定數(shù)截尾情形下一類分布族參數(shù)的Minimax估計(jì)

任海平，李中恢

（1.江西理工大學(xué) 基礎(chǔ)部，南昌 330013；2.江西宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000）

0 引言

分布族參數(shù)的Minimax估計(jì)問題，一直引起很多學(xué)者的興趣，見文[1-6]。在加權(quán)平方損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下，文[1]、[2]研究了Parteo分布參數(shù)的Minimax估計(jì)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)問題，文[3]討論了Rayleigh分布參數(shù)Minimax估計(jì)問題；文[4]在對(duì)數(shù)誤差平方損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下，討論了一類轉(zhuǎn)換的χ2分布族參數(shù)的Minimax估計(jì)問題；文[5]在LINEX損失函數(shù)下研究了成功概率的Minimax估計(jì)問題；文[6]通過參數(shù)變換得到了一類分布函數(shù)參數(shù)的Minimax估計(jì).大多數(shù)Bayes推斷程序已經(jīng)在通常的平方損失函數(shù)下得到了發(fā)展，平方誤差損失是對(duì)稱的，它予于了高估和低估具有同等的重要性。然而這樣的一個(gè)限制可能是不合實(shí)際的。例如，在估計(jì)可靠性及失效率函數(shù)時(shí)，高估會(huì)比低估帶來的后果更嚴(yán)重，在這種情況下使用對(duì)稱損失函數(shù)可能是不合實(shí)際的[7].于是很多學(xué)者提出了一些非對(duì)稱損失函數(shù)。

Podder[1]提出了一個(gè)修正的線性指數(shù)損失函數(shù)(MLINEX損失函數(shù))：

本文考慮如下一類分布族:

其中g(shù)(x)是關(guān)于單調(diào)遞減的可微函數(shù)，且g(A)=1，g(B)=0,其中θ為未知參數(shù)，很多重要的分布都屬于這一類分布族。

在生存分析、可靠性和保險(xiǎn)精算問題中有各種各樣與壽命或失效時(shí)間有關(guān)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，稱為壽命數(shù)據(jù).完全壽命試驗(yàn)要進(jìn)行到所有試驗(yàn)樣本壽命結(jié)束為止，統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果雖較可靠，但常常需要較長(zhǎng)時(shí)間，特別是隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，產(chǎn)品的質(zhì)量也不斷提高，產(chǎn)品的壽命越來越長(zhǎng)，所以在這些情形下完全壽命試驗(yàn)難于采用，此時(shí)我們只能獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)，但若能充分利用壽命分布提供的信息，也能得到較有效的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，且省時(shí)、經(jīng)濟(jì)、具有實(shí)用價(jià)值.定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)又稱為Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn),就是其中一種較常采用的截尾試驗(yàn)。

本文將基于定數(shù)截尾試驗(yàn)，在加權(quán)平方誤差損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下，討論了此類分布族參數(shù)Minimax估計(jì)問題。

1 引理及證明

引理1 設(shè)X1，…，Xn為來自分布族(3)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在定數(shù)截尾試驗(yàn)中,進(jìn)行到有r個(gè)產(chǎn)品(r事先指定,r＜n)失效時(shí)試驗(yàn)終止, 獲得 r個(gè)觀察值 x(1)＜x(2)＜…＜x(r).

（2）假定參數(shù)θ具有Jeffery's無信息先驗(yàn)密度：π（θ）∝

證明：在定數(shù)截尾（Ⅱ型截尾）下，樣本的似然函數(shù)為：

其中A≤x(i)≤B

則u(x)的矩母函數(shù)Φ(w)為：

于是 u(X)～Gamma(1，θ)

（1)設(shè)參數(shù) θ 具有 Jeffery’s無信息先驗(yàn)密度：π （θ）∝的聯(lián)合密度函數(shù)為：

給定樣本X=(X1，…，Xn)后參數(shù)θr的后驗(yàn)概率密度為：

于是 θ｜X～Gamma(r,T).

