局部多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承的基本參數(shù)為：長度L=100 mm，直徑D=100 mm；多孔質(zhì)節(jié)流器的厚度H=5 mm，節(jié)流器直徑d=5 mm，多孔質(zhì)材料均勻，各向同性，滲透系數(shù)φx=φy=φz=1×10-13m2，速度滑移系數(shù)α=0.1，供氣壓力ps-pa=0.4 MPa，環(huán)境壓力pa=0.1 MPa，仿真溫度Ta=298 K，氣體動(dòng)力黏度η=1.8×10-5Pa·s；軸承面上的多孔質(zhì)節(jié)流器個(gè)數(shù)為16個(gè)，分兩排周向均布，兩排的位置分別位于L/4處；軸承工作平均半徑間隙為18 μm；無量綱參考間隙h0=5 μm。靜態(tài)條件下，軸承工作面相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度U=0 m/s。

2.2 仿真試驗(yàn)

2.2.1 平均半徑間隙對(duì)靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，取不同的軸承平均半徑間隙，研究不同的偏心率對(duì)徑向軸承的靜態(tài)特性影響，仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。從圖2a可以看出，在同一偏心率條件下，當(dāng)間隙由10 μm遞增到18 μm的過程中，軸承承載能力隨著平均半徑間隙的增加而增加；但是，當(dāng)間隙由18 μm遞增到22 μm時(shí)，軸承承載能力卻隨平均半徑間隙的增加而下降。在同一半徑間隙條件下，軸承承載均隨偏心率的增加而增加，但在偏心率較大處，承載增加的幅度變小。

從圖2b可以看出，當(dāng)軸承平均半徑間隙增加到12 μm時(shí)，軸承的剛度達(dá)到最大值，此時(shí)的偏心率為零；隨著平均半徑間隙的增加，軸承的剛度呈下降趨勢(shì)，并且對(duì)應(yīng)的最佳剛度也逐漸偏離偏心率為零的位置，如當(dāng)軸承的平均半徑間隙為22 μm時(shí)，最佳剛度位于偏心率約為0.3的位置。

圖2 平均半徑間隙對(duì)軸承承載和剛度的影響

2.2.2 供氣壓力對(duì)靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變軸承的供氣壓力，則仿真結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，隨著供氣壓力的提高，軸承的無量綱承載能力增加，并且對(duì)應(yīng)的無量綱剛度也成比例增加，增加的幅度明顯。說明提高供氣壓力可以明顯改善軸承的承載和剛度。

圖3 供氣壓力對(duì)軸承承載和剛度的影響

2.2.3 節(jié)流器直徑對(duì)靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變軸承的多孔質(zhì)節(jié)流器直徑，仿真結(jié)果如圖4所示。在圖4a中，隨著多孔質(zhì)節(jié)流器直徑的增大，徑向軸承的承載并不隨著節(jié)流器直徑的增加而增加，在不同的偏心率段，存在著最佳的節(jié)流器直徑值。例如，當(dāng)偏心率小于0.6時(shí)，直徑為6 mm的軸承承載值最大；當(dāng)偏心率大于0.6時(shí)，直徑為4 mm的軸承承載值最大。在圖4b中，剛度也同樣遵循類似的規(guī)律，當(dāng)偏心率小于0.5時(shí)，直徑為6 mm的軸承剛度最大，而當(dāng)偏心率大于0.5時(shí)，直徑為4 mm的軸承剛度最大。

2.2.4 節(jié)流器滲透系數(shù)對(duì)軸承靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變節(jié)流器滲透參數(shù)，其仿真結(jié)果如圖5所示。從圖5a可以看出，徑向軸承承載并不隨著節(jié)流器滲透系數(shù)的降低而降低，而存在著最佳的滲透系數(shù)值，其中，當(dāng)滲透系數(shù)為1×10-13時(shí)，對(duì)應(yīng)的軸承承載在整個(gè)偏心率段具有最大值。從圖5b可以看出，剛度也同樣遵循類似的規(guī)律，當(dāng)滲透系數(shù)為1×10-13時(shí)，對(duì)應(yīng)的軸承剛度最大，并且最大剛度點(diǎn)在偏心率為零處。

