改進的海浪波包譜

劉 思，柳淑學，俞聿修

（大連理工大學海岸及近海工程國家重點實驗室，大連116024）

海浪群性是海浪場的一種重要特性，對海堤、港灣共震、系泊浮體運動等有明顯影響。關(guān)于波群研究的波包線理論認為，波群即波列局部振幅（或稱波面包絡，簡稱波包）隨空間和時間緩慢變化的現(xiàn)象，用波包來討論波群方便而直接?，F(xiàn)有研究表明，海浪群性的大小與其波包譜（包線譜）的形狀大小密切相關(guān)。目前對波譜已進行了大量的研究，得出了多種實用成果，但對于海浪的波包譜研究較少。

Tayfun等［1］討論了波包譜與波譜的關(guān)系，給出波包譜的理論形式。Xu等［2］將波包譜的概念用于波群模擬中，建立了以給定波譜和波包譜為靶譜的波群模擬方法，認為波群特征可由波譜和波包譜兩者決定，然而其方法并未得到實用的波包譜，所建議的波群特征參數(shù)也不合理，難以應用于實際。俞聿修等［3］采用了合適的波群特征參數(shù)，首次提出了風浪波包譜的經(jīng)驗公式，但所依據(jù)的實測波浪資料較少，有些假定不盡合理，還需進一步的驗證和改進。

鑒于此，本文收集了更多的實測波浪資料，一方面計算實測波浪的群性特征參數(shù)并對其相關(guān)性進行分析，另一方面計算實測波浪的波包譜，從中總結(jié)規(guī)律，以期得到一個更能反映天然海浪的波包能量分布的波包譜經(jīng)驗公式。

1 實測波浪資料的群性特征參數(shù)分析

關(guān)于波群的研究中，基于瞬時波能過程線（SIWEH）［4］、連長理論［5］和波包線理論［6］定義的參數(shù)得到了廣泛應用。這些參數(shù)一般從兩方面描述波浪群性：一方面是描述波群的高度特性，如參數(shù)GF，GFA，GFH等；另一方面是描述波群的長度特性，如GLF。其中GF是Funke等［4］提出的用SIWEH定義的參數(shù)，定義式為

式中：Tn為波浪資料的總長度；E（t）為光滑瞬時波能過程線，定義為

式中：η為波面記錄；Q（τ）為光滑函數(shù)，可采用Barleet窗，即

式中：Tw為窗口長度。GFA為List［6］由波包線出發(fā)定義的，先將波面記錄η（t）濾去小于0.05 Hz的低頻波，然后對進行低通濾波，濾去原始波面，得到波面包線，進而定義波群因子式中σA和分別為波包線的方差和均值。GFA為一個無量綱參數(shù)，且分布在0～1。但上述計算波包線的方法明顯地受到濾波截止頻率的影響。GFH是俞聿修等［7］建議的描述群高的參數(shù)，其定義式與GFA相同，二者區(qū)別在于計算GFH時，其波包線是通過Hilbert變換由波面記錄直接計算得到，不需進行濾波。GLF是波譜的峰頻fp與波包譜峰頻fpA的比值［7］，所以GLF越大，波包線的周期相對于波周期越大，即波群越長，GFH和GLF的計算公式可寫為

Goda［5］按上跨零點順序確定各個波浪的波高，定義超過某個預定門檻值的波群為連，連內(nèi)的波數(shù)稱為連長，用1表示。

目前常籠統(tǒng)地將波群的高度特征參數(shù)如GF或GFH，作為判定群性大小的依據(jù)，而事實上群高參數(shù)的大小與波群的長度特征并非一一對應。尚不清楚群高大的海浪，其群長是否也一定大。因此，有必要對這兩者之間的關(guān)系進行研究。

