圓錐曲線題中的范圍與定值

● (紹興一中分校 浙江紹興 312000) ● (紹興市教育教學(xué)研究院 浙江紹興 312000)

1 考查要求

范圍問題和定值問題是圓錐曲線綜合問題中2類常見的題型．解析幾何的主要思想是用代數(shù)方法處理幾何問題，因此，要解決圓錐曲線的綜合問題，不僅要理解和掌握圓錐曲線的有關(guān)概念、定理、公式，還要善于綜合運(yùn)用代數(shù)的知識和方法，譬如討論一元二次方程根的情況、研究二元二次方程(組)、求代數(shù)式的最值或范圍等．

2 考點(diǎn)回顧

圓錐曲線中的范圍問題可分為2類：一類是求與曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)的某些量的取值范圍，主要是依靠曲線自身的范圍和性質(zhì)構(gòu)造不等式求解；另一類是直線與曲線的綜合問題，當(dāng)直線與曲線具有某種特定關(guān)系時(shí)，求指定參數(shù)的范圍．其中，第2類問題涉及的知識范圍更廣．由于這類問題一般涉及直線與曲線的關(guān)系，因此在特定條件下，常用一元二次方程根的判別式構(gòu)造不等式或用一元二次方程根的分布構(gòu)造不等式求解．求解范圍問題綜合性強(qiáng)，且確定變量取值范圍的不等關(guān)系不明顯，因而給解題帶來諸多困難．在復(fù)習(xí)時(shí)，有必要通過對典型問題的分析和解決，總結(jié)和歸納尋找不等關(guān)系的方法，突破難點(diǎn)．

在解析幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題．解決定值問題一般需要大膽設(shè)參(有時(shí)甚至要設(shè)2個(gè)參數(shù))，運(yùn)算推理到最后必定能將參數(shù)消去，出現(xiàn)定值．有時(shí)則與證明題類似，常通過取參數(shù)的特殊值來確定“定值”，將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，然后證明該值是恒定的．還有涉及定點(diǎn)、定直線的問題,包括直線過定點(diǎn)、點(diǎn)在定直線上、圓過定點(diǎn)、三點(diǎn)共線等問題，也需要引起關(guān)注，通常的思路是將幾何問題代數(shù)化．

3 命題趨勢

圓錐曲線一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一．考查圓錐曲線間相關(guān)聯(lián)的問題，題型可以是選擇題、填空題，但往往是難度較大的綜合題，問題涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、平面向量等知識，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的考查要求較高．本文所提到的范圍與定值問題，是高考中“常考常新”的題型．新課程降低了對雙曲線部分內(nèi)容的考試要求，因此具體問題以直線、圓、橢圓和拋物線的綜合題為主．筆者估計(jì)2010年數(shù)學(xué)高考試題會在保證試卷整體結(jié)構(gòu)的持續(xù)與穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，繼續(xù)考查這2類問題，但在形式上會有一定程度的創(chuàng)新．

4 典例剖析

4.1 利用函數(shù)、方程、不等式求解范圍問題

圖1

(1)求雙曲線C的方程.

(2009年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查直線與雙曲線的關(guān)系，涉及平面向量、三角函數(shù)和函數(shù)等知識，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，可將平面向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式加以解決．

解(1)容易求得，雙曲線C的方程為

評注“代數(shù)化”是解決解析幾何問題的常用思路．在本題中，將條件中的平面向量、三角函數(shù)等信息轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系是問題解決的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．在求解范圍問題時(shí)，有時(shí)可根據(jù)已知條件或從條件中提取的代數(shù)信息，如已知某個(gè)變量的范圍，或某等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，或某個(gè)函數(shù)的值域等，尋求從代數(shù)角度解決問題．

4.2 利用圓錐曲線結(jié)構(gòu)特征求解范圍問題

圖2

分析本題主要考查直線與橢圓相交、對稱、中點(diǎn)坐標(biāo)以及二元二次方程組等知識，可對“直線MN與橢圓相交”這一關(guān)鍵信息進(jìn)行分析與處理．

消去y得

(3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0.

由Δ>0得

m2<3k2+1，

(1)

于是

代入對稱軸AP的方程

解得 2m=3k2+1.