圖4 節(jié)流器直徑對(duì)軸承承載和剛度的影響

圖5 節(jié)流器滲透系數(shù)對(duì)軸承承載和剛度的影響

2.2.5 節(jié)流器厚度對(duì)軸承靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變節(jié)流器厚度，其仿真結(jié)果如圖6所示。在圖6a中，當(dāng)偏心率小于0.2時(shí)，軸承的承載隨著節(jié)流器厚度的增加而減少，但是相差不多；當(dāng)偏心率在0.2和0.6之間時(shí)，承載隨著節(jié)流器厚度的增加而逐漸增加，當(dāng)厚度為4 mm時(shí)軸承的承載最大；當(dāng)偏心率大于0.6時(shí)，厚度為8 mm時(shí)軸承的承載最大，而厚度為2 mm時(shí)軸承的承載最小。

在圖6b中，在相同的偏心率下，節(jié)流器厚度為4 mm時(shí)對(duì)應(yīng)的徑向軸承的剛度最大，并且最大剛度位于偏心率為零處。其他厚度對(duì)應(yīng)的軸承的剛度相對(duì)較小，并且最大剛度點(diǎn)均不在偏心率為零處，如節(jié)流器厚度為8 mm時(shí)，最大剛度點(diǎn)對(duì)應(yīng)的偏心率在0.3處。

圖6 節(jié)流器厚度對(duì)軸承承載和剛度的影響

2.2.6 節(jié)流器個(gè)數(shù)對(duì)軸承靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變節(jié)流器個(gè)數(shù)，其仿真結(jié)果如圖7所示。從中可以看出，徑向軸承的承載和剛度隨著節(jié)流器個(gè)數(shù)的增加而增加，但是當(dāng)節(jié)流器個(gè)數(shù)增加到一定數(shù)量時(shí)，承載、剛度反而呈下降趨勢(shì)。當(dāng)多孔質(zhì)節(jié)流器個(gè)數(shù)為32時(shí)，軸承的承載和剛度最大。

2.2.7 軸承長度對(duì)靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變軸承的長度，其仿真結(jié)果如圖8所示。從中可以看出，軸承的承載并不隨著軸承長度的增加而增加，而是在給定的軸承直徑條件下，軸承長度為80 mm時(shí)其承載和剛度最大。

2.2.8 軸承直徑對(duì)靜態(tài)特性的影響

其他參數(shù)不變，僅改變軸承的直徑，其仿真結(jié)果如圖9所示。從圖9a可以看出，在同一偏心率條件下，徑向軸承的承載隨著軸承直徑的增大而增大；在同一軸承直徑條件下，軸承的承載隨著偏心率的增加而增加。從圖9b可以看出，在同一偏心率條件下，軸承的剛度隨著軸承直徑的增大而增大；在同一軸承直徑條件下，軸承的剛度隨著偏心率的增加而呈下降趨勢(shì)。當(dāng)軸承的直徑大于120 mm時(shí)，軸承的承載和剛度隨著直徑增加而增加，但增加的效果已經(jīng)不顯著了。

圖7 節(jié)流器個(gè)數(shù)對(duì)軸承承載和剛度的影響

圖8 軸承長度對(duì)軸承承載和剛度的影響

3 結(jié)論

根據(jù)多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承參數(shù)對(duì)軸承靜態(tài)特性影響的仿真，得到多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則如下：

圖9 軸承直徑對(duì)軸承承載和剛度的影響

(1)不同的軸承平均半徑間隙在全偏心率范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)著不同的承載、剛度特性，只有選擇合適的平均半徑間隙才能分別獲得最大的承載值和剛度值，并且最大剛度在偏心率為零時(shí)取得；當(dāng)取遠(yuǎn)離最佳平均半徑間隙的工作間隙時(shí)，軸承的最大剛度值的取得就會(huì)偏離偏心率為零的位置。

(2)多孔質(zhì)節(jié)流器的直徑、厚度、滲透系數(shù)對(duì)徑向軸承靜態(tài)特性的影響存在著最佳匹配關(guān)系，只有選擇合適的直徑、厚度、滲透系數(shù)才能獲得滿意的徑向軸承性能。

(3)外部供氣壓力對(duì)徑向軸承的特性影響效果顯著，適當(dāng)增大供氣壓力可以獲得較高的承載和剛度。

(4)隨著軸承直徑的增大，可以獲得較高的承載和剛度，但是對(duì)給定長度的徑向軸承來說，當(dāng)軸承徑長比增大到D/L=6/5后，承載和剛度增加的幅度變得很小，基本保持不變；保持軸承直徑不變，改變軸承的長度，發(fā)現(xiàn)徑長比為D/L=5/4時(shí)，軸承獲得最佳的承載和剛度。

(5)節(jié)流器個(gè)數(shù)對(duì)徑向軸承特性的影響存在著最佳值，只有設(shè)計(jì)合適的節(jié)流器個(gè)數(shù)才能獲得滿意的軸承承載和剛度。