伽利略對拋體運(yùn)動的研究

王春英

(西北民族大學(xué)電氣工程學(xué)院,甘肅蘭州 730030)

伽利略(1564～1642)是意大利的物理學(xué)家、天文學(xué)家.他在1632年發(fā)表了《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書,1638年又發(fā)表了《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》一書.書中,涉及到了現(xiàn)代力學(xué)中的許多概念、定理和公式.通過解讀伽利略的相關(guān)著作,我們不僅能夠深刻地了解伽利略的工作和思想,而且能夠更深刻地理解那些公式、定理的含義,下面筆者就以拋體運(yùn)動為例探析伽利略的工作和思想.

1 慣性思想的提出

在17世紀(jì)以前,人們就注意到了以下現(xiàn)象:從一座塔上下落的球會垂直落在塔底;向上拋出的球仍舊落在原處.這是為什么呢?究其原因?qū)е铝藨T性概念的產(chǎn)生.在伽利略之前,人們對運(yùn)動的看法是建立在亞里士多德觀念的基礎(chǔ)上.亞氏把運(yùn)動與靜止看作是兩種對立的狀態(tài),從運(yùn)動到靜止或從靜止到運(yùn)動就必須實(shí)施力的作用.因此,在地靜說的基礎(chǔ)上,他們給出的解釋是:小球在橫向方向沒有受到外力的作用,在垂直方向由于其“重”的本性作自然運(yùn)動,因此小球垂直落下.然而,伽利略認(rèn)為,亞氏的許多命題都是錯(cuò)的.首先,地球不是靜止的,而是運(yùn)動的,那么在運(yùn)動的地球上如何解釋上面的現(xiàn)象呢?伽利略認(rèn)為:“同地球保持一致是這個(gè)球作為地球上的物體無法擺脫且不可分離地參與了的基本的、永恒的運(yùn)動,物體憑借本性具有這種運(yùn)動并且將永遠(yuǎn)擁有這種運(yùn)動.”[1]當(dāng)球從塔上下落到地球上時(shí),由于沒有原因促使球自西向東運(yùn)動停止,所以它與塔保持一致.伽利略還通過圖1的理想實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步表達(dá)了他的思想.把一個(gè)小球放在具有一定高度的光滑斜面AB上,這個(gè)小球必然自發(fā)地沿著斜面加速地滾下來,到達(dá)B點(diǎn)小球獲得一定的速度,這個(gè)速度可使小球沿著光滑斜面BC減速地上升到同樣高度.如若把 BC面變成光滑的、無限長的水平面,由于小球在B點(diǎn)獲得的速度既不能增加也不能減少,小球就會以這個(gè)速度一直運(yùn)動下去.這種在亞氏學(xué)派看來,不可能存在的運(yùn)動形式被伽利略揭示出來:一個(gè)不受力的物體也會運(yùn)動.事實(shí)證明,力不是維持物體運(yùn)動狀態(tài)的原因,運(yùn)動是物體的固有屬性.

圖1

伽利略沒有使用“慣性”這個(gè)詞,但他已表達(dá)出慣性的思想.遺憾的是,伽利略遵循舊傳統(tǒng)認(rèn)為物體這種基本的、永恒的運(yùn)動是勻速圓周運(yùn)動,但對無限大的地球局部來說,圓周曲線運(yùn)動等同于直線運(yùn)動.

2 落體運(yùn)動的研究

亞氏把從塔上靜止下落的小球,看作是自然運(yùn)動,并把它歸因于形式因.在他看來這類運(yùn)動的本性和形式只有在它們的天然位置才能實(shí)現(xiàn),并利用“元素說”,把物體所含重元素的量作為物體下落速度快慢的判據(jù).按照這一判據(jù),兩個(gè)物體在空氣中從同一高度下落,重物體比輕物體先落地.亞氏還注意到了介質(zhì)對下落物體的影響.[2]他根據(jù)經(jīng)驗(yàn)斷定,介質(zhì)對運(yùn)動起阻礙作用,介質(zhì)密度越大阻礙就越大.如果把物體所含重元素的量設(shè)為Q,把介質(zhì)密度設(shè)為ρ,我們試著把亞氏的思想用符號形式反映出來,即為

亞氏雖然沒有用符號形式表達(dá)他的思想,但這是歷史上第1個(gè)有關(guān)落體運(yùn)動規(guī)律的描述.