(2)

由式(1)，式(2)消去k2,得

0

又由式(2)得

解得

從而

解法2由點(diǎn)差法得

(3)

(4)

解式(3)，式(4)得

由點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部得

即

k2<1.

于是

解得

評注直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何中常見的問題背景，這里給出的2種解法是解決此類問題的常用途徑，建議在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)給予重視并滲透．解法1側(cè)重于將直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的情況，根據(jù)對方程根的分析解決變量范圍；解法2側(cè)重于分析在問題背景下關(guān)鍵點(diǎn)(線段MN的中點(diǎn)P)與橢圓位置關(guān)系，由此得到變量范圍．

4.3 設(shè)參再消參求解定值問題

例3如圖3，M是拋物線y2=x上的一點(diǎn)，動弦ME,MF分別交x軸于點(diǎn)A,B，且MA=MB．

圖3

(1)若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；

(2)若M為動點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程．

分析本題主要考查直線的方程、斜率以及直線與拋物線相交等知識，所給的條件是解析幾何中的常見形式，設(shè)參是常用且有效的解題方法．

由

消去x得

ky2-y+y0(1-ky0)=0,

解得

同理可得

于是

E((1-y0)2,1-y0)，

同理可得

F((1+y0)2,-(1+y0)).

設(shè)重心G(x,y)，則

消去參數(shù)y0,得

評注解析幾何問題中的變量之間?？山⑵饍?nèi)在的聯(lián)系，引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，可將其中的點(diǎn)、直線甚至曲線用公共的參數(shù)表示出來，最后通過代數(shù)變換消去所設(shè)參數(shù)，問題往往能得到解決．在引入?yún)?shù)時(shí)，一般可設(shè)其中具有聯(lián)接點(diǎn)作用的變量，有時(shí)也可大膽假設(shè)2個(gè)(甚至多個(gè))參數(shù)．本題具有聯(lián)接點(diǎn)作用的變量是直線ME或MF的斜率．

4.4 分析代數(shù)式結(jié)構(gòu)求解定值問題

圖4

例4如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線(x2=2py)(p>0)相交于點(diǎn)A,B．是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

分析本題主要考查直線與拋物線相交、直線與圓相交以及點(diǎn)線距離等知識，可通過設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)將所考慮的弦長表示出來，通過對代數(shù)式結(jié)構(gòu)的分析來確定定值．

若弦長l為定值，則與x1的大小無關(guān)，從而

4.5 先確定再驗(yàn)證求解定值問題

(1)求橢圓的方程；

(2)若k1k2=2，探究：直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？

圖5

分析本題主要考查橢圓的基本概念、直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線的斜率等知識，根據(jù)條件容易求得橢圓方程，條件“k1k2=2”的特殊情況易于考慮，故可先確定定點(diǎn)再進(jìn)行驗(yàn)證．

下證:對任意的k1k2=2，直線AB必經(jīng)過點(diǎn)Q．直線PA，PB的方程分別為

y=k1x-2,y=k2x-2.

解得

于是

同理可得

從而

由k1k2=2，得

因此Q，A，B三點(diǎn)共線，即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)Q(0，-6).

評注對定值問題中某些易于考查其特殊情形的條件，可以通過選擇若干特殊情形先確定定值，再驗(yàn)證對任意情形此值始終能適合．這樣的考慮相當(dāng)于將原本未知的定值作為條件之一參與到解題過程中，使解題的方向變得明朗、清晰．

精題集粹

( )

A.(0,6) B.(3,12) C.(1,3) D.(0,12)

( )

( )

5．實(shí)數(shù)m使拋物線y2=x上存在2個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y=m(x-3)對稱，則m的取值范圍為________.

7．已知A(-2，0)，B(2，0)，動點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿足kPAkPB=t(t≠0且t≠-1).

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)當(dāng)t<0時(shí)，曲線C的2個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，若曲線C上存在點(diǎn)Q使得∠F1QF2=120°，求t的取值范圍．

8．已知拋物線y2=2px(p>0),過動點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的2個(gè)點(diǎn)A，B.

(1)若|AB|≤2p,求a的取值范圍.

(2)若線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)N，求Rt△MNQ的面積.

參考答案

1．D 2．D 3．D

6．2a

7．提示:(1)軌跡C的方程為