四元數(shù)映射z→z2+c M集多臨界點(diǎn)問題研究

孫媛媛, 王興元

(大連理工大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,遼寧大連 116024)

0 引 言

20多年來,人們對復(fù)映射z→z2+c所構(gòu)造的M-J集已進(jìn)行了深入研究[1～3].1982年,Norton發(fā)現(xiàn)Julia集不僅僅存在于復(fù)數(shù)平面,在以四元數(shù)為模型的四維空間中同樣存在Ju lia集[4].對四元數(shù)M-J集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和內(nèi)部特性的分析逐漸成為一個熱點(diǎn).Gomatam等分析了映射F(Q)+C和CF(Q)下的四元數(shù)M集在高維空間的周期穩(wěn)定性[5];Buchanan等計(jì)算并分析了2次、-1次和-2次四元數(shù)映射下M集穩(wěn)定周期域的分布[6];Shizuo分析了四元數(shù)M集和Julia集的連通性以及四元數(shù)Julia集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[7];M itja等從動力學(xué)角度分析了四元數(shù)Ju lia集[8];程錦等從理論上分析和證明了指數(shù)為正整數(shù)的三元數(shù)映射的三維廣義M集所具有的性質(zhì)[9];關(guān)柯等總結(jié)了四元數(shù)Julia集的某些特征[10];于海等得到了四維Bannach空間與三維Euclid空間的對應(yīng)關(guān)系[11];Wang等研究了四元數(shù)廣義M-J集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[12].上述工作豐富了四元數(shù)分形理論,但是人們此前對四元數(shù)M集的構(gòu)造多是從單一臨界點(diǎn)0開始的.本文將計(jì)算四元數(shù)映射z→z2+c的M集的臨界點(diǎn)集,并討論臨界點(diǎn)不同造成的四元數(shù)M集與一般M集的不同特性.

1 實(shí)驗(yàn)方法

1.1 四元數(shù)M集的臨界點(diǎn)集

令四元數(shù)z=x0+x1 i+x2 j+x3 k,則f(z)=(x20-x21-x22-x23)+2x0x1 i+2x0x2 j+2x0x3 k+c,其Jacobian行列式可表示如下:

故四元數(shù)映射f:z→z2+c的臨界點(diǎn)集是平面x0=0上的所有點(diǎn).

1.2 逃逸時間算法與周期點(diǎn)查找結(jié)合法

對于四元數(shù)映射f:z→z2+c,取立體網(wǎng)格G(GH)內(nèi)的點(diǎn)c0,利用逃逸時間算法判斷c0是否屬于Mf.若c0∈Mf,則判斷c0周期性,即求出|fp(c0)-c0|<ε(ε為誤差范圍,一般ε取10-5)成立的最小正整數(shù)p,然后根據(jù)p值賦予c0點(diǎn)相應(yīng)的顏色;若則賦予c0點(diǎn)為黑色.重復(fù)上述過程,直到窮盡網(wǎng)格G內(nèi)所有的點(diǎn),即可獲得M集.

1.3 對逃逸時間算法的一點(diǎn)改進(jìn)

對于四元數(shù)映射f:z→z2+c,取立體網(wǎng)格G(GH)內(nèi)的點(diǎn)c0,利用逃逸時間算法進(jìn)行迭代計(jì)算.若迭代m次后,|fm(c0)|<δ(δ取0.05,表示小的鄰域半徑),則根據(jù)m的值對點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)著色.如果始終未滿足上述條件,判斷c0是否屬于Mf.若c0∈Mf,則賦藍(lán)色 ;若則賦黑色.重復(fù)上述過程,直到窮盡視窗W內(nèi)所有的點(diǎn),即可獲得M集.

1.4 M集上取點(diǎn)構(gòu)造J集的周期軌道搜索比較法

(1)在Mf上選取p周期點(diǎn)c,令映射f:z→z2+c從z0=c開始迭代,則…,p),可認(rèn)為ak(k=1,2,…,p)是映射g(z)=fp(z)的不動點(diǎn).

(2)對立體網(wǎng)格G(GH)內(nèi)的任意點(diǎn)z,若,可根據(jù)k值賦予z點(diǎn)相應(yīng)的顏色.重復(fù)該過程,直到窮盡視窗W內(nèi)所有的點(diǎn),即可獲得一種新的不同于逃逸時間算法構(gòu)造的廣義J集.