1638年伽利略發(fā)表了《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》一書,書中伽利略公布了他的兩項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn),其中之一是他的自由落體定律.在這個(gè)問題上,伽利略推翻了他那個(gè)時(shí)代幾乎所有人都認(rèn)為落體速度與其重量成正比的錯(cuò)誤觀點(diǎn).筆者們可以通過他的相關(guān)著作,了解他的工作和思想.伽利略認(rèn)為,自亞氏以來人們借助于“四因說”來解釋物體的運(yùn)動,是導(dǎo)致沒有意義結(jié)果的重要原因.人們應(yīng)該改變觀念,轉(zhuǎn)換視角,從研究“為什么”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸趺礃印?為實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變,伽利略轉(zhuǎn)向了對運(yùn)動現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述.他把運(yùn)動物體看作質(zhì)點(diǎn),排除了形狀對運(yùn)動的影響.他不考慮空氣的作用,在純化了的條件下凸顯出落體運(yùn)動的主要特征.他定義了勻速運(yùn)動,并重點(diǎn)觀察了落體運(yùn)動的下落方式,考察了運(yùn)動變化的性質(zhì).他發(fā)現(xiàn)落體在重力的持久作用下,速度并不均勻,而是有規(guī)則的變化,這種規(guī)則性表現(xiàn)出一種規(guī)律,那就是在相等的時(shí)間間隔內(nèi)速度的增量保持不變.我們用符號形式反映出來,就是 Δv=aΔt.伽利略把這種運(yùn)動又定義為勻加速運(yùn)動.可見,在伽利略看來,勻速直線運(yùn)動與勻加速直線運(yùn)動是兩種不同的運(yùn)動狀態(tài),勻速直線運(yùn)動可以不受力的作用,但自由落體是在重力的持續(xù)作用下,才會勻加速下落的.因此,伽利略揭示出:力是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因.

在確定了時(shí)間和速度的正比關(guān)系后,伽利略用幾何方法證明了自由落體運(yùn)動的路程和時(shí)間的關(guān)系,他的證明過程大致如下:

如圖2所示,設(shè)物體從靜止開始下落,用豎直線 AB表示時(shí)間.把AB等分成若干份,在各等分點(diǎn)上,作垂直于 AB的垂線,每一條垂線表示各時(shí)刻的速度值,其數(shù)值 v=at按的假設(shè)增加.到了 B點(diǎn),物體所用時(shí)間為 t,速度值為at.連接這些垂直線段的頂點(diǎn)便是 AC.則三角形ABC的面積即為物體在AB時(shí)間內(nèi)做勻加速運(yùn)動所走過的路程.此路程為

圖2

以上是伽利略的自由落體定律.按照伽利略的觀點(diǎn),一切物體下落的速度與其重量無關(guān),在真空中都以同樣的加速度下落.

3 運(yùn)動的合成——拋體運(yùn)動

有了慣性運(yùn)動思想和自由落體運(yùn)動的性質(zhì),伽利略擴(kuò)大了他的研究范圍,開始討論拋體運(yùn)動.伽利略認(rèn)為拋體的運(yùn)動具有勻速運(yùn)動和自然加速運(yùn)動的復(fù)合運(yùn)動的性質(zhì).他在其著作《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》中談到:“設(shè)想任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿水平面無摩擦地投擲;如果這個(gè)平面是無限的,這個(gè)質(zhì)點(diǎn)將沿平面作均勻的和永恒的運(yùn)動.如果這個(gè)平面是有限的或被提高了的,則運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)(我們想象它有重量)就將穿過平面的邊界,在它原先所作的勻速的、永恒的運(yùn)動外,由于自身的重量而獲得一個(gè)向下運(yùn)動的傾向,以至于所產(chǎn)生的筆者稱之為拋射的運(yùn)動是一種水平勻速運(yùn)動和另一垂直自然加速運(yùn)動的復(fù)合.”[3]并證明了“由一個(gè)水平勻速運(yùn)動與一個(gè)垂直自然加速運(yùn)動復(fù)合而成的拋射運(yùn)動描繪的路徑是一條半拋物線.”證明過程大致如下:

