排列、組合、二項式定理新論

● (源清中學 浙江杭州 310015)

1 高考展望

1.1 考點回顧及考試要求

排列、組合和二項式定理是每年數(shù)學高考的必考內(nèi)容，按《課程標準》的要求2009年浙江省數(shù)學高考試題中只有理科對此內(nèi)容進行了考查,文科并沒有涉及.對此內(nèi)容直接考查的有第4題和第16題,共9分，另外在第15題和第19題中有用到排列、組合的概念和公式.

計數(shù)原理主要考查2個原理、排列及組合知識在實際問題中的應用，同時也通過計數(shù)原理考查分類討論的思想.該部分內(nèi)容比較抽象，解題途徑也比較多，需要學生具備較強的思辨能力.在歷年高考試題中屬于中檔題.

對二項式定理的考查，要求學生理解二項展開式中項的系數(shù)的本質(zhì)，能正確計算二項展開式的通項、項的系數(shù)、二項式系數(shù)的有關問題.在歷年的高考試題中屬于中偏易題.

1.2 命題趨勢

預計2010年浙江省數(shù)學高考對此部分知識的考查不會有太大的變化，在復習時要注意理解問題的本質(zhì).

2 排列、組合問題綜論

2.1 理解排列、組合的本質(zhì)

排列、組合問題的本質(zhì)應是模型化思想的運用.在解決排列、組合問題時，需要運用分類、轉(zhuǎn)化思想把實際問題變成一個或幾個可操作的模型，進而求解.事實上，“排列”、“組合”本身就是一個模型.前者是“先取后排”，后者是“只取不排”.

例110名同學排成3隊，第1隊排3個人，第2隊排3個人，第3隊排4個人，一共有多少種不同的排法？

例2用1，2，3，4，5，6排沒有重復數(shù)字的3位數(shù).

(1)共有多少個不同的3位數(shù)?

(2)其中百位數(shù)字大于十位數(shù)字，且十位數(shù)字大于個位數(shù)字的3位數(shù)有多少個？

2.2 排列、組合常用模型

實際的計數(shù)問題不一定直接可以用“排列”、“組合”模型來解決，此時需要通過分類、轉(zhuǎn)化變?yōu)榭刹僮鞯呐帕?、組合模型.

2.2.1 排隊問題模型

例37個同學排成一隊照相，求以下問題的排法總數(shù)：

(1)其中甲、乙不能排在一起；

(2)其中甲、乙必須排在一起；

(3)甲不能排在左端，乙不能排在右端.

此類“相鄰”、“不相鄰”問題是排列、組合問題中的常見問題，在歷年高考試題中多有考查.

2.2.2 分配問題模型

例44個不同的小球全部放到3個不同的盒子中，每個盒子中至少有1個球，共有多少種不同的放法？

例5將6名護士分配到3所醫(yī)院，每所醫(yī)院2名護士，有多少種不同的分法？

例6甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2個人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，求不同的站法種數(shù).

本題為2009年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題，難度系數(shù)為0.55，高于總卷的平均難度，究其原因是學生沒能真正理解“分配問題”的實質(zhì)，不能準確地進行分類、分組.

2.2.3 定序問題模型

例7甲、乙、丙已排好一隊，現(xiàn)又要加進4位同學，排成7個人的隊，但甲、乙、丙原來的順序不能改變，共有多少種不同的排法？

解法1(依次插空法)：剩下的4位同學依次在甲、乙、丙的空位上插空，分步可得

4×5×6×7=840.

這3種方法在解決相關問題時，各有不同的用途.例如：

例8今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有多少種不同的方法？

(2006年江蘇省數(shù)學高考試題)

2.2.4 至少問題模型

例9在100件產(chǎn)品中有98件正品，2件次品，從中抽取3件，求至少有1件次品的抽法總數(shù).

3 二項式定理問題綜論

例10求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中，含x4的項的系數(shù).

(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.

本題為2008年浙江省數(shù)學高考試題，本題的立意就是要求學生真正理解、領悟知識的本質(zhì)，不可生搬硬套.

例11求(x+y+z)10的展開式中的含x3y3z4項的系數(shù).

3.2 某項問題

(1)求n;

(2)求含x2的項的系數(shù);

(3)求展開式中所有的有理項.

解通項為

此類問題主要考查二項式定理展開式及通項的運用.

3.3 系數(shù)問題

解注意“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別.令x=1,得項的系數(shù)之和為4n，二項式系數(shù)之和為

則

解得

n=6.

例14設(1+2x+3x2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，求下列各式的值.

(1)a0+a1+…+a10;

(2)a0+a2+a4+…+a10.

解(1)令x=1，得

a0+a1+…+a10=65=7 776.

(2)令x=-1，得

a0-a1+a2+…+a10=25，

此類問題主要考查“特殊與一般”、“分類與整合”的數(shù)學思想，在歷年數(shù)學高考試題中多有考查.例如:

(1999年全國數(shù)學高考理科試題)

(2009年陜西省數(shù)學高考理科試題)

這2道題目均可用賦值法求解，答案分別為1，-1.