光滑接觸的雙層復合圓筒中的周向導波

張慧玲 ， 尹曉春

（1南京工業(yè)大學力學部，南京 210009；2南京理工大學力學與工程科學系，南京 210094）

光滑接觸的雙層復合圓筒中的周向導波

張慧玲1，2， 尹曉春2

（1南京工業(yè)大學力學部，南京 210009；2南京理工大學力學與工程科學系，南京 210094）

研究層間光滑接觸條件下，雙層復合圓筒中周向導波的傳播。通過對雙層復合圓筒周向導波的頻散現象的研究，以及與同種材料的雙層、單層圓筒周向導波特性的比較，發(fā)現周向導波在雙層復合圓筒中傳播時，會發(fā)生明顯的頻散現象和模態(tài)干涉現象，降低了材料的無量綱頻率，并且其第一階模態(tài)，在高頻時接近于無頻散Rayleigh面波。在其高階模態(tài)上，層間效應被弱化，因此，應將層間界面裂紋無損檢測的頻率激發(fā)范圍，集中于低階模態(tài)頻率上。研究發(fā)現，第二階模態(tài)具有在層間界面上集中能量的特點，因此，可用于層間界面裂紋的周向導波無損檢測技術中。

雙層復合圓筒；光滑接觸；周向導波；頻散方程

1 引 言

根據使用環(huán)境和功能需求的不同，雙層復合圓筒可以靈活地選擇某一層結構的材料，以滿足耐磨、耐高溫、耐腐蝕等高性能要求，而另一層則可以選擇較為普通的材料，以降低結構成本。因此，雙層復合圓筒是一類常用的工程結構件，也常應用于水下設備[1-2]。近年來，它還被應用于智能結構[3-4]，薄涂層結構[5]，生物結構模擬研究[6]等新的領域。在使用中，雙層復合圓筒的疲勞裂紋往往萌生于層間界面。由于層間界面具有曲面邊界形式，波的反射特性復雜，導致傳統的超聲—回響等裂紋和缺陷檢測方法，不能有效地檢測出其中的裂紋。因此，需要提出新的檢測手段，做出有效的無損檢測，以避免裂紋擴展造成嚴重的后果。

超聲導波方法是一種有前景的裂紋檢測方法。導波可沿層間界面的曲面方向傳播，可在層厚方向形成駐波，具有較遠距離、實時檢測的優(yōu)勢。目前梁、板[7]、單層圓筒[8]、圓環(huán)[9]、軸筒結構[10]和雙層碳納米管[11]的超聲導波無損檢測方法已經得到了研究。然而，對雙層復合圓筒中的周向導波的研究，目前還少見報導。雙層復合圓筒結構的使用工況，造成裂紋在內壁和層間界面萌生徑向裂紋的幾率較大。從外層表面激發(fā)的非對稱型的周向導波，可以使某些波模態(tài)在內壁和層間界面附近集中能量，能夠給出清晰的波群（反映波的能量傳播特征）檢測信號。因此，有必要仔細研究雙層復合圓筒的周向導波波場的力學和物理特性。本文對雙層復合圓筒結構中周向導波的傳播問題進行了研究，并對層間光滑接觸連續(xù)性條件下的頻散曲線，進行了分析和對比，為在雙層復合圓筒結構中采用周向超聲導波無損檢測方法，提供了理論依據。

2 周向導波問題的求解

圖1表示雙層復合圓筒的橫截面示意圖，假定圓筒在軸向足夠長，對于周向導波，適用于二維線彈性平面應變理論。采用極坐標系 r,(θ)，非零位移和應力分量用r和θ的函數表示。當體力被忽略時，位移波動方程[12]為

其中u是位移矢量，V表示雙層復合圓筒占據的空間區(qū)域，CL和CT分別是縱波和剪切波速度，它們依賴于材料質量密度ρ和Lamé常數λ和μ。雙層復合圓筒的內外表面均為自由邊界

