全數(shù)字接收機(jī)中基于準(zhǔn)自適應(yīng)短時(shí)反饋的殘余頻偏糾正算法

孫文勝，劉 婷，徐福新

（杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院 杭州 310018）

1 引言

20世紀(jì)80年代中后期，一種新的接收機(jī)概念——全數(shù)字接收機(jī)[1～3]出現(xiàn)在人們的視野中。與傳統(tǒng)的無(wú)線電數(shù)字通信接收機(jī)不同，全數(shù)字接收機(jī)在數(shù)字通信接收機(jī)的模擬處理區(qū)引入了數(shù)字處理技術(shù)。在全數(shù)字接收機(jī)中，數(shù)字下變頻的本地振蕩信號(hào)是一個(gè)固定頻率的自由振蕩信號(hào)，它不可能和輸入信號(hào)的載波頻率完全相等，它們之間必然存在頻差，為了實(shí)現(xiàn)載波同步，必須估計(jì)和消除頻偏誤差。傳統(tǒng)的數(shù)字通信系統(tǒng)通常采用鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)載波同步[4]，受無(wú)線傳輸及相關(guān)器件的影響，用鎖相環(huán)鎖定載波相位和時(shí)鐘相位并非真正的無(wú)偏估計(jì)；而全數(shù)字接收機(jī)采用高速信號(hào)處理技術(shù)，可以更加精確地估計(jì)并糾正頻偏。

全數(shù)字接收機(jī)的開環(huán)頻率估計(jì)算法主要有數(shù)據(jù)輔助和非數(shù)據(jù)輔助兩種，從試驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，這些頻偏算法雖然大大降低了系統(tǒng)的頻偏，但是沒(méi)有完全解決頻偏估計(jì)問(wèn)題，仍然有剩余頻偏無(wú)法得到糾正。由于這些殘余頻偏對(duì)系統(tǒng)造成的誤碼率影響很大，因此對(duì)殘余頻偏的糾正是一個(gè)不能忽略的問(wèn)題。參考文獻(xiàn)[5]提出利用數(shù)據(jù)幀內(nèi)各個(gè)OFDM符號(hào)的循環(huán)前綴分別進(jìn)行殘余頻偏糾正的算法，該算法雖然能夠較好地糾正每個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi)的殘余頻偏，但是復(fù)雜度較高，在實(shí)際應(yīng)用中較難實(shí)現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[6]提出利用象限旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)平移等操作從數(shù)據(jù)符號(hào)中提取相位信息來(lái)糾正殘余頻偏，其計(jì)算涉及符號(hào)取反、虛實(shí)交換、累加等，且僅適用于多徑衰落信道。參考文獻(xiàn)[7]提出基于NDA采用PLL的判決反饋結(jié)構(gòu)對(duì)殘余頻偏進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，但采用基于判決的反饋結(jié)構(gòu)可能會(huì)帶來(lái)錯(cuò)誤傳播，惡化接收機(jī)性能。本文提出的糾正殘余頻偏算法采用均方誤差值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)來(lái)改善殘余頻偏，計(jì)算方法簡(jiǎn)單，硬件容易實(shí)現(xiàn)，仿真結(jié)果顯示性能良好。

2 殘余頻偏

在全數(shù)字接收機(jī)中，設(shè)ck為發(fā)送的數(shù)據(jù)信號(hào)序列，Δω為載波頻偏，θ為載波初始相偏，n(k)～N(0,2σ2)為方差是σ2的加性高斯白噪聲，r(k)表示經(jīng)定時(shí)恢復(fù)后的數(shù)據(jù)信號(hào)，則在定時(shí)恢復(fù)理想的條件下滿足以下條件。

在實(shí)際中，受所采用的頻偏估計(jì)算法的精度和噪聲等因素的影響，由頻偏估計(jì)算法計(jì)算得到的載波頻偏Δω并不等于真實(shí)存在的頻偏值，即接收信號(hào)經(jīng)過(guò)頻偏糾正后仍存在剩余頻偏，此時(shí)實(shí)際的數(shù)據(jù)信號(hào)可表示如下。

