立體幾何中的折疊、展開與動點問題

● (紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

1 考查要求

立體幾何中的折疊、展開與動點問題著眼于對學(xué)生空間思維能力的考查，立體幾何中有許多形式各異的折疊問題.一個平面圖形經(jīng)折疊后成為一個空間圖形,此時圖形的結(jié)構(gòu)發(fā)生了突變,從二維的平面圖形一躍成為三維的空間圖形.而以立體幾何為載體的軌跡問題能將立體幾何與解析幾何巧妙地結(jié)合起來，常常涉及函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、建模、化歸等數(shù)學(xué)思想與方法,立意新穎，綜合性強,能力要求高,教師在教學(xué)中可集中講解這類問題.

2 考點回顧

近幾年的高考試題比較注重考查知識的整體性和交匯性.立體幾何中的軌跡問題將立體幾何與解析幾何有機(jī)地結(jié)合起來,解決此類問題的關(guān)鍵是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，然后再根據(jù)曲線的定義或用解析法求出軌跡方程.立體幾何中的折疊、展開問題則要特別注意空間圖形與平面圖形之間的相互聯(lián)系.一般地，在同一半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的，涉及到2個半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是要變化的，分別位于2個半平面內(nèi),但垂直于翻折棱的直線翻折后仍然垂直于翻折棱.在浙江省近3年的數(shù)學(xué)高考試題中，最近2年考查這方面的問題有所抬頭，2008年考查1個選擇題，2009年考查1個填空題，問題立意新、思維能力要求高，值得關(guān)注.

3 命題走勢

立體幾何中的折疊、展開問題需要學(xué)生有空間想象力，難度大且思維能力要求高.動點軌跡問題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點體現(xiàn)了在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設(shè)計圖形，不僅能考查立體幾何點、線、面之間的位置關(guān)系，而且能巧妙地考查求軌跡的基本方法.由于知識點多，數(shù)學(xué)思想和方法考查充分，因此筆者預(yù)計2010年高考會出這方面的試題.

4 典例剖析

4.1 折疊問題

例1一張正方形的紙ABCD，BD是對角線，過AB,CD的中點E,F的線段交BD于點O，以EF為棱，將正方形的紙折成直二面角，則∠BOD等于

( )

A.120° B.150° C.135° D.90°

圖1

又在△BOD中，由余弦定理可得

所以

∠BOD=120°.

評注本題為折疊問題中的空間角問題，此類問題要求學(xué)生清楚折疊前后的哪些量發(fā)生了變化，此外，還要注意找出空間轉(zhuǎn)化為平面的途徑和幾何計算的準(zhǔn)確性等.

圖2

例2如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2,AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.

(1)求證：AB⊥DE;

(2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積.

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析(1)在△ABD中，由AB=2,AD=4,∠DAB=60°，得

于是

AB2+BD2=AD2,

得

AB⊥BD.

又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD，得AB⊥平面EBD.由DE?平面EBD,得AB⊥DE.

(2)由第(1)小題知

AB⊥BD,CD∥AB,

從而

CD⊥BD,

于是

DE⊥DB.

在Rt△DBE中，由

得

又由AB⊥平面EBD,BE?平面EBD，得AB⊥BE.因為

BE=BC=AD=4,

所以

由DE⊥BD,及平面EBD⊥平面ABD，得ED⊥平面ABD,而AD?平面ABD,從而ED⊥AD.因此

評注本題為折疊中的面(體)積問題，解決折疊問題的關(guān)鍵：

(1)畫好2個圖——翻折前的平面圖和翻折后的立體圖，常常畫在一起；

(2)分析好2個關(guān)系——翻折前后哪些位置關(guān)系和度量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變.

4.2 展開問題

(2006年江西省數(shù)學(xué)高考試題)

分析連結(jié)A1B，沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內(nèi)，如圖4所示.連結(jié)A1C，則A1C的長度就是所求的最小值.

通過計算可得∠A1C1C=90°.由∠BC1C=45°，得

∠A1C1C=135°,

圖3 圖4

評注本題是展開問題中的兩點距離問題，即求從一點出發(fā)沿幾何體表面到另一點的最短距離問題，通常把幾何體的側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面圖形中的兩點距離問題.

(1)請在圖中設(shè)計一種虛線，沿虛線翻折可成原來的三棱錐(指三棱錐的3個面);

(2)求這個三棱錐外接球的體積.

