一類非線性偏微分方程組的近似解法初探

趙小山，靳文娟，王 璟

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學 理學院，天津 300222）

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，非線性科學在自然科學、社會科學領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，特別是尋找非線性發(fā)展方程的精確解在非線性的問題研究中占有重要地位。傳統(tǒng)的求解非線性波方程的方法主要有逆散射法[1]、Bucklund 法[2]、Darboux 變換法[3]、Hirota 雙線性法[4]和Painlevé展開法[5]等。近年來，涌現(xiàn)出一系列新的求解方法，如齊次平衡法[6]、雙曲正切函數(shù)展開法[7]、EXP函數(shù)法[8]和變分迭代法[9-11]等。本文利用何吉歡教授[9]提出的變分迭代理論，對一類非線性偏微分方程組進行求解，得到了方程的近似解，同時證明了該解法的快速收斂性。

1 方法簡述

本節(jié)主要簡述變分迭代法[8]的主要內(nèi)容。這一理論是對Inokuti提出的廣義拉氏乘子的改進。在變分迭代法中考慮微分方程：

其中：L為線性算子；N為非線性算子；g（t）為非齊次項。用變分迭代法得式（1）的校正泛函：

其中：λ為廣義拉氏乘子；un為第n次近似解為限制變分，即n=0。

在該方法中，首先要確定拉氏乘子λ，λ可由變分理論識別。例如：所選乘子滿足校正泛函取駐值，即δun+1（t）=0；再通過任意初始函數(shù)u0及計算所得的拉氏乘子λ得到連續(xù)逼近解un，n≥0。若連續(xù)近似解序列收斂，則可以得到精確解。

2 方法的應(yīng)用

考慮如下方程組：

滿足：u（x，0）=ex，v（x，0）=e-x。將式（3）轉(zhuǎn)化為關(guān)于 u、v的變分形式，通過變分迭代法及式（2）對微分方程組（3）構(gòu)建t方向的校正泛函，得：

用變分理論中的限制變分的概念，將校正泛函式（4）重寫：

令δun+1（x，t）=0，δvn+1（x，t）=0，得：

由式（8）、式（9）求得拉氏乘子：

現(xiàn)將式（10）、式（11）分別代入校正泛函式（5），得下列迭代式：

令u0（x，t）=u（x，0）=ex，v0（x，t）=v（x，0）=e-x，并將其帶入式（12），得：

取定 t=0.1，x=0.5，得系統(tǒng)（3）精確解為：

表1給出了各階近似解的近似精度。

表1 系統(tǒng)（3）的近似解比較

由表1可以看出，每迭代一次，在確定其自變量取值后其精度不斷提高，即近似值不斷接近精確值，當?shù)降谖宕螘r已經(jīng)很接近精確解。

3 結(jié)束語

本文通過采用變分迭代法，對非線性偏微分方程組進行求解，得到了二元非線性偏微分方程組的近似解，證明了變分迭代法求解非線性系統(tǒng)的有效性。

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