式中，Δω′代替了原來(lái)的Δω，表示糾正后的殘余頻偏。

接收機(jī)的載波同步問(wèn)題包括頻偏糾正和相位補(bǔ)償兩方面，一般來(lái)說(shuō)，相位補(bǔ)償?shù)那疤崾穷l偏得到了很好地估計(jì)和校正，但在殘余頻偏的影響下，實(shí)際的相位補(bǔ)償應(yīng)表示為：

將式（2）代入式（3）運(yùn)算后得到：

從式（4）可以看出，殘余頻偏經(jīng)過(guò)一段時(shí)間跨度后會(huì)轉(zhuǎn)化為殘余相位，用φk表示殘余相位，n(k)為相位噪聲，則有：

由于載波頻偏沒(méi)有得到很好的糾正，因此這種附加相位偏移不能用統(tǒng)計(jì)相位估計(jì)方法糾正。這些相位噪聲會(huì)導(dǎo)致星座圖模糊，影響系統(tǒng)的誤碼率性能。尤其在256QAM這樣的信號(hào)情況下，由于星座圖上的信號(hào)點(diǎn)分布密集，因此殘余頻偏轉(zhuǎn)換對(duì)相位噪聲的影響非常嚴(yán)重。

表1給出了在不同信噪比、初始頻偏不同的條件下，Kay估計(jì)器[8～9]的殘余頻偏Δf及誤碼率Pe（設(shè)實(shí)驗(yàn)100次，估計(jì)結(jié)果取100次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均值）。表1中ΔF為Kay估計(jì)校正前頻偏，SNR為信噪比，Δf為Kay估計(jì)校正后的殘余頻偏。從表1中可以看出，即使在高信噪比條件下，仍然存在幾Hz的殘余頻偏，其導(dǎo)致了解碼性能的下降。

3 均方誤差準(zhǔn)自適應(yīng)短時(shí)反饋算法

為了校正殘余頻偏，并且考慮到無(wú)線信道通常在緩慢地變化，本文提出了一種均方誤差準(zhǔn)自適應(yīng)短時(shí)反饋算法。這里的反饋與鎖相環(huán)的反饋不同，它是根據(jù)設(shè)定的均方誤差門限，用快速迭代法求出殘余頻偏，并以此值為基準(zhǔn)對(duì)隨后的信號(hào)進(jìn)行糾正，因求得的均方誤差時(shí)間及迭代時(shí)間極短，所以我們稱之為“短時(shí)反饋”；均方誤差的取樣數(shù)和取值間隔取經(jīng)驗(yàn)值，它們的取值對(duì)結(jié)果不會(huì)造成決定性的影響，這種方法我們稱之為“準(zhǔn)自適應(yīng)法”。在時(shí)間間隔到來(lái)之時(shí)，首先取樣進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程中信號(hào)的糾正按規(guī)定的步長(zhǎng)值進(jìn)行，運(yùn)算后得到最新的殘余頻偏，后續(xù)的信號(hào)按此糾正，即后續(xù)的步長(zhǎng)值取前一次糾正后計(jì)算出的殘余頻偏值。如此反復(fù)，既保證了在信道變化時(shí)能即時(shí)計(jì)算出殘余頻偏的大小，也讓計(jì)算簡(jiǎn)單化，并且不用考慮時(shí)延的影響。下面詳細(xì)介紹這種算法。

數(shù)字化了的接收機(jī)基帶信號(hào)，通過(guò)載波頻差糾正、載波相位誤差糾正和時(shí)鐘誤差糾正后，符號(hào)輸出為{Ii(t)，Qi(t)}，如果{Ii(t)，Qi(t)}對(duì)應(yīng)星座圖上的坐標(biāo)點(diǎn)與星座圖上的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)點(diǎn){aj，bj}距離最近，在數(shù)字通信中通常將{Ii(t)，Qi(t)}判決為信號(hào){aj，bj}。定義接收機(jī)N（N是個(gè)經(jīng)驗(yàn)值）個(gè)信號(hào)的均方誤差為σ，σ的取值如下。

