桅桿結(jié)構(gòu)脈動(dòng)風(fēng)速模擬與風(fēng)荷載計(jì)算＊

魯麗君 瞿偉廉 李 明

（山東理工大學(xué)建筑工程學(xué)院1） 淄博 255049） （武漢理工大學(xué)道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2） 武漢 430070）（淄博市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院3） 淄博 255037）

高聳結(jié)構(gòu)（電視塔、桅桿、煙囪等）高度較高，剛度較柔，對(duì)風(fēng)荷載的作用比較敏感［1］，對(duì)于這類結(jié)構(gòu)，風(fēng)荷載是重要的控制荷載.近年來(lái)發(fā)展了多種風(fēng)模擬方法，主要有線性濾波器法、諧波疊加法、逆傅里葉變換法和小波變換法等［2］.M.Shinozuka，C.M.Jan［3］，王之宏［4］詳細(xì)介紹了風(fēng)荷載模擬諧波疊加法的基本理論；王吉民［5］，J.S.Owen［6］等采用線性濾波器法模擬了膜式結(jié)構(gòu)表面上的風(fēng)荷載；曹映泓［7］、胡亮［8］在橋梁的風(fēng)場(chǎng)模擬中引入快速傅里葉變換以改進(jìn)諧波疊加法的運(yùn)算效率.諧波疊加法雖然是一種有效模擬隨機(jī)風(fēng)荷載的方法，但它計(jì)算效率低，模擬多維風(fēng)速時(shí)程將耗費(fèi)大量機(jī)時(shí).本文在風(fēng)自功率譜、互功率譜及模擬公式中采用統(tǒng)一的自變量——圓頻率，并利用引入FFT改進(jìn)的諧波疊加法模擬桅桿結(jié)構(gòu)的多維風(fēng)速時(shí)程，根據(jù)由Bernoulli定理導(dǎo)出的風(fēng)速與風(fēng)壓間的關(guān)系將所得到的風(fēng)速時(shí)程轉(zhuǎn)化為動(dòng)力計(jì)算分析所需的風(fēng)荷載時(shí)程.

1 風(fēng)的的基本特性

自然風(fēng)包含平均風(fēng)和脈動(dòng)風(fēng)2種成份.平均風(fēng)是在給定的時(shí)間間隔內(nèi)風(fēng)力大小及方向等不隨時(shí)間改變的量；而脈動(dòng)風(fēng)則具有明顯的隨機(jī)性，一般可用零均值平穩(wěn)Gauss隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述.作用于結(jié)構(gòu)上任意處的風(fēng)速為平均風(fēng)速和脈動(dòng)風(fēng)速之和，風(fēng)的模擬主要是針對(duì)脈動(dòng)風(fēng)而言的.

1.1 平均風(fēng)速剖面

平均風(fēng)沿高度的變化規(guī)律，常稱為風(fēng)速梯度或風(fēng)速剖面.平均風(fēng)速隨高度的變化的規(guī)律常采用以下表達(dá)形式

1.2 脈動(dòng)風(fēng)自功率譜

目前關(guān)于脈動(dòng)風(fēng)速譜的研究較多，常用的風(fēng)速譜主要有不隨高度變化的Davenport譜、與高度有關(guān)的Kaimal譜、Simiu譜等.我國(guó)國(guó)家規(guī)范采用不隨高度變化的Davenport譜.其表達(dá)式為［9］

式中：k為反映地面粗糙度的系數(shù)；ω為圓頻率.

1.3 脈動(dòng)風(fēng)互功率譜和空間相關(guān)性

實(shí)際觀測(cè)表明，作用在結(jié)構(gòu)上不同高度處的風(fēng)速不是完全相關(guān)的，有時(shí)甚至是無(wú)關(guān)的.造成這一現(xiàn)象的原因在于：類似圓球形狀的陣風(fēng)首先作用于結(jié)構(gòu)的較高處，在經(jīng)歷了一個(gè)時(shí)間差后，才作用于結(jié)構(gòu)的較低處.因此可推知風(fēng)的互相關(guān)函數(shù)是不對(duì)稱的.故互譜密度函數(shù)一般為復(fù)數(shù)形式.

