一種求解屏蔽電纜場線耦合問題的混合方法

張 剛 王立欣 劉 超

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院 哈爾濱 150001)

1 引言

隨著空間電磁環(huán)境日趨復(fù)雜，測試系統(tǒng)中用于傳輸微弱信號的屏蔽電纜很容易受到外部電磁騷擾的影響，成為電磁能量的吸收器，從而影響數(shù)據(jù)測量精度，嚴(yán)重時甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

求解屏蔽電纜場線耦合問題的關(guān)鍵在于求解在外界電磁場干擾下，電纜屏蔽層和芯線上電壓和電流的響應(yīng)。傳輸線理論能夠?qū)﹄娎|結(jié)構(gòu)進(jìn)行等效處理[1-2]，因而得到廣泛應(yīng)用。但隨著電纜周圍環(huán)境復(fù)雜程度的提高，傳輸線理論并不能對屏蔽電纜所在電磁環(huán)境進(jìn)行準(zhǔn)確分析。

而隨著計算機(jī)計算速度和存儲容量的不斷增長，近年來，能夠進(jìn)行電磁場三維全波分析的時域有限差分方法（FDTD）得到快速發(fā)展，提出了針對細(xì)長結(jié)構(gòu)的Holland細(xì)線算法[3]，從而被應(yīng)用于求解屏蔽電纜場線耦合問題。但這種全波分析方法在求解電纜內(nèi)部結(jié)構(gòu)電壓、電流響應(yīng)時，仍有困難，一般只用來求解屏蔽層的響應(yīng)[4-6]。

本文結(jié)合以上兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，研究了一種針對屏蔽電纜場線耦合問題的混合方法。利用電磁場FDTD方法對屏蔽電纜外部空間的電磁環(huán)境進(jìn)行準(zhǔn)確建模，描述屏蔽電纜鋪設(shè)于有耗地面時，屏蔽層感應(yīng)電流的分布。而對于受外界環(huán)境影響較小的電纜內(nèi)部，則應(yīng)用傳輸線理論，將電纜內(nèi)部等效為一組帶分布源的傳輸線方程，計算芯線上的感應(yīng)電壓和感應(yīng)電流。該方法結(jié)合了三維全波分析對空間電磁環(huán)境模擬的準(zhǔn)確性和傳輸線理論對電纜內(nèi)部細(xì)微結(jié)構(gòu)處理的有效性，解決了單純應(yīng)用兩種方法的不足。

2 數(shù)值計算模型及方法

電纜結(jié)構(gòu)和空間電磁場入射方位如圖1所示，長度為l的屏蔽電纜距離有耗地面高度h平行放置，σ 和εr分別為土壤電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)。屏蔽層兩端接地電阻分別為Za、Zb，芯線和屏蔽層端接地電阻為Z1、Z2。k為平面電磁干擾入射方向，φ 為入射方位角，θ 為入射仰角。

圖1 電纜和空間入射電磁波方位圖Fig.1 Geometry of the cable and incident electromagnetic wave

數(shù)值模型分為內(nèi)系統(tǒng)、外系統(tǒng)兩部分，電纜屏蔽層、外部電磁場以及大地構(gòu)成外系統(tǒng)，屏蔽層和芯線構(gòu)成內(nèi)系統(tǒng)。求解算法如圖2所示。

3 屏蔽層響應(yīng)的計算

外系統(tǒng)的建模是利用電磁場的 FDTD方法進(jìn)行，主要包括有耗地面、空間入射電磁波、屏蔽電纜。將計算空間劃分若干Yee網(wǎng)格，并對Maxwell方程進(jìn)行離散迭代。由Maxwell方程

圖2 混合求解算法Fig.2 Hybrid method

其中，有耗地面只要將仿真區(qū)域內(nèi)相應(yīng)網(wǎng)格的電導(dǎo)率σ 和相對介電常數(shù)εr設(shè)定為對應(yīng)土壤的參數(shù)值，就可以模擬不同土壤結(jié)構(gòu)對屏蔽層響應(yīng)的影響。計算時，將計算區(qū)域劃分為總場區(qū)和散射場區(qū)，在總場邊界加入平面波模擬空間電磁場干擾，干擾波形可以根據(jù)不同問題進(jìn)行設(shè)定。

采用傳統(tǒng)FDTD方法分析電纜問題時，由于其線徑小、長度長，導(dǎo)致劃分網(wǎng)格數(shù)過多，計算存在困難。應(yīng)用Richard Holland等提出的細(xì)線算法[3]，可以將細(xì)導(dǎo)線上的感應(yīng)電流作為電流源參與Maxwell方程的迭代計算，直接得到電纜屏蔽層電流分布。由于計算空間內(nèi)包括有耗土壤，吸收邊界采用有耗介質(zhì)的各向異性介質(zhì)完全匹配層（UPML)[7]，可以實(shí)現(xiàn)對有耗介質(zhì)中電磁波的無反射吸收。利用以上方法可以實(shí)現(xiàn)在不同土壤結(jié)構(gòu)和電纜結(jié)構(gòu)下對屏蔽層響應(yīng)的計算。