式（6）中的 σi由式（7）得到：

表1 Kay估計(jì)器的殘余頻偏及誤碼率

式（7）實(shí)質(zhì)上是把解調(diào)后的信號(hào)點(diǎn)在星座圖上的位置與最近信號(hào)點(diǎn)（i、j不一定相同）的位置進(jìn)行比較，記錄它們之間的距離差。連續(xù)N個(gè)信號(hào)點(diǎn)都進(jìn)行這樣的誤差統(tǒng)計(jì)，然后按照式（6）求距離差的均方誤差。根據(jù)實(shí)際要求的誤碼率，規(guī)定一個(gè)誤差門限值（取經(jīng)驗(yàn)值），當(dāng)σ大于此值時(shí)，就表示{Ii(t)，Qi(t)}距離參考信號(hào)點(diǎn){aj，bj}較遠(yuǎn)，誤碼率達(dá)不到要求，需要采用本算法進(jìn)行糾正。

由于在接收機(jī)前采用了類似Kay估計(jì)器的頻偏估計(jì)算法，因此得到的頻偏值比較接近真實(shí)值，此時(shí)殘余頻偏是小頻偏，這個(gè)殘余頻偏值可能為正，也可能為負(fù)。在這種情況下，可以采取逐次逼近的方法進(jìn)行頻偏糾正?，F(xiàn)將算法步驟介紹如下。

①根據(jù)式（7）計(jì)算當(dāng)前均方誤差σ。

②規(guī)定一個(gè)合適的步長(zhǎng)L。第一次糾正L Hz，L取經(jīng)驗(yàn)值。由表1可知：原始頻偏越大，殘余頻偏越大；信噪比越小，殘余頻偏越大。因此，可根據(jù)原始頻偏及信噪比確定適合的步長(zhǎng)。這里需要說(shuō)明的是，L的大小并不影響算法的結(jié)果，僅影響迭代次數(shù)，在完成第一次殘余頻偏糾正后，可將上次糾正的殘余頻偏值作為下次的步長(zhǎng)L。

③設(shè)本次糾正后的均方誤差為σ′，前一次糾正后的均方誤差為σ。首先糾正L Hz，計(jì)算σ′，把它與σ比較。如果σ′<σ，繼續(xù)按此步長(zhǎng)糾正并計(jì)算均方誤差，直至 σ′>σ，此時(shí)改變步長(zhǎng)值為-L/2 Hz，即縮小步長(zhǎng)值為原來(lái)的1/2并向相反方向糾正頻偏，相反方向糾正頻偏至σ′>σ時(shí)，調(diào)整步長(zhǎng)值為L(zhǎng)/4，即步長(zhǎng)值反向并縮小2倍，繼續(xù)迭代并比較σ′與σ之值。如此反復(fù)至σ′的值小于規(guī)定的均方誤差判決門限值即可。

④如果第一次糾正L Hz后σ′>σ，則說(shuō)明糾正方向不對(duì)或者步長(zhǎng)過(guò)大，此時(shí)直接將步長(zhǎng)調(diào)整為-L/2進(jìn)行糾正，其余操作如③。

此算法的關(guān)鍵在于不斷比較后一次與前一次均方誤差值，當(dāng)后一次均方誤差值比前一次小時(shí)按原來(lái)步長(zhǎng)糾正頻偏，當(dāng)后一次均方誤差值大于前一次時(shí)，糾正方向改變，糾正數(shù)值減小為原來(lái)的一半。通過(guò)不斷迭代，殘余頻偏得以良好的消除。把每次反饋進(jìn)行頻偏糾正的值累加起來(lái)就可以得到殘余頻偏值。

一般在信道不改變的情況下，殘余頻偏的變化是緩慢的，可以認(rèn)為在一段時(shí)間內(nèi)殘余頻偏值是不變的，所以一次殘余頻偏糾正具有一定時(shí)間的持續(xù)有效性。這就是說(shuō)適當(dāng)?shù)募m正間隔也是必要的。雖然通過(guò)短時(shí)反饋能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算出殘余頻偏，但是在對(duì)后續(xù)接收信號(hào)的糾正中如何判斷糾正的有效時(shí)間以及如何利用均方誤差閾限準(zhǔn)確地判決殘余頻偏并進(jìn)行計(jì)算顯得非常關(guān)鍵。在實(shí)驗(yàn)中對(duì)均方誤差閾限值進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)它受某些參數(shù)的影響。下面就MPSK和MQAM說(shuō)明均方誤差閾值實(shí)驗(yàn)取得的過(guò)程。