式中：coh（ω）為相干函數(shù)；φ（ω）為互譜的相位角，在風(fēng)荷載模擬中，可按以下公式選取.φ（ω）值與量綱一的量有關(guān)

相干函數(shù)coh（ω）用來(lái)描述風(fēng)的空間相關(guān)性，空間相關(guān)性主要包括上下相關(guān)性和側(cè)向的左右相關(guān)性，有時(shí)還包括前后相關(guān)性.由于高聳結(jié)構(gòu)的高度尺寸一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)深度和寬度尺寸，通常只需考慮脈動(dòng)風(fēng)的豎向相關(guān)性.豎向的上下相關(guān)性已經(jīng)研究得比較成熟，Davenport建議相干函數(shù)采用：

2 脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬及風(fēng)荷載計(jì)算

2.1 脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬方法

如果將模擬風(fēng)荷載應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)計(jì)算，則要求模擬的風(fēng)荷載盡可能地接近自然風(fēng)的基本特性.如平均值、均方差、自功率譜和互率譜以及相位角關(guān)系等盡可能接近.通常采用諧波疊加法來(lái)模擬風(fēng)荷載.

式中：Δω＝（ωu－ωl）／N；ω（k）＝ωl＋（k－1／2）×Δω；ωu和ωl為截止頻率的上限和下限；φkl為0到2π范圍內(nèi)同一隨機(jī)變數(shù)；N為充分大的正整數(shù)；元素Hjk（ω）由互功率譜密度函數(shù)矩陣S（ω）的Cholesky分解得到.

H＊T（ω）是下三角矩陣H（ω）的轉(zhuǎn)置共軛矩陣.復(fù)數(shù)功率譜矩陣的Cholesky分解可以參考文獻(xiàn)［10］，θjk（ωk）＝arctan［Im（Hjk（ωk）／Re（Hjk（ωk））］，為2個(gè)不同作用點(diǎn)之間的相位角.

諧波疊加法模擬脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程理論完備，精度較高，但計(jì)算效率低，模擬多維風(fēng)速時(shí)程需耗費(fèi)大量機(jī)時(shí).利用FFT算法（快速傅里葉變換）改進(jìn)諧波疊加法，模擬效率顯著提高，改進(jìn)公式如下.

取M＝2π／ΔωΔt，引入FFT算法，式（7）可寫成以下形式

式中：

2.2 脈動(dòng)風(fēng)荷載計(jì)算

當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)與風(fēng)的耦合作用及漩渦影響時(shí)，根據(jù)Bernoulli定理，自由流動(dòng)的風(fēng)速提供的單位面積上的風(fēng)壓力為［11］

結(jié)構(gòu)任一高度處的瞬時(shí)風(fēng)速Vi為平均風(fēng)速與脈動(dòng)風(fēng)速vi之和：Vi＝＋vi

則作用在結(jié)構(gòu)上的風(fēng)壓W

平均風(fēng)壓：

脈動(dòng)風(fēng)壓：

式中：γ為空氣質(zhì)量密度.平均風(fēng)壓反映了風(fēng)對(duì)結(jié)構(gòu)的靜力作用，脈動(dòng)風(fēng)壓wi反映了風(fēng)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用.一般平均風(fēng)速遠(yuǎn)大于脈動(dòng)風(fēng)速，在忽略了脈動(dòng)風(fēng)速的平方項(xiàng)后，脈動(dòng)風(fēng)壓wi近似為

而作用在結(jié)構(gòu)上的脈動(dòng)風(fēng)荷載和脈動(dòng)風(fēng)壓的關(guān)系可以表示為

式中，Ai是結(jié)構(gòu)擋風(fēng)面積；μs為風(fēng)荷載體型系數(shù).將式（1）、（16）代入式（17）得脈動(dòng)風(fēng)荷載與脈動(dòng)風(fēng)速的關(guān)系為