其中S是V的邊界，n是邊界面上的外法向單位矢量，▽u表示位移梯度，T表示轉置。而λ和μ分別表示為

式中ν為材料的泊松比。

位移矢量場u分解為集散波標量勢φ和等容波矢量勢ψ的合成[12]，

其中φ和ψ分別滿足如下波動方程：

對于平面運動[8]，φ和ψ可表述為：

其中f(r)和g(r)可以用n階第一類和第二類Bessel函數Jn(x)和Yn(x)來表述：

上式中j=1和j=2分別表示內外層圓筒。

位移可由下式表示為

由線彈性材料Hooker定律，應力分量為：

雙層復合圓筒內外表面為自由邊界，其邊界條件表示為

其中，1表示內層筒，2表示外層筒?？紤]層間光滑接觸條件，其界面連續(xù)性條件為：

方程（8）-（11）組成了一個特征值問題，其解給出了波數k( n= k b2)和頻率ω（或相速度c=ω/k）之間的頻率—波數關系。

其中，系數矩陣[dmn]為8×8階，是無量綱波數、頻率和位置參數的函數。為了得到非平凡解，要求系數矩陣[dmn]為零，即

這就是層間光滑接觸的雙層復合圓筒周向導波的頻率方程。

3 數值結果及討論

以表1和表2中的雙層復合金屬圓筒為數值算例，研究周向導波在金屬材質的雙層復合圓筒中的一些傳播特性。它的內外金屬圓筒在層間光滑接觸，內層材料為鋼，外層材料為鋁。

表1 材料參數Tab.1 Material data

表2 幾何參數Tab.2 Geometry data

3.1 頻散曲線

3.2 與單、雙層鋼筒頻散曲線的比較

仔細研究無量綱化后的頻率方程（13）可以發(fā)現，任何具有相同泊松比的單層金屬圓筒的無量綱頻散曲線具有一致性，對于同種材料的層間光滑接觸的雙層圓筒，無量綱化的頻散曲線-也只與泊松比有關，數值計算結果也驗證了這一結論。在我們的數值算例中，鋼和鋁選取了相同的泊松比，因此，層間光滑接觸的雙層鋼筒和單層鋼筒分別與層間光滑接觸的雙層鋁筒和單層鋁筒具有相同的無量綱頻散曲線，所以，我們只以鋼筒為例，對比層間光滑接觸的雙層復合圓筒的頻散曲線。此部分，我們將雙層復合圓筒DSTAL和雙層鋼筒 DST以及單層鋼筒SSTT、SSTI和SSTO的最初四階頻散曲線做了比較。由于任何具有相同泊松比的金屬筒頻散曲線的一致性，可以看到同波數下雙層復合圓筒的頻率低于雙層鋼筒，即低于同種材質的雙層筒。

圖 3 （a）、（b）、（c）、（d）分別為第一、二、三、四階模態(tài)比較（=ωb2/cT，=n）Fig.3 Comparison of the first four wave modes （=ωb2/cT，n）

此外，由Rayleigh波的波速公式

可知，Rayleigh波速只與材料的泊松比ν有關，所以對于表2的五個厚壁圓筒，其外表面的Rayleigh面波的波速是相同的。當頻率趨于無窮，也就是說，圓筒半徑趨于無窮時，其外表面可視為平面，第一階模態(tài)的波因此變成了平面Rayleigh波，該特性與圓筒是單層或是多層無關。例如，在圖3（a）中，在較高頻率下，第一階模態(tài)頻散曲線均逼近于一條直線，即=0.922 8，這恰是平面Rayleigh波的無頻散曲線。隨著波數的增加，各模態(tài)頻散曲線逼近平面Rayleigh波無頻散曲線的程度越高，這可以從表3中所列的數據中直接看出。

表3 各模態(tài)頻散曲線與Rayleigh波無頻散曲線的相對偏差Tab.3 Relative deviations between each dispersion curve and the Rayleigh wave non-dispersion curve

從圖3（a）中還可以看出，雙層復合圓筒DSTAL的第一階模態(tài)頻散曲線與內層金屬圓筒SSTI的比較接近，說明層間光滑接觸時，對于第一階模態(tài)的波傳播，外層圓筒對頻率的影響小。此時，用具有一階模態(tài)的周向導波，根據頻率的變化來檢測內筒的裂紋可能有效，但檢測外筒的界面裂紋可能不合適。圖3（b）－（d）還顯示，對于第三階和第四階模態(tài)，雙層復合圓筒DSTAL的頻率始終低于單層內筒和單層外筒的頻率。尤其在更高一些的頻率上，與具有相同內外徑的單層金屬圓筒SSTT的頻率非常接近，說明層間界面效應開始弱化。在此情況下，周向導波用于檢測層界裂紋的可能性變小。因此，我們可以得出一個重要結論，檢測層間界面裂紋的周向導波的選擇范圍，可能應該集中于低階模態(tài)上。

3.3 雙層金屬圓筒的位移分析

都做了正規(guī)化處理，即除以各自的最大值

圖4（c）給出的計算結果表明，第二階模態(tài)能量集中在層間界面附近，所以第二階模態(tài)最具備檢測界面裂紋的應用價值。因此，應該將變頻器設置成優(yōu)先激發(fā)具有第二模態(tài)頻率的周向導波，以實現對界面裂紋的無損檢測目的。

4 結 論

通過對層間光滑接觸雙層復合圓筒周向導波的研究，得出以下結論：

（1）周向導波在雙層復合圓筒中傳播時，會發(fā)生明顯的頻散現象和模態(tài)干涉現象；

（2）其第一階模態(tài)，在高頻時接近于無頻散Rayleigh面波；

（3）在高階模態(tài)上，層間界面效應被弱化，因此，應將層間界面裂紋無損檢測的頻率激發(fā)范圍，集中于低階模態(tài)頻率上；

（4）研究發(fā)現，第二階模態(tài)，具有在層間界面上集中能量的特點，可用于層間界面裂紋的周向導波無損檢測技術中。

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Guided circumferential waves in a double-layered hollow composite cylinder with a free-sliding interface

ZHANG Hui-ling1,2,YIN Xiao-chun2
(1 Mechanics Department,Nanjing University of Technology,Nanjing 210009,China;
2 Department of Mechanics and Engineering Science,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

Guided circumferential wave propagation in a double-layered hollow composite cylinder with a free-sliding interface is investigated.By the study of the dispersion curves of the guided circumferential waves and the comparisons with those of double-layered and single-layered hollow cylinders,the phenomena of the frequency dispersion and mode interactions are found，and the dimensionless frequency become lower than the general double-layered cylinder.The guided circumferential wave of the first wave mode approaches to the Rayleigh wave as the frequency tends to infinity.At higher modes,the interfacial effect on wave modes is weakening.The range of excited frequency for the guided circumferential waves acting as non-destructive detection should be focused on lower wave modes.It is found that the second wave mode can have larger energy distribution near the interface.Hence,the guided circumferential waves of the second wave mode may be applicable to the non-destructive detection of cracks initiated from the interface.

double-layered hollow composite cylinder;free-sliding interface;guided circumferential waves;dispersion equation

TB303

A

1007-7294（2010）08-0930-08

2009-06-03

國家自然科學基金（10872095）

張慧玲（1978-），女，博士，講師，E-mail：zhanghuilingxp@163.com；通訊作者：尹曉春（1963-），男，教授，博士生導師，E-mail：yinxiaochun2000@yahoo.com.cn。