三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

● (西湖高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310002)

1 高考展望

1．1 考點(diǎn)回顧

綜觀近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考文科卷與理科卷，三角函數(shù)都是重要的考查內(nèi)容，大多數(shù)試卷出現(xiàn)1道選擇題、1道填空題、1道解答題或者是1個(gè)小題、1個(gè)大題，分值為20分左右．其難度較小，但也有少部分題目較難，譬如2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題就有一定的難度．在解答題中，這類試題一般比較容易，只要考生基礎(chǔ)比較扎實(shí)，得分率一般也就比較高，2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題全省的平均得分率為79%，文科第18題全省的平均得分率為52．2%．筆者統(tǒng)計(jì)了近幾年高考三角函數(shù)的考查情況,如表1所示.

表1 近幾年高考三角函數(shù)考查情況

1．2 命題趨勢(shì)

縱觀近幾年高考自主命題，降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查.函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)．在復(fù)習(xí)時(shí),要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖像的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖像，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖像與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法．筆者預(yù)計(jì)2010年高考三角函數(shù)題型將繼續(xù)保持穩(wěn)定，題型為1道選擇題(求值或圖像變換)、1道解答題(求值或圖像變換)；熱點(diǎn)問題是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，特別是y=Asin(ωx+φ)的圖像及其變換．

2 典例剖析

題型1三角函數(shù)的圖像

例1已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)=1+asinax的圖像不可能是

( )

A. B.

C. D.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

( )

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

故選B．

題型2三角函數(shù)圖像的變換

( )．

A．y=cos2xB．y=2cos2x

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

的圖像,再向上平移1個(gè)單位，所得圖像的函數(shù)解析式為

y=1+cos2x=2cos2x.

故選B．

點(diǎn)評(píng)這類問題主要考查圖像的平移問題，這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.許多省份的高考試題都考查了平移問題，譬如天津市數(shù)學(xué)高考文科試題第7題、湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第4題、湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題第7題、天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題等，同時(shí)還兼顧考查利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能．

題型3三角函數(shù)圖像的應(yīng)用

圖2

例5已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為I=Asin(ωt+φ)．

分析本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．

從而

ω≥300π>942.

因?yàn)棣亍蔔*，所以最小正整數(shù)ω=943．

點(diǎn)評(píng)本題求解的關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言．其中讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑，能夠準(zhǔn)確地讀圖，是解決三角函數(shù)圖像問題的基礎(chǔ)．

題型4正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合正、余弦定理與三角恒等變換的綜合是2009年數(shù)學(xué)高考的一個(gè)主流，無論是大綱卷還是新課程卷都特別注重了這兩者的綜合，除了浙江省數(shù)學(xué)高考文、理試題第18題以外，還有北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第15題,山東省數(shù)學(xué)高考文科試題第17題,全國(guó)數(shù)學(xué)高考文、理科試題Ⅱ第17題,安徽省數(shù)學(xué)高考文、理科試題第16題,江西省數(shù)學(xué)高考文、理科試題第19題等考題都關(guān)注了正、余弦定理與三角恒等變換的綜合．

(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)因?yàn)?/p>

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

點(diǎn)評(píng)從本題的解決過程中可以看出，兩次用到了兩角和與差的三角函數(shù)公式，其次還考查了二倍角公式、誘導(dǎo)公式、周期性、有界性等知識(shí)點(diǎn)．對(duì)兩角和與差三角函數(shù)公式的考查，基本出現(xiàn)在大題中，這是2009年數(shù)學(xué)高考的一個(gè)共同點(diǎn).

(1)求角C；

(2009年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

于是

則

解得

點(diǎn)評(píng)在本題第(1)小題的解決過程中,用正弦定理將邊化成角之后，必須進(jìn)行恒等變形，用兩角和與差的三角函數(shù)公式與同角關(guān)系式化為關(guān)于角C的方程，從而解出角C．這就是正、余弦定理與三角恒等變換的綜合．第(2)小題涉及到方程思想與恒等變換思想，其間也結(jié)合了正弦定理與恒等變換的綜合．

精題集粹

( )

A．最小正周期為π的奇函數(shù)

B．最小正周期為π的偶函數(shù)

( )

A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2π

C．函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱

D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

( )

4．已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的圖像如圖3所示，則φ=________.

圖3

(1)求A+B的值；

(1)求ω的最小正周期;

參考答案

又由

得

從而 cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB=

即

解得

b=1,

因此

6．解(1)因?yàn)?/p>

f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=

sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx=

sin2ωx+cos2ωx+2=

(2)依題意得

故y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間為