求解線性方程組的方法探究

摘 要：線性方程組的求解是大學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非?；A(chǔ)也很重要的問(wèn)題，它的求解方法多種多樣，在具體問(wèn)題中如何選擇合適的方法正確求解尤其重要。本文對(duì)常用的幾種方法進(jìn)行分析探究，分析出每種方法的優(yōu)越性與局限性，以便學(xué)生正確選擇。

關(guān)鍵詞：線性方程組;克萊姆法則;高斯消元法;Matlab;逆矩陣

線性方程組的求解是線性代數(shù)這門課程中的一個(gè)很重要的基礎(chǔ)部分，它的求解方法多種多樣，主要有克萊姆法則、逆矩陣法、高斯消元法、Matlab仿真法等[1]。下面分別介紹每一種方法的使用條件、解題方法、優(yōu)越性及局限性，以便具體求解過(guò)程中選擇合適的方法。

一、用克萊姆（Gramer）法則求解線性方程組

1.使用條件

要求線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，且系數(shù)行列式的值不等于零[2]。

2.克萊姆法則

當(dāng)線性方程組（1）滿足上述條件時(shí)，則可寫出線性方程組的系數(shù)行列式為：

4.優(yōu)越性與局限性

用克萊姆法則求解線性方程組時(shí)必須滿足方程組的未知量的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，且系數(shù)行列式的值不等于零兩個(gè)條件，對(duì)于二元與三元線性方程組的求解用這種方法比較方便，但對(duì)于三元及三元以上的線性方程組的求解時(shí)，由于每次需計(jì)算n+1個(gè)行列式，計(jì)算量較大，因此用這種方法求解不太適應(yīng)。

二、用逆矩陣求解線性方程組

1.使用條件

與克萊姆法則的條件相同，即要求線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，且系數(shù)行列式不等于零。

2.思路分析

4.優(yōu)越性與局限性

此種方法在思路上比較簡(jiǎn)單，但牽涉到逆矩陣的求解與矩陣乘法兩種非?；A(chǔ)而又比較復(fù)雜的運(yùn)算[5]，比較容易出錯(cuò)，往往容易出現(xiàn)一步錯(cuò)而導(dǎo)致步步錯(cuò)，最終無(wú)法正確求解。但如果系數(shù)矩陣為正交矩陣時(shí)其逆矩陣就是其轉(zhuǎn)置（）[6]，所以用這種方法求解時(shí)比較容易。

三、用高斯（Gauss）消元法求解線性方程組

1.使用條件

所有的線性方程組都適應(yīng)，無(wú)特殊要求。

4.優(yōu)越性與局限性

利用高斯消元法解線性方程組適應(yīng)范圍廣泛且計(jì)算較簡(jiǎn)便，但對(duì)于未知量較多或系數(shù)較復(fù)雜時(shí)往往計(jì)算量較大，很難直接計(jì)算出結(jié)果。

四、用MATLAB軟件求解線性方程組

由上面的分析可知，利用克萊姆法則、逆矩陣法與高斯消元法求解線性方程組都只能求解未知量較少的簡(jiǎn)單問(wèn)題，當(dāng)遇到未知量較多的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，這三種方法都比較難計(jì)算，而且容易出錯(cuò)。隨著計(jì)算機(jī)功能的日益強(qiáng)大，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題可采用Matlab進(jìn)行求解，對(duì)于線性方程組的求解只需在命令窗口中輸入系數(shù)矩陣a和常數(shù)項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的矩陣b，輸入指令a＼b就可得結(jié)果[8]。

利用Matlab求解線性方程組這種方法具有適應(yīng)范圍廣泛且、計(jì)算非常簡(jiǎn)便、高效等優(yōu)點(diǎn)，但必須比較熟悉Matlab軟件并會(huì)進(jìn)行相關(guān)操作，目前很多學(xué)生仍缺乏這方面的知識(shí)。

由分析可知用克萊姆法則與用逆矩陣求解線性方程組的方法對(duì)原方程組的要求較高，具有一定的局限性，但對(duì)于二元、三元甚至四元線性方程組的求解時(shí)，若滿足條件的情況下可直接計(jì)算。而高斯消元法對(duì)于所有的線性方程組的求解都適應(yīng)，在計(jì)算上較簡(jiǎn)單，但如果未知量較多、系數(shù)比較復(fù)雜時(shí)計(jì)算量大、難度大，此時(shí)利用Matlab求解就非常容易。但目前Matlab在高校中還沒(méi)有普及且對(duì)硬件設(shè)施的要求較高。因此在求解線性方程組時(shí)一般可跟據(jù)具體的情況選擇較合適的方法，一般來(lái)說(shuō)在人工求解中較常用而又較簡(jiǎn)單的方法就是高斯消元法。

參考文獻(xiàn)：

[1]張一博、周富照、左同亮、楊培、郭紅玲.線性方程組求解仿真實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，32（06）：37-40

[2]蔡建興、任艷麗.大型線性方程組求解的可驗(yàn)證外包算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2017，34（02）：536-538

[3]姚俊、文傳軍.關(guān)于n元線性方程組求解的探討[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（04）：25-29

[4]陳海霞、楊鐵貴.基于凝聚函數(shù)法的非線性方程組求解[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10（06）：1494-1496+1505

[5]邢芳、劉青昆、宮利東.基于文件拆分與高斯消去的線性方程組求解[J].計(jì)算機(jī)工程，2011，37（03）：39-41

[6]屈愛(ài)平、李敏.MEMETIC算法在非線性方程組求解中的應(yīng)用[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，21（04）：13-15

[7]王立志.廣義行列式在線性方程組求解中的應(yīng)用[J].太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（01）：33-35

[8]李樹(shù)梅.基于MATLAB工具的非線性方程組求解方法研究[J].江蘇科技信息，2017（18）：30-31

作者簡(jiǎn)介：

楊伍梅（1981--）女，湖南益陽(yáng)人，講師，碩士，主要從事最優(yōu)化理論與算法研究。