3 算 例

圖1所示為一座建立在平地上的150m通信桅桿，所處地貌為B類，有兩層纖繩，每層均為3根，纖繩平面A、B、C互交120°.桅桿桿身為無(wú)縫鋼管等截面組合構(gòu)件，截面面為等邊三角形，邊寬為1m，弦桿 102／6，腹桿 54／4，鋼材彈性模量E＝200GPa2；剪切模量為G＝80GPa2.纖繩采用鍍鋅鋼絲繩，上層直徑d2＝18.5mm，截面積A2＝2.688×10－4m2；下層直徑d1＝14.5mm，截面積A1＝1.65×10－4m2；纖繩彈性模量Ek＝120GPa2；纖繩初應(yīng)力均為250MPa，風(fēng)向ψ＝0°，風(fēng)荷 載 體 型 系 數(shù)μs＝1.478，桿 身 迎 風(fēng) 面 積∑Ac＝0.316m2／m，ˉv（10）＝25m／s.

圖1 150m高桅桿

本文采用引入FFT算法改進(jìn)的諧波疊加法在配置為Celeron（R）CPU2.40GHz，256MB內(nèi)存的電腦上進(jìn)行了風(fēng)速時(shí)程模擬.模擬沿桅桿桿身高度分布的15條風(fēng)速時(shí)程曲線，持續(xù)時(shí)間為1 200s，時(shí)間間隔取0.1s.

將模擬所得到的風(fēng)速時(shí)程離散點(diǎn)數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)迎風(fēng)面積及其他相關(guān)的已知條件代入式（18）即可得到相應(yīng)桅桿桿身相應(yīng)高度處的脈動(dòng)風(fēng)荷載.圖2和圖3分別為下層纖繩與桿身連接處（高度55 m）、上層纖繩與桿身連接處（高度為115m）的風(fēng)荷載時(shí)程曲線.

圖2 下層纖繩與桿身連接處（高度55m）的風(fēng)荷載時(shí)程

圖3 上層纖繩與桿身連接處（高度115m）的風(fēng)荷載時(shí)程

在同樣的配置的電腦上、相同的模擬參數(shù)條件下采用諧波疊加法對(duì)桅桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行了15維風(fēng)速時(shí)程曲線模擬，共耗時(shí)7h45min，而改進(jìn)的FFT算法僅耗時(shí)53min.由此可見改進(jìn)的FFT法計(jì)算效率顯著提高.

圖4 高度55m處的脈動(dòng)風(fēng)自功率譜比較圖

圖5 高度125m處的脈動(dòng)風(fēng)自功率譜比較

為了檢驗(yàn)?zāi)M精度，本文將桅桿高度為55m和125m處的模擬風(fēng)速時(shí)程曲線的自功率譜與Davenport譜進(jìn)行了比較（見圖4、圖5）.由圖可以看出兩種模擬方法的自功率譜均與Davenport譜符合較好，表明模擬的脈動(dòng)風(fēng)特性與自然風(fēng)基本特性相近.

4 結(jié) 束 語(yǔ)

對(duì)土木工程中桅桿類高聳結(jié)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)致動(dòng)力響應(yīng)分析，特別是疲勞分析時(shí)，需要事先對(duì)多個(gè)風(fēng)向、不同等級(jí)參考風(fēng)速工況進(jìn)行多維風(fēng)速時(shí)程模擬，模擬工作量十分巨大，諧波疊加法較低的運(yùn)行效率不能滿足大量風(fēng)速時(shí)程模擬的要求，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的后續(xù)計(jì)算分析.而引入FFT算法改進(jìn)的諧波疊加法，不僅模擬精度高，而且運(yùn)行速度快，可以大幅減少多維風(fēng)速時(shí)程模擬的總運(yùn)算時(shí)間，極大地提高了計(jì)算效率，為后續(xù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算提供方便.

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