如圖3所示,令ab是一條臺高的光滑水平線,讓一物體從a到b做勻速運(yùn)動,到b點(diǎn)時(shí),又突然在其自身重量的作用下,獲得一個(gè)沿垂直向下的自然加速運(yùn)動.延長ab到k,令 bk代表時(shí)間軸,bn代表路程軸.因?yàn)槲矬w的慣性運(yùn)動,它在水平方向保持其勻速運(yùn)動,將bk分成相等的時(shí)間間隔bc、cd、de和cp等.由于物體在豎直方向上作自由落體運(yùn)動,其路程依 s=變化.若當(dāng)物體到達(dá)c點(diǎn)時(shí),下落的距離是 ci,那么到達(dá)d時(shí),下落的距離是 df,df=4ci,到達(dá)e點(diǎn)時(shí),下落的距離是9ci,到達(dá) p點(diǎn)時(shí),下落的距離是16ci,以此類推,連接 bifhm,就是一條半拋物線.

圖3

伽利略就這樣用新觀念解決了多少世紀(jì)遺留下來的拋物體的曲線問題.

把拋體運(yùn)動看作是水平的勻速運(yùn)動和豎直向下的自然加速運(yùn)動的合成后,伽利略認(rèn)為,拋體運(yùn)動的速度也應(yīng)該具有復(fù)合性質(zhì),它應(yīng)該是兩個(gè)分速度合成的總效應(yīng).于是他又用幾何方法證明了以下命題:

當(dāng)一個(gè)物體的運(yùn)動是由水平的勻速運(yùn)動和垂直方向的自然加速運(yùn)動合成時(shí),則合速度的平方等于兩個(gè)分速度的平方之和.這是伽利略的又一重大發(fā)現(xiàn).

伽利略把運(yùn)動同物體的本質(zhì)屬性分離開來,通過對拋體速度的討論,不僅改變了自亞氏以來人們思想中固有的錯(cuò)誤觀念,而且揭示出自然界運(yùn)動所遵循的簡單性法則——運(yùn)動的獨(dú)立性和疊加性.由于運(yùn)動的獨(dú)立性,所以運(yùn)動與運(yùn)動不會相互影響.這樣一來,一個(gè)物體可以同時(shí)具有幾個(gè)運(yùn)動,合運(yùn)動的結(jié)果遵從純粹的幾何學(xué)法則.相反,每一種運(yùn)動也可以遵從相同的規(guī)則分解為若干個(gè)分運(yùn)動.

伽利略的工作并沒有到此為止,他又通過物體的平拋運(yùn)動,深入到大炮發(fā)出的拋射體,那是一條拋物線.他把沿各種不同傾角θ發(fā)出的拋射體的軌跡的射程(幅度)和高度一一計(jì)算出來,并制成精細(xì)的表格.計(jì)算結(jié)果證明,對于一定的初速度,當(dāng) θ=45°時(shí),射程最大.并揭示出,若初速度不變,仰角比45°增大或減少一個(gè)相等角度的拋體,其射程相等.

“近代物理學(xué)是隨著伽利略的著作而誕生的.”[4]伽利略通過上面的工作,不僅建立了一門新的涉及一個(gè)古老課題的科學(xué),正確解決了拋體問題,而且還為人們提供了新的理論、新的思想.他所運(yùn)用的方法和手段正向他所預(yù)言的那樣,不僅對那個(gè)時(shí)代的科學(xué)家和科學(xué)思想產(chǎn)生了巨大的影響,也為之后的牛頓力學(xué)的建立奠定了基礎(chǔ).

1 伽利略.關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話.周煦良等譯.北京:北京大學(xué)出版社,2006.

2 亞里士多德.物理學(xué).徐開來譯.北京:中國人民大學(xué)出版社,2003.

3 伽利略.關(guān)于兩門新科學(xué)的對話.武際可譯.北京:北京大學(xué)出版社,2006.

4 科瓦雷.伽利略與17世紀(jì)的科學(xué)革命.世界哲學(xué).1994(04).