對美國西海岸、中國珠江口和渤海3個測站的實測波浪資料進行波群特征參數(shù)的分析，為推導波包譜經(jīng)驗公式作準備。其中美國西海岸外海觀測資料有4組［7］，每組采集點數(shù)18 000個，測點水深為2 100 m，采樣時距為0.39 s，時長約117 min，H1/3=2.34～2.92 m，T1/3=14.6～15.3 s；珠江口實測波浪資料由底壓式測波儀測得，水深約10 m，采樣頻率4 Hz，每次采樣4 800個點，時長約20 min，選用的71組波浪主要波要素H1/3=0.50～1.58 m，T1/3=2.79～5.25 s；渤海實測波浪資料是由垂線測波儀在水深27 m處測得，采樣頻率4 Hz，時長約20 min，選用的26組波浪主要波要素為H1/3=0.62～2.54 m，T1/3=3.65～6.34 s。圖1給出這三地海浪資料的主要波群參數(shù)計算結(jié)果，并對參數(shù)的聯(lián)合分布作了線性回歸分析，圖1中實線是按最小二乘法作的線性擬合，其線性回歸方程擬合的相關(guān)系數(shù)及標準差已注明。除了可以獲悉對于實測海浪資料來講，其波群參數(shù)的主要分布范圍外，從圖1-a可以看出，群高參數(shù)GFH和GF的相關(guān)性較好，而圖1-b表明GFH和群長參數(shù)GLF的相關(guān)性較差，如當GFH=0.7時，GLF的取值大約可由5變化到25。同樣，從圖1-c可以看出，GFH和群長參數(shù)1的相關(guān)性也不好。由此可見，描述海浪群性高度特征的參數(shù)與描述其長度特征的參數(shù)的相關(guān)性不強。

圖2給出了2組具有明顯不同群性特征波列的示意圖。圖2-a中由波包線定義的每個群內(nèi)包含多個大波，波包線平坦，圖2-b中按波包線定義的每個群內(nèi)的大波個數(shù)少，波包線起伏變化較快?？梢钥闯?，群性的不同主要體現(xiàn)在波包起伏幅度和變化快慢的不同，群高主要表征波群內(nèi)外波振幅的差別，其統(tǒng)計特征量反映波包的起伏幅度，群長主要表征波群內(nèi)大波個數(shù)，其統(tǒng)計特征量反映波包的變化快慢，或者說是連續(xù)大波的持續(xù)長度。顯然，圖2-a中群長大而群高小，圖2-b中群長小而群高大。由此可以推斷，正如描述波面的統(tǒng)計特征量波高與周期，在一定范圍內(nèi)的相對獨立性一樣，描述波群的高度特征參數(shù)與長度特征參數(shù)也是從不同角度描述海浪群性的大小，是在一定范圍內(nèi)相對獨立的參量。

事實上，波群的高度特征和長度特征都是海洋工程所關(guān)心的。因此在關(guān)于海浪波群的研究中，至少需要給出2個參數(shù)來表征波浪群性的大小。對于如何定義這2個參數(shù)的問題，List［6］充分闡述了無論是基于SIWEH定義的GF，還是波包線定義的群因子GFA，都對窗口長度值的選取很敏感，參數(shù)GF的另一個缺陷是沒有限定范圍，有的波群GF參數(shù)值比1.0大得多。相比之下，據(jù)波包線理論定義的波群參數(shù)GFH有明確的變化范圍（0～1），且不受濾波的影響。另一方面，平均連長jˉ1是某個門檻值下波列內(nèi)各個波群中包含波數(shù)的平均值，可按Kimura［8］考慮相鄰波高間相關(guān)性的波浪連長概率理論算得。俞聿修等［7］對渤海風浪和日照港資料平均連長的統(tǒng)計分析值與計算值進行了比較分析，發(fā)現(xiàn)按Kimura理論計算的平均連長值與實測值符合良好，而且與群高因子、譜的尖度參數(shù)Qp等［9］有較好的相關(guān)性。但該參數(shù)不是以譜的形式定義的，不便于應用［10］。而參數(shù)GLF為波譜與波包譜的峰頻之比，應用方便，且與群長參數(shù)1有一定的相關(guān)性，從本文用到的實測波浪資料統(tǒng)計分析結(jié)果看，相關(guān)系數(shù)接近0.5（圖1-d）。在下文中采用參數(shù)GFH和GLF來共同表征波浪的群性特征。

2 實測波浪資料的波包譜分析

俞聿修等［3］根據(jù)渤海實測波浪資料進行波包譜分析，發(fā)現(xiàn)波包譜基本呈單峰形，且譜形尖而窄，峰頻非常小。對波包譜無因次化時，縱坐標取y=SA（f）/m0A，橫坐標取x=f/fPA，其中fPA為波包譜的峰頻，SA（f）為波包譜密度，m0A為波包譜的零階矩。這樣得到的“無因次”波包譜的峰頻為1，峰值基本上趨于一致（約等于20），從而對無因次化后的譜可以頻率f=fPA為界限分2段給出擬合公式

