對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的討論不能脫離物理本質(zhì)

趙 堅(jiān)

(昆明市五華區(qū)教育科學(xué)研究中心,五華區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校,云南昆明 650031)

本刊2008年第8期刊登了《六把鑰匙解開(kāi)一維彈性碰撞》一文(下稱“六文”),文中對(duì)如下一道聯(lián)考試題的答案m2=3m1提出疑議,認(rèn)為本題的正確答案不是 n=3,而是n→∞.

題目.在離地面某一高度處有一質(zhì)量為 m1的小球1,在其正下方地面處有另一小球2,現(xiàn)令小球1從靜止開(kāi)始下落,同時(shí)令小球2以某一初速度豎直上拋,使上、下兩球在空中相碰,相碰處離地面的高度為小球1下落前高度的假設(shè)相碰時(shí)間極短,且不損失機(jī)械能.假如小球 2的質(zhì)量 m2可以取 m2=m1,2m1,3m1,……,nm1,要想使碰后球1升高的高度最大,試論證上拋的小球質(zhì)量應(yīng)為多少?

為便于問(wèn)題的討論,現(xiàn)將“六文”的主要解答過(guò)程簡(jiǎn)述如下:

設(shè)小球1離地面的高度為h,小球2以2v0的初速度豎直上拋,從拋出到相遇的時(shí)間為 t0,則有即故相遇時(shí)小球1的速度方向向下.相遇時(shí)小球2的速度方向向上.

兩小球碰撞,由動(dòng)量和機(jī)械能守恒有

解(1)、(2)式得

[方程組(1)、(2)式另外一組解 v1′=v1,v2′=v2,舍去]

取向上方向?yàn)檎?將 v2=v0,v1=-v0、m2=nm1代入(3)、(4)式,解得碰后兩球的速度為

由(5)式知,當(dāng) n→∞時(shí),小球1碰后速度有最大值 v1′=3v0,方向向上.小球1碰后向上的速度最大,上升最高,故本題的正確答案不是 n=3,而是 n→∞.

對(duì)“六文”以上的解答過(guò)程,筆者無(wú)可非議.但對(duì)于“六文”從(5)式的討論就直接得出結(jié)論的做法,筆者認(rèn)為是值得商榷的.

首先,“六文”討論的是一種數(shù)學(xué)極限情形,用極限情形來(lái)討論物理實(shí)際,有時(shí)是欠妥的.對(duì)本問(wèn)題而言,當(dāng) n→∞,亦即上升小球質(zhì)量 m2為無(wú)窮大時(shí),由小球m1和 m2構(gòu)成的系統(tǒng)所受合外力已不可忽略,系統(tǒng)動(dòng)量不再守恒,這樣“六文”后面的運(yùn)算也就自然沒(méi)有意義.

其次,本文討論的試題是教育部考試中心2005年命制的物理高考科研測(cè)試(二)中的一道試題,考試中心給出的答案n=3,筆者認(rèn)為是正確的.而“六文”的錯(cuò)誤在于對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果(5)、(6)式的討論脫離了試題的物理本質(zhì).對(duì)此,我們不妨這樣來(lái)看:

按照“六文”的觀點(diǎn),當(dāng) n→∞時(shí),碰后小球 1的速度v1′=3v0,另外由(6)式得小球2的速度 v2′=v0.假若是這樣,則碰后對(duì)小球1、2構(gòu)成的系統(tǒng)(注:暫時(shí)不考慮 m2與m1的質(zhì)量關(guān)系,不然小球1、2構(gòu)成的系統(tǒng)碰撞前后的動(dòng)能必為無(wú)窮大,這是違背事實(shí)的!),其總動(dòng)能為

可是,小球1、2構(gòu)成的系統(tǒng),其碰前的總動(dòng)能為

比較(7)、(8)兩式不難發(fā)現(xiàn),碰后系統(tǒng)的動(dòng)能增加了,這可能嗎?既然題目中已明確指明碰撞中不損失機(jī)械能,那么碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)能必然是相等的.

筆者認(rèn)為,“六文”之所以出現(xiàn)錯(cuò)誤,其原因在于將物理問(wèn)題純數(shù)學(xué)化了,這也是部分教師在教學(xué)中容易出問(wèn)題的地方.

實(shí)質(zhì)上,對(duì)于本題而言,若要碰后小球1上升得最高,也就意味著要求小球2把剛碰前時(shí)的全部動(dòng)能在碰撞過(guò)程中都給了小球 1,即碰后 v2′=0.由(6)式,可得 n=3,將 n=3代入(5)式,解得 v1′=2v0.這樣,碰后系統(tǒng)的總動(dòng)能為

注意到 n=3時(shí),m2=3m1代入(8)式,得

比較(9)、(10)兩式,碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)能是相等的,這也才是符合物理本質(zhì)的.