引理 2[10]在加權(quán)平方損失函數(shù)為：

下，其中δ為θ的判別空間的一個(gè)估計(jì)，則對(duì)于任意的先驗(yàn)分布 π（θ），θ 的 Bayes 估計(jì)為并且解是唯一的，這里假定 r(δ)=E(θ，δ)[L2（θ，δ）]＜+∞

引理3 在MLIEX損失函數(shù)L2(θ，δ)=w

證明：在MLIEX損失函數(shù)下，δ對(duì)應(yīng)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為：

故欲使 r(δ)達(dá)到最小，只需 E(L2(θ，δ)｜X)幾乎處處達(dá)到最小。

由于

下證唯一性：欲證唯一性，只要證 r(δMMLE)＜+∞，由題設(shè) r(δ)＜+∞，而 r(δMMLE)＜r(δ),故引理得證。

證明：設(shè)參數(shù)θ具有Jeffery’s無信息先驗(yàn)密度：π（θ）由（4）式知 θ｜X～Gamma(r,T)

故由引理3有

引理5[11]（Lehmann定理）在給定的bayes決策問題中，D為非隨機(jī)化決策函數(shù)類，假如δ*∈D為對(duì)應(yīng)于先驗(yàn)分布π*(θ)的 Bayes 估計(jì)，且其風(fēng)險(xiǎn)函數(shù) R(δ*，θ)=ρ（常數(shù)），則 δ*為θ的Minimax估計(jì)。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)X1,X2,…，Xn為來自分布密度為（3）式的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X（1），…，X(r)為前 r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，r(≤)為首次失效時(shí)間

證明：首先我們要找到θ的Bayes估計(jì),然后如果我們?nèi)裟茏C明d的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)是常數(shù)，那么我們由引理5就直接得到定理的結(jié)論。下面我們假定參數(shù)θ具有Jeffery’s無信息先驗(yàn)密度那么給定樣本x后參數(shù)θ的后驗(yàn)概率密度為：

又由 T～Gamma(r,θ), 有

（2）由引理 4 有：

又

故有

3 數(shù)值模擬比較

采用均方誤差(MSEs)對(duì)上述兩個(gè)Minimax估計(jì)及極大似然估計(jì)進(jìn)行比較。一個(gè)參數(shù)的估計(jì)的均方誤差定義為：

我們以指數(shù)分布 F(x)=1-[g(x)]θ=1-e-θx,θ=1 為例， 通過Monte-Carlo模擬，分別在不同的樣本容量下，計(jì)算這三種估計(jì)的值及相應(yīng)的均方誤差。 記(n,r)表示(樣本容量,截尾數(shù))

(1）由表1可以看出，在 r＜25 時(shí) ，加權(quán)平方損失函數(shù)下的極小極大估計(jì)的均方誤差比極大似然估計(jì)和MLINEX損失函數(shù)的要小，在r較大(r>25)，上述三種估計(jì)的均方誤差近似相等，且隨著r的增大，這三種估計(jì)值之間的差異逐漸縮小。建議對(duì)于定數(shù)截尾試驗(yàn)的截尾樣本數(shù)盡量多一些。

(2)經(jīng)過多次數(shù)值模擬知，上述三種估計(jì)值相對(duì)于真值的近似效果與r,n以及樣本觀測(cè)值之間的差異有關(guān)，并且有時(shí)會(huì)對(duì)估計(jì)值產(chǎn)生較大的影響。

表1 三種不同估計(jì)的估計(jì)值和均方誤差值(θ=1，c=1)

[1]Podder C K,Roy M K,Bhuiyan K J,et al.Minimax Estimation of the Parameter of the Pareto Distribution for Quadratic and MLINEX Loss Functions[J].Pak.J.Statist.,2004,20(1).

[2]Podder,C.K.Comparison of Two Risk Functions Using the Pareto Distribution[J].Pak.J.Statist，2004,20(3).

[3]Sanku Dey.Minimax Estimation of the Parameter of Rayleigh Distribution under Quadratic Loss Function[J].Data Science Journal,2008,7(23).

[4]Mahmoodi E,Sanjari F N.Minimax Estimation of the Scale Parameter in a Family of Transformed Chi-square Distributions under Asymmetric Quares Log Error and MLINEX Loss Functions[J].Journal of Sciences,Islamic Republic of Islamic,2006,17(3).

[5]Alicja Jokiel-Rokita,Ryszard Magiera.Minimax Estimation of Probability of Success under LINEX loss[J].Stat Comput,2007,(17).

[6]Alicja Jokiel-Rokita,Ryszard.Minimax Estimation of a Cumulative Distribution Function by Converting to a Parametric Problem[J].Metrika,2007,(66).

[7]Basu A P,Ebrahimi N.Bayesian Approach to Life Testing and Reliability Estimation Using Asymmetric Loss Function[J].J.Statistical Planning&Inference,1991，29.

[8]R.Calabria,G.Pulcini.Point Estimation under Asymmetric Loss Functions for Left-truncated Exponential Samples[J].Communications in Statistics Theory and Methods,1996,25(3).

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[10]茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

[11]Lehmann E L,George Casella.點(diǎn)估計(jì)理論（第二版）[M].鄭忠國(guó)，蔣建成，童行偉,譯.北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2005.