算例1：電纜結(jié)構(gòu)如圖1所示，l=6m，h=0.8m，電纜屏蔽層雙端直接接地，即Za=Zb=0Ω。水平極化平面波入射仰角θ =0°，入射方位角φ =0°，入射波形采用標(biāo)準(zhǔn)美國Bell實(shí)驗(yàn)室電磁脈沖波形：

脈沖幅值 Eo=5.25×104V/m。計算分別取土壤電導(dǎo)率σ 為0.001S/m、0.01S/m和0.1S/m，相對介電常數(shù)εr=10時，對屏蔽層感應(yīng)電流的影響。計算結(jié)果如圖3所示。

從計算結(jié)果可以看出，隨著土壤電導(dǎo)率的增大，感應(yīng)電流幅值減小。這是因?yàn)殡S著電導(dǎo)率的增大，地面對入射波的反射增強(qiáng)，反射波的水平電場分量對空間入射波的水平電場分量抵消增大，使得耦合到電纜上的能量減少。當(dāng)σ =0.001S/m時，由于屏蔽層兩端直接接地，未進(jìn)行阻抗匹配，加之土壤導(dǎo)電性變差，使得屏蔽層上感應(yīng)電流發(fā)生振蕩。

圖3 不同土壤電導(dǎo)率下的屏蔽層中端電流Fig.3 Sheath current in the middle point with different earth conductivity

算例 2：為了驗(yàn)證本算法對外系統(tǒng)求解的正確性，參照文獻(xiàn)[8]實(shí)際測量參數(shù)的設(shè)置，取l=40m，h=3.5m。土壤電導(dǎo)率σ =0.01S/m，相對介電常數(shù)εr=10，入射波設(shè)置同算例1。分別計算電纜屏蔽層在雙端接地、雙端懸空、單端接地情況下屏蔽層中部電流波形。計算結(jié)果如圖4a所示，圖4b是文獻(xiàn)[8]的實(shí)際測量結(jié)果。

圖4 不同接地方式下的屏蔽層中端電流Fig.4 Sheath current in the middle point with different grounding methods

對于外系統(tǒng)，電磁波傳輸介質(zhì)是空氣，傳輸速度為光速 c。當(dāng)屏蔽層雙端開路時，感應(yīng)電流在電纜兩端均發(fā)生反射，并由于輻射和歐姆損耗而逐漸衰減。所以，波形為衰減振蕩波，振蕩周期由電纜長度l和電磁波沿電纜傳播速度c決定：T=2l/c，則振蕩周期理論值為0.267μs。當(dāng)單端接地時，電流只在開路端反射，所以在電纜上來回兩次才形成一次反射倒相，振蕩頻率是雙端開路情況下的 1/2，振蕩周期理論值為0.533μs。計算結(jié)果和測量結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn)，雙端開路和單端接地時振蕩周期的實(shí)際計算值分別為0.286μs和0.556μs。實(shí)際數(shù)值偏大的原因是電纜近地鋪設(shè)，屏蔽層對地電容減慢了波的傳播速度。當(dāng)雙端接阻抗與屏蔽層特征阻抗匹配時，電流在電纜上傳播不會發(fā)生反射，只是按指數(shù)衰減，這也與測量和計算結(jié)果一致。

通過以上分析，可以看出，對外系統(tǒng)應(yīng)用電磁場FDTD方法能夠?qū)崿F(xiàn)對不同土壤結(jié)構(gòu)和電纜結(jié)構(gòu)屏蔽層響應(yīng)的準(zhǔn)確仿真。

4 芯線響應(yīng)的計算

外系統(tǒng)計算得到的屏蔽層分布電流可以通過轉(zhuǎn)移導(dǎo)納和轉(zhuǎn)移阻抗等效為內(nèi)系統(tǒng)的分布電流源和分布電壓源，進(jìn)而利用傳輸線理論計算芯線的響應(yīng)。轉(zhuǎn)移阻抗是衡量電纜屏蔽性能的有效標(biāo)準(zhǔn)，轉(zhuǎn)移阻抗越大，電纜屏蔽性能越差[9]。一般地，編織型屏蔽電纜的轉(zhuǎn)移阻抗計算公式可以表示為

式中 ZT——散射阻抗；

Mh——小孔電感；

Mb——編織電感。

對于管狀屏蔽電纜，可以忽略后兩項(xiàng)的影響。另外，由于管狀屏蔽具有良好的完整性，轉(zhuǎn)移導(dǎo)納亦可忽略不計。

將內(nèi)系統(tǒng)等效為如圖5所示的傳輸線模型，可用如下傳輸線方程描述

式中 uF，iF——單位長度等效電壓、電流激勵源；u(z,t)，i(z,t)——芯線單位長度上瞬態(tài)電壓、電流；

Ri，Li——內(nèi)系統(tǒng)單位長度的電阻、電感；

Gi，Ci——內(nèi)系統(tǒng)單位長度的電導(dǎo)和電容。

圖5 內(nèi)系統(tǒng)傳輸線等效電路Fig.5 Equivalent circuit of the transmission-line in the inner system