（1）MPSK解調(diào)碼元周期與均方誤差閾限的關(guān)系

首先探究在MPSK解調(diào)中碼元周期、預(yù)設(shè)頻偏同均方誤差之間的關(guān)系，這里以解調(diào)8PSK信號(hào)為例進(jìn)行說(shuō)明，并用碼元速率來(lái)表達(dá)碼元周期，碼元速率與均方誤差值的關(guān)系如圖1所示，不同碼元速率與誤碼率的關(guān)系如圖2所示，三條曲線分別代表三種不同的預(yù)設(shè)頻偏下的曲線。

在圖1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)碼元速率達(dá)到某一個(gè)固定值的時(shí)候，如果繼續(xù)下降，均方誤差值出現(xiàn)顯著上升的趨勢(shì)并隨著碼元速率減小到一個(gè)峰值然后驟然下降。當(dāng)均方誤差從峰值下降時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖2的誤碼率仍然保持很快的增長(zhǎng)趨勢(shì)，甚至當(dāng)均方誤差值低于判決閾限時(shí)（如圖1中表示的0.3），圖2中的誤碼率攀升到接近于10-1。這個(gè)問(wèn)題很重要，它關(guān)系到在什么情況下可以使用提出的均方誤差短時(shí)反饋算法糾正殘余頻偏。

以8PSK為例，將解調(diào)后的點(diǎn)與8PSK星座圖上8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行比較，并且計(jì)算解調(diào)后的點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)星座圖上點(diǎn)的距離差，將距離標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)最近的點(diǎn)判定為屬于此標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)，正是因?yàn)檫@樣，在偏差大時(shí)判定可能出錯(cuò)。如圖3所示，解調(diào)后本應(yīng)為A位置的點(diǎn)在不同頻偏情況下分別偏移到了a、b、c，可以看出 a點(diǎn)與 A點(diǎn)的位置非常接近，根據(jù)式（6），當(dāng)大部分解調(diào)后的點(diǎn)處于這種情況（其他標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)B、C、D、E、F、G、H同A點(diǎn)）時(shí)，生成的均方誤差值一般低于判決閾限，此時(shí)可認(rèn)為無(wú)需進(jìn)行頻偏調(diào)整。當(dāng)偏移點(diǎn)為b時(shí)，如果解調(diào)后的點(diǎn)均為這種情況，顯而易見(jiàn)均方誤差值要高于判決閾限，這時(shí)候就要對(duì)其進(jìn)行殘余頻偏糾正，使解調(diào)后的點(diǎn)最大程度地向A點(diǎn)靠近。但當(dāng)點(diǎn)的位置偏移到c時(shí)，判決時(shí)與它對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)為B，如果大部分解調(diào)后的點(diǎn)的情況如此，雖然系統(tǒng)的均方誤差值會(huì)很小，但是誤碼率極高，這種情況無(wú)法利用均方誤差短時(shí)反饋算法進(jìn)行殘余頻偏糾正。

同時(shí)將圖2中碼元速率的臨界值對(duì)應(yīng)到圖1中不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)要求的誤碼率可得到對(duì)應(yīng)的均方誤差值，此值即可作為均方誤差閾限值。實(shí)驗(yàn)中預(yù)加的不同頻偏值對(duì)應(yīng)的曲線在近乎零誤碼率下的均方誤差值的閾限是相同的，這說(shuō)明系統(tǒng)中的頻偏值不影響均方誤差短時(shí)反饋算法中判決閾限值的設(shè)定。從圖1中可以看出：當(dāng)預(yù)設(shè)頻偏為700 Hz時(shí)，判決閾限約為0.35；當(dāng)預(yù)設(shè)頻偏為500 Hz時(shí)，判決閾限約為0.35；當(dāng)預(yù)設(shè)頻偏為100 Hz時(shí)，判決閾限仍約為0.35。

（2）MQAM解調(diào)M值與均方誤差閾限的關(guān)系

在MQAM中不同的M值所對(duì)應(yīng)的零誤碼率下的均方誤差閾限隨著M值的變化而變化。假設(shè)已調(diào)制的信號(hào)最大幅度為1，則MQAM為矩形的最小碼距為：