假定波浪為平穩(wěn)，窄譜隨機過程，波高符合瑞利分布，則有

式中：m0為波譜的零階矩，又據(jù)式（4）群高參數(shù)GFH的定義，可推得

將式（8）代入式（6），從而給出了一個初步的波包譜經(jīng)驗公式

式（9）中fPA按下式確定

然而，此波包譜經(jīng)驗公式是僅依據(jù)渤海實測波浪資料得到的，雖適用于渤海資料情況，但存在下列3個主要問題。

（1）按上述無因次化方法，對珠江口實測波浪資料計算得到的各“無因次”波包譜的峰值相對較離散（圖3）。說明對于更多更廣的實測波浪資料，此經(jīng)驗公式的適用性值得商榷。

（2）依據(jù)圖1-b給出的實測波浪資料的群性參數(shù)GFH和GLF的分布可知，公式中給出的群高參數(shù)GFH與fPA的取值不盡合理。

（3）給定相同的m0和參數(shù)GFH時，不考慮式（10）的限制，按式（9）計算得到的波包譜隨參數(shù)GLF變化情況見圖4。從圖4可以看出，隨GLF參數(shù)值的減小，波包譜峰頻增大，其面積也增大，這與推導過程中用到的式（8）矛盾，其原因是對波包譜無因次化時，縱坐標取的是y=SA（f）/m0A，并沒有實現(xiàn)完全的無因次化。

根據(jù)上千組珠江口和渤海兩地的原始波浪觀測資料，對上述波包譜經(jīng)驗公式進行改進?？紤]到波包譜與波浪群性特征的密切關(guān)系，以及波群的高度特征和長度特征在一定范圍內(nèi)相對獨立的特點，希望得到的波包譜經(jīng)驗公式同時包含群高參數(shù)和群長參數(shù)。首先對原始資料進行濾波處理（主要去除波浪過程中的高頻干擾），然后應用Hilbert變換方法，由處理后的波面記錄計算波包線，對于窄譜海浪，波面η（t）的Hilbert變換定義為

式中：P為當t=τ時積分取Cauchy主值。波包可由下式計算

再對波包線進行傳統(tǒng)的傅立葉變換，從而得到波包譜。注意到波包譜的峰頻很小，計算時頻率劃分間隔必須足夠小，以保證計算譜及參數(shù)GLF的準確性。最后，按照波浪有效波高值大于0.5 m，且計算頻譜是單峰的原則，共篩選出97組波浪的波包譜來分析。對所選的97個波包譜進行無因次化，具體無因次化的方法是

無因次化后的結(jié)果以黑點繪于圖5中。由圖5可以看出，盡管由于波浪資料的統(tǒng)計可變性，峰值及峰值兩側(cè)的曲線分布較離散，各無因次波包譜有近似的趨勢。為尋求總體上的規(guī)律，先對這97個波包譜求一個平均譜，再無因次化，將其結(jié)果也繪于圖5中（見圖5中白色曲線）。以譜峰為分界點對這條曲線的兩邊分別擬合，因譜峰的左側(cè)頻帶窄，曲線很陡，故直接取直線y=a+bx來近似，而右側(cè)可以用曲線y=Aexp（-Bx）擬合，依此得到擬合公式為

圖6中虛線是按式（14）繪出的經(jīng)驗無因次波包譜，實線是實測資料的平均無因次波包譜，從圖6上看，二者基本一致。由此可見，對圖5中白色曲線采用式（14）擬合是可行的。將式（8）代入式（14），可得到用f表示的有因次波包譜經(jīng)驗公式

從式（15）可以看出，若已知波譜，通過給定fPA和波群參數(shù)GFH就可以計算得到波包譜SA（f）。式中的fPA可由給定的群長參數(shù)GLF確定，根據(jù)前述波群特征參數(shù)的分析，實際海浪的群長參數(shù)GLF大多分布在5～28，群高參數(shù)GFH多集中于0.5～1變化。盡管二者的相關(guān)性較差，但如同波高與周期的聯(lián)合分布一樣，群高與群長具有一定的相關(guān)性，建議fPA按下式確定

