新課標(biāo)背景下立體幾何教學(xué)基本問(wèn)題與解決策略

禹文軍

【摘要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)課程中培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、直觀想象能力和邏輯思維能力不可或缺的重要內(nèi)容.但大多數(shù)學(xué)生學(xué)不通透，對(duì)定理、公式記憶不熟，書寫步驟缺乏理性思維，缺乏空間想象力.因此，立體幾何的教學(xué)應(yīng)構(gòu)建學(xué)習(xí)立體幾何的一般思路和方法，循序漸進(jìn)地安排訓(xùn)練，關(guān)注基本圖形的作用，通過(guò)基本問(wèn)題的解決策略來(lái)發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo);立體幾何;問(wèn)題;策略

目前，新修訂的2017版數(shù)學(xué)《高中課程標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)頒布實(shí)施.在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)理念的統(tǒng)領(lǐng)下，數(shù)學(xué)課程教學(xué)首要研究的問(wèn)題是如何貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)落實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”、學(xué)會(huì)“三會(huì)”、發(fā)展“核心素養(yǎng)”.立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)分支[1].但大多數(shù)學(xué)生學(xué)不通透，對(duì)定理、公式記憶不熟，步驟書寫不規(guī)范，思路不清晰，缺乏邏輯性，甚至把結(jié)論當(dāng)已知用，尤其是證明題缺乏理性思維，缺乏空間想象力.

一、立體幾何的教學(xué)基本問(wèn)題

在基本立體圖形的教學(xué)中，其主要的研究對(duì)象是觀察空間圖形柱、錐、臺(tái)、球等和基本圖形的位置關(guān)系.對(duì)基本立體圖形和基本圖形的位置關(guān)系，要讓學(xué)生明確研究什么，怎么研究，使學(xué)生逐步體會(huì)抽象數(shù)學(xué)對(duì)象、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，提升發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力[2].

對(duì)基本立體圖形的研究，可以按照結(jié)構(gòu)特征（包括相關(guān)定義）→平面表示（直觀圖）→面積和體積的研究路徑呈現(xiàn).這一過(guò)程中，針對(duì)具體的立體圖形，也要呈現(xiàn)出一個(gè)由具體到抽象、逐步深入的研究過(guò)程，體現(xiàn)研究立體圖形的基本思路和方法.

對(duì)基本圖形位置關(guān)系的研究，則要按照定義→判定→性質(zhì)的思路展開.在每一環(huán)節(jié)，可以通過(guò)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建具體的研究思路，體會(huì)研究圖形位置關(guān)系的過(guò)程.過(guò)程中要特別關(guān)注直線、平面這些基本元素，關(guān)注它們之間的關(guān)系以及確定這些元素的作用上述層層遞進(jìn)的問(wèn)題，聯(lián)系平面向量的知識(shí)（平面向量基本定理），既體現(xiàn)了研究平面與平面平行這一問(wèn)題的研究過(guò)程，也有得到判定定理之后的反思，突出了研究基本圖形位置關(guān)系的一般思路和方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力.

二、立體幾何基本問(wèn)題解決策略

（一）視圖與幾何體的面積、體積問(wèn)題

幾何體的面積、體積問(wèn)題是立體幾何的基本問(wèn)題，一些常見的問(wèn)題是根據(jù)幾何體的三視圖來(lái)確定幾何體的面積或體積，解決這類問(wèn)題就需要還原幾何體的實(shí)際形狀，應(yīng)先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)面與側(cè)棱的特征，同時(shí)還要根據(jù)虛線和實(shí)線確定所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，特別注意由各視圖中觀察者與幾何體的相對(duì)位置與圖中的虛實(shí)線來(lái)確定幾何體的形狀，最后根據(jù)三視圖“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的關(guān)系確定輪廓線的各個(gè)方向的尺寸.

解析?由三視圖可知，該幾何體的俯視圖由一個(gè)半圓與一個(gè)三角形組成，正視圖與側(cè)視圖均為等腰三角形，由此得出該幾何體是由右側(cè)的一個(gè)半圓錐和左側(cè)的一個(gè)三棱錐拼接而成的組合體.由三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積為V=13×12×2×4×4+12×13×π×22×4=8π+163，故選A.