由于外系統(tǒng)采用電磁場FDTD方法求解，為了便于內(nèi)外系統(tǒng)間計算程序的連接，同時獲得時域解，對于內(nèi)系統(tǒng)傳輸線方程亦采用FDTD方法求解。即分別以中心差商代替以前向差商代替對式（3）和式（4）進(jìn)行空間和時間上的離散。離散后的方程為

整理可得

其中，對于單位長度等效分布電流源iF而言，實(shí)際計算中影響較小，可以忽略不計，只需要計算分布電壓源uF。根據(jù)外系統(tǒng)計算得到的屏蔽層分布電流io(z,t)以及屏蔽電纜的轉(zhuǎn)移阻抗ZT可以計算uF。

對式（9）進(jìn)行時間上的離散可得

以上就是計算芯線響應(yīng)的迭代公式，可以看出，只要得到m點(diǎn)兩側(cè)m+1和m-1點(diǎn)的上一時刻的分布電壓和電流值以及屏蔽層的分布電流值，就可以得到m點(diǎn)當(dāng)前時刻的值。進(jìn)行迭代時只要給出初始值和首末端邊界條件，就可以利用外系統(tǒng)計算的屏蔽層不同位置和不同時刻的電流值io(z,t)，得到外部電磁場作用下的芯線上的時域響應(yīng)。

以芯線兩端分別接電阻R1，R2為例，由圖5可知，首末端電流電壓值 i1、u1、iM、uM滿足如下邊界條件

首端

末端

算例 3：為了驗(yàn)證本算法對芯線響應(yīng)計算的準(zhǔn)確性，參照文獻(xiàn)[10]給出的數(shù)據(jù)，應(yīng)用混合算法分別求解電纜的內(nèi)系統(tǒng)和外系統(tǒng)，得到芯線的響應(yīng)。

電纜設(shè)置：l=6m，h=0.735m，芯線材料為銅，半徑r=0.785mm，電纜內(nèi)部填充介質(zhì)相對介電常數(shù)有εr=1.45。屏蔽層材料為鋁，外半徑a =3.825mm，內(nèi)半徑 b=3.625mm，屏蔽層兩端接地電阻Za=Zb=1Ω，芯線和屏蔽層端接電阻Z1=Z2=75Ω。電纜參數(shù)計算可參照文獻(xiàn)[9]。垂直極化入射平面波入射仰角θ =1°，入射方位角φ =0°。入射波形為雙指數(shù)脈沖其截止頻率為 35MHz，對應(yīng)波長為 8.5m，一般為保證計算穩(wěn)定性取空間步長?Zmax=λmax/10，λmax為截止頻率對應(yīng)波長[11]。為了提高計算精度，取?Z=0.2m。

圖6所示的三條曲線分別為采用本算法得到的屏蔽電纜芯線末端電壓波形、文獻(xiàn)[10]中的實(shí)際測量波形、文獻(xiàn)[10]應(yīng)用等效傳輸線方程的計算波形。使用傳輸線方程對外系統(tǒng)進(jìn)行計算時，由于外系統(tǒng)的屏蔽層和大地之間的單位長度參數(shù)受電纜周圍環(huán)境影響較大，對于電纜參數(shù)的計算只能近似處理，不能準(zhǔn)確分析電纜周圍環(huán)境對計算結(jié)果的影響。所以文獻(xiàn)[10]中的計算結(jié)果和測量結(jié)果存在較大差異。而從圖6中可以看出，混合算法相對于單純應(yīng)用傳輸線理論的求解方法更接近實(shí)測結(jié)果，這是因?yàn)榛旌纤惴ㄔ谇蠼馔庀到y(tǒng)時，采用了電磁場 FDTD方法，這種三維全波分析方法能夠更準(zhǔn)確地模擬電纜所處的電磁環(huán)境，使得對屏蔽層電流分布情況的計算更準(zhǔn)確，最終求得芯線上的電壓響應(yīng)也就更接近實(shí)際測量結(jié)果。

圖6 芯線末端感應(yīng)電壓波形Fig.6 Waveforms of the core wire induced voltage at the terminal

5 結(jié)論

電磁場FDTD法和傳輸線理論相結(jié)合的混合方法能夠很好地求解屏蔽電纜場線耦合問題。利用此方法計算了不同土壤電導(dǎo)率下屏蔽層電流波形，結(jié)果表明，感應(yīng)電流隨著土壤電導(dǎo)率的增大而減小。應(yīng)用混合算法計算得到的屏蔽層電流波形和芯線電壓波形與相關(guān)文獻(xiàn)的實(shí)測波形具有很好的一致性，證明該場路混合求解方法是準(zhǔn)確、有效的。

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