圖5 圖6 圖7

分析(1)如圖6,取AD的中點H，連結(jié)HC，HB，則HC，HB為設(shè)計的虛線.

(2)如圖7,將三棱錐補成長方體.可視長方體的對角線為HB，其長度就是外接球的直徑

因此

故

評注本題是展開問題中的體積問題，要解決此剪拼問題,必須弄清4個面都是直角三角形的三棱錐形狀，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)其中有3個直角三角形必須有1條直角邊長相等.對第(2)小題還可以利用取BH的中點O，證明OB=OH=OA=OC的方法來求外接圓的體積.

4.3 軌跡問題

例5平面α的斜線AB交α于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交α于點C，則動點C的軌跡是

( )

A．1條直線 B．1個圓

C.1個橢圓 D.雙曲線的1支

(2006年北京市數(shù)學(xué)高考試題)

分析設(shè)l與l′是其中的2條任意的直線，則這2條直線確定一個平面，且斜線AB垂直于這個平面.由過平面外一點有且只有一個平面與已知直線垂直可知,過定點A與AB垂直的所有直線都在這個平面內(nèi)，故動點C都在這個平面與平面α的交線上.故選A．

評注本題利用定義法，借用2個平面相交有1條交線的定義，以空間直線與平面的位置關(guān)系為依據(jù)，研究平面解析幾何的點的軌跡問題，立意新穎、構(gòu)思巧妙，是深入考查學(xué)生思維能力的上乘之作.

例6P為四面體S-ABC的側(cè)面SBC內(nèi)一點，若動點P到底面ABC的距離與點P到點S的距離相等，則動點P的軌跡是側(cè)面SBC內(nèi)的

( )

A．橢圓的一部分

B．橢圓或雙曲線的一部分

C．雙曲線或拋物線的一部分

D．拋物線或橢圓的一部分

分析(1)當(dāng)面SBC⊥面ABC時，過點P作PH⊥BC于點H，則PH⊥面ABC，于是|PH|=|PS|.由拋物線定義知，點P的軌跡為拋物線在面SBC內(nèi)的一部分.

(2)當(dāng)面SBC不垂直于面ABC時，過點P作PG⊥面ABC于點G，過點G作GH⊥BC，則BC⊥PH.因此在Rt△PGH中，

又

所以由橢圓定義知點P的軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分.

故選D．

評注對于立體幾何中的軌跡問題，我們往往會想到用圓錐曲線的第二定義去解決，關(guān)鍵是要找到有關(guān)的定點與相應(yīng)的定直線.本例通過回歸定義法，將空間問題平面化，通過動中找定，尋找定點與定直線,從而達(dá)到解題的目的.

圖8

( )

A．拋物線B．雙曲線

C．直線 D．圓

分析過點P作PF⊥AD于點F，連結(jié)EF，則PE是點P到直線A1D1的距離.由題意得

PE2-PM2=1.

因為

PE2=PF2+1，

所以

PM=PF.

在平面ABCD內(nèi)，由拋物線定義知所求點P的軌跡是拋物線.故選A.

評注本例是用解析法求出軌跡方程，把立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中曲線的定義加以求解，其實質(zhì)就是解析幾何中曲線定義的平面的立體化，還得緊緊抓住解析幾何中曲線的定義，通過解析幾何中曲線的定義達(dá)到解答立體幾何中軌跡問題的目的.

精題集粹

1．如圖9，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點.將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為

( )

A．90° B．60° C．45° D．0°

圖9 圖10

2．如圖10，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使點A，B重合于點P，則P-DCE三棱錐的外接球的體積為

( )

( )

A．4個點 B．2條直線

C．雙曲線的1支 D．1個圓

4．已知在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿對角線BD將△ABD折起，使二面角A-BD-C為120°，則點A到△BCD所在平面的距離等于________．

圖11 圖12

6．如圖12,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,邊長為a,E,F,G,H分別是CC1,C1D1,D1D,CD的中點，N是BC的中點，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動.若MN∥平面A1BD，則點M軌跡的長度是________.

參考答案

1.B 2.C 3.A

圖13

從而

(1-λ,-λ,λ-1),

(-λ,1-λ,λ-1).

顯然∠APC不是平角，因此∠APC為鈍角等價于

(1-λ)(-λ)+ (-λ)(1-λ)+(λ-1)2=

(λ-1)(3λ-1)<0，

解得