式（8）說(shuō)明，隨著M值的增大，各標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)之間的最小碼距是逐漸遞減的，也就是說(shuō)M值越大，其抗干擾能力越差。如圖4所示，未糾正殘余頻偏前，很小的殘余頻偏也會(huì)導(dǎo)致256QAM的星座圖十分模糊。

由于高階的MQAM系統(tǒng)其碼距很小，因此算法所要求的均方誤差閾值也應(yīng)相應(yīng)減小。實(shí)驗(yàn)得出在MQAM中M值與均方誤差閾值的關(guān)系如圖5所示，可以看出在MQAM中零誤碼率的均方誤差閾值是隨著M值的增加而減小的。

圖6給出了256QAM殘余頻偏調(diào)整之后的星座圖，與圖4對(duì)比可明顯看出去除殘余頻偏的256QAM星座圖比有殘余頻偏的256QAM星座圖清晰，也就是說(shuō)去除殘余頻偏后得到的碼元誤碼率明顯降低。

表2給出了利用均方誤差反饋算法經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)后得到256QAM系統(tǒng)的誤碼率等相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

需要注意的是，本文提出的這種殘余頻偏糾正算法不能獨(dú)立地成為一種頻偏算法解決方式，它的應(yīng)用必須建立在系統(tǒng)已經(jīng)通過(guò)較為有效的頻偏估計(jì)算法對(duì)頻偏進(jìn)行糾正的基礎(chǔ)上，只有這樣才能對(duì)頻偏進(jìn)行更有效的糾正。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種糾正殘余頻偏的均方誤差反饋算法，并說(shuō)明了均方誤差閾值的選取方法。此算法以一定的運(yùn)算量為代價(jià)，達(dá)到對(duì)殘余頻偏有效糾正的目的。Matlab仿真結(jié)果表明，利用此算法糾正殘余頻偏后系統(tǒng)誤碼率明顯降低。

在實(shí)際應(yīng)用中，可利用一個(gè)適當(dāng)大小的存儲(chǔ)器來(lái)存儲(chǔ)每次經(jīng)過(guò)頻偏糾正后的數(shù)據(jù)，以備下次反饋之用。在信道條件相對(duì)穩(wěn)定的情況下，殘余頻偏的變化是緩慢的，可以認(rèn)為在一段時(shí)間內(nèi)殘余頻偏的頻偏值是固定的，這時(shí)利用已得到的殘余頻偏值直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行糾正，只需進(jìn)行一兩次迭代即可，也就是說(shuō)在信道條件穩(wěn)定的情況下，較小的計(jì)算量也能彌補(bǔ)系統(tǒng)誤碼率性能不足之處，滿足實(shí)時(shí)處理的要求。

表2 256QAM均方誤差反饋算法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

1 張公禮.全數(shù)字接收機(jī)理論與技術(shù).北京:科學(xué)出版社,2005

2 戈穩(wěn).雷達(dá)接收機(jī)技術(shù).北京:電子工業(yè)出版社,2005

3 Tsui J著，楊小牛等譯.寬帶數(shù)字接收機(jī).北京:電子工業(yè)出版社,2002

4 陳紅.鎖相環(huán)同步檢波技術(shù)及在視頻檢波中的應(yīng)用.現(xiàn)代電子技術(shù),2008（15）：184～192

5 彭小勇.一種新的基于循環(huán)前綴的殘余頻偏糾正算法.中國(guó)電子學(xué)會(huì)第十一屆青年學(xué)術(shù)年會(huì)論文集,2005：215～219

6 李穎.相干QPSK/QAM OFDM系統(tǒng)中的殘余頻偏補(bǔ)償算法.2005年通信理論與信號(hào)處理年會(huì)論文集,2005：275～281

7 Linling K.A time-frequency decision-feedback Loop for carrier frequency offset tracking in OFDM systems.IEEE Transactions on Wireless Communications,2005,4(2):367～373

8 Gini F,Giannnakis G B.Frequency offset and symbol timing recovery in flat-fading channels：a cyclostationary approach.IEEE Transactions on Communications,1998,46（3）:400～411

9 Kay S.A fast and accurate single frequency estmator.IEEE Transactions On ASSP,1989,37（12）:1987～1990