涉及體積問(wèn)題時(shí)先要研究幾何體的構(gòu)成，研究看是單一體還是組合體.如果分割后含三棱錐，求體積時(shí)等體積法是一種常用的方法，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法.在求空間幾何體的面積問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)分清是側(cè)面積還是表面積.多面體的表面積就是其展開圖的面積也就是所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和.

（二）球與多面體的切接問(wèn)題

與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一般是外接和內(nèi)切問(wèn)題.解題時(shí)先從圖形入手，認(rèn)真分析，明確球心、切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，并做出合適的截面圖，再確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，比如，長(zhǎng)方體外接于球，球心是長(zhǎng)方體體對(duì)角線的交點(diǎn)，長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)均在球面上，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑;球的內(nèi)接四棱柱等問(wèn)題的關(guān)鍵是把握球的直徑即棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng).球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑.球內(nèi)接于正三棱錐，球心在正三棱錐的一條高線上，涉及球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系.球心與截面圓心的連線垂直圓面，其距離為d，常利用直角三角形建立量的關(guān)系，R2=d2+r2.

涉及球與柱、錐的切接問(wèn)題時(shí)，一般通過(guò)球心及一些特殊點(diǎn)如接、切點(diǎn)作截面圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑或直徑與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程組求解.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解.

（三）空間中的平行與垂直問(wèn)題

對(duì)基本圖形位置關(guān)系的研究，則要按照定義→判定→性質(zhì)的思路展開.在每一環(huán)節(jié)中，可以通過(guò)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建具體的研究思路，體會(huì)研究圖形位置關(guān)系的過(guò)程.過(guò)程中要特別關(guān)注直線、平面這些基本元素，關(guān)注它們之間的關(guān)系以及確定這些元素的作用上述層層遞進(jìn)的問(wèn)題，從要解決的問(wèn)題出發(fā)（平面與平面平行），聯(lián)系以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（直線與平面平行），聯(lián)系確定一個(gè)平面的要素（相交直線或平行直線），突出了研究基本圖形位置關(guān)系的一般思路和方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力.平行、垂直關(guān)系的問(wèn)題，常以柱體、錐體為載體，對(duì)空間中平行、垂直關(guān)系及體積中的探索性問(wèn)題有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.

（3）解：線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM證明如下：取AC的中點(diǎn)M，連接MN，則MN是△ACE的中位線，所以MN∥EA，MN平面FDM，所以EA∥平面FDM.

對(duì)平行垂直問(wèn)題的證明，可以利用轉(zhuǎn)化法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)解決，也可利用空間向量的方法來(lái)解決.

（四）立體幾何中的向量方法

向量是解決立體幾何問(wèn)題的重要工具，具有高效、快捷的特性.一般方法是選擇適當(dāng)基底或建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，用向量表示問(wèn)題中的相關(guān)量，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的向量問(wèn)題，即將已知條件中的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后進(jìn)行相關(guān)的向量運(yùn)算，最后利用向量的運(yùn)算結(jié)果解釋該問(wèn)題，從而原問(wèn)題得解.

利用向量坐標(biāo)解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)、正確的空間坐標(biāo)系，難點(diǎn)是在已建好的坐標(biāo)系中表示出一些一般點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)一般位置點(diǎn)的坐標(biāo)可利用共線向量基本定理來(lái)確定其坐標(biāo).只有正確表示出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，才能通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題的代數(shù)化解法.空間向量的引入為解決空間幾何問(wèn)題開辟了另一種途徑，它將空間幾何問(wèn)題數(shù)量化，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、距離的求解變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問(wèn)題，降低了思維的難度.

三、結(jié)?語(yǔ)

立體幾何在發(fā)展學(xué)生的直觀想象與邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用.立體幾何的教學(xué)，要結(jié)合立體幾何內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，構(gòu)建研究框架和教材的結(jié)構(gòu)體系，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的研究立體圖形及其位置關(guān)系的過(guò)程;在解決具體立體幾何問(wèn)題中，重視基本圖形的作用，循序漸進(jìn)地安排推理訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.這樣，學(xué)生既掌握了“四基”，又提高了“四能”，并發(fā)展了“核心素養(yǎng)”，從而體現(xiàn)了立體幾何教學(xué)的育人價(jià)值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]李海東.基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（2）：8-11.