圖7和圖8給出波譜一定時，改變?nèi)焊邊?shù)GFH或群長參數(shù)GLF對此經(jīng)驗波包譜的影響。從圖7可知，GLF不變時，隨著給定群高參數(shù)GFH增大，波包譜峰值增大，相應地波包譜零階矩增大；從圖8可以看出，GFH不變時，隨著給定群長參數(shù)GLF的增大，波包譜峰頻減小，峰值增大，而波包譜零階矩基本不變。這正如所預期的，GFH表征波群的高度，其變化會改變波包絡的平均能量，即波包譜的零階矩，同時，GLF表征波群的長度，其變化會改變波包譜峰頻，而不影響其零階矩大小。

此外計算了美國西海岸4組實測波浪資料的波包譜，其無因次波包譜也分布在圖5所示的范圍內(nèi)，且譜形與之相近，因其波浪性質(zhì)是以涌浪為主的混合浪，因此推測式（15）和式（16）還可適用于涌浪為主的混合浪，有待于更多的實測資料來檢驗。

至此，式（15）和式（16）可建議作為一個適于風浪的波包譜經(jīng)驗公式。該公式的特點是只包含波要素和波群參數(shù)作為參量，便于工程應用，且同時考慮了群高與群長兩方面的因素。與俞聿修等［3］所給定的經(jīng)驗公式（9）和式（10）相比，本文建立的波包譜經(jīng)驗公式推導過程中采用了更合理的無因次方法，依據(jù)3處海區(qū)的波浪觀測資料，其結(jié)果具有普遍性，據(jù)實測波浪資料群性特征參數(shù)的分析結(jié)果，公式中參數(shù)的取值原則也較為合理。

3 結(jié)語

本文對大量實測波浪資料進行了波浪群性特征參數(shù)分析，結(jié)果表明，群高與群長相關(guān)性很小，在此基礎(chǔ)上對俞聿修所建議的波包譜公式加以改進，給出了一個適于風浪的波包譜經(jīng)驗公式。該公式同時考慮了群高與群長兩方面的因素，只要給出波要素和波群的特征參數(shù)GFH和GLF，便可確定波包譜形，依據(jù)對實測資料波群參數(shù)的分析結(jié)果，給出了較合理的參數(shù)取值原則，便于應用，為波群的模擬提供了較好的基礎(chǔ)。

［1］Tayfun M A，Lo J M.Wave envelope and related spectra［J］.Journal of Waterways Port Coastal and Ocean Eng.，ASCE，1989，115：515-533.

［2］Xu D L，Hou W，Zhao M，et al.The statistical simulation of wave groups［J］.Applied Ocean Research，1993，15：217-226.

［3］俞聿修，桂滿海.波群的數(shù)值模擬和物理模擬［J］.大連理工大學學報，1998，38（1）：86-91.YU Y X，GUI M H.Numerical simulation and physical simulation of sea wave groups［J］.Journal of Dalian University of Technology，1998，38（1）：86-91.

［4］Funke E R，Mansard E P D.On the synthesis of realistic sea states in laboratory flume［C］//ASCE.Proc.17th Inter.Conf.on Coastal Engineering.Sydney：［s.n.］，1980.

［5］Goda Y.Numerical experiments on wave statistics with spectral simulation［R］.Rept.Port and Harbour Res.Inst.1970，9（3）：3-57.

［6］List J H.Wave groupiness variations in the near shore［J］.Coastal Engineering，1991，15：475-496.

［7］俞聿修，桂滿海.海浪的群性及其主要特征參數(shù)［J］.海洋工程，1998，16（3）：9-21.YU Y X，GUI M H.Groupiness of sea waves and their characteristic parameters［J］.The Ocean Engineering，1998，16（3）：9-21.

［8］Kimura A.Statistical properties of random wave groups［C］//ASCE.Proc.I7th International Conf.on Coastal Engineering.Sydney：［s.n.］，1980.

［9］俞聿修.隨機波浪及其工程應用［M］.大連：大連理工大學出版社，2000.

［10］Masson D，Chandler P.Wave groups：a closer look at spectral methods［J］.Coastal Engineering，1993，20：249-275.