2 多臨界點(diǎn)的四元數(shù)M集

2.1 四元數(shù)M集的性質(zhì)

在構(gòu)造不同臨界點(diǎn)的M集之前,先給出如下定理.

定理1 四元數(shù)映射f:z→z2+c的M集,滿足

定理2 四元數(shù)映射f:z→z2+c的M集,滿足

定理2的證明與定理1相同,此處不再贅述.這說明,從臨界點(diǎn)z0(0,q1,q2,q3)開始迭代構(gòu)造的 M 集同構(gòu)于臨界點(diǎn)為z′0(0,q,0,0)(q=的M 集,亦同構(gòu)于臨界點(diǎn)為z″0(0,-q,0,0)的M集.這樣在研究四元數(shù)M集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時,只要選擇適當(dāng)參數(shù)就可研究整個臨界點(diǎn)集的M集了.本文中,將臨界點(diǎn)為z0(0,q,0,0)的M集映射記為f(q)(c),文中所提的臨界點(diǎn)值即指q值.

定理3 四元數(shù)映射f:z→z2+c的M集,有

證明 設(shè)c=|c|enθ,則c=|c|e-nθ.因?yàn)?/p>

而

所以

命題真.這解釋了為什么不管從哪兩個分維觀察M集,實(shí)驗(yàn)得到的圖形均是以實(shí)軸為對稱的.

定理4[7]四元數(shù)映射f:z→z2+c的動力學(xué)特征與映射pc0+i|c|:s+it→(s+it)2+c0+i|c|的動力學(xué)特征一致.

定理4揭示了四元數(shù)M集和復(fù)平面M集的關(guān)系.同時也說明研究四元數(shù)M集的動力學(xué)特征及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),只要研究與之相對應(yīng)的二維截面上的M集即可.

圖1為q取不同值時,四元數(shù)M集在第三、第四分維均為0時得到的二維截面.圖中黑色區(qū)域?yàn)樘右輩^(qū),彩色區(qū)域通過不同的顏色(由于印刷原因,彩色無法顯示)標(biāo)示了不同周期的穩(wěn)定區(qū):黃色代表1周期,洋紅色代表2周期,紅色代表3周期,青色代表4周期,綠色代表5周期,藍(lán)色代表6周期,灰色代表7周期,白色代表8周期…黃色區(qū)域?yàn)镸集的主瓣,是1周期點(diǎn)的集合,主瓣與一系列圓盤形的小花瓣連接在一起,并且每個小花瓣又被一些細(xì)節(jié)更小的小花瓣所環(huán)繞,以至無窮,這體現(xiàn)了明顯的分形特征.圖1(a)所示四元數(shù)M集體現(xiàn)了與復(fù)平面M集相同的特征.觀察圖1(b)～(h),M集在臨界點(diǎn)值不為0時,不但體現(xiàn)了上述特征,還表現(xiàn)出差異性.隨著臨界點(diǎn)值的不斷增大,雛瓣和主瓣相繼出現(xiàn)了缺失,甚至退化.如圖1(b)和放大圖(i)所示,q=0.30時,3周期(紅色區(qū)域)已經(jīng)出現(xiàn)退化,而2周期(洋紅色區(qū)域)的變化剛剛開始.圖1(c)和(d)中2周期變化更明顯.在圖1(e)～(h)中,1周期區(qū)域不斷退化縮小,直至畫不出分形圖形.根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到,穩(wěn)定區(qū)的變化并不是隨意進(jìn)行的,它沿著實(shí)軸正向進(jìn)行.當(dāng)在正向上變化到一定程度時,再從負(fù)向上開始.并且每個花瓣的變化也不是同時發(fā)生的,而是從周期較大的花瓣向周期較小的花瓣不斷地過渡,直到這種影響波及到最大的花瓣(1周期點(diǎn)區(qū)域).

圖1 四元數(shù)M 集 f(q)(c)(第三、四分維均為0)Fig.1 The quaternion M sets f(q)(c)(the third and fourth dimensions are 0)

2.2 四元數(shù)M集的穩(wěn)定周期域

關(guān)于M集f(q)(c)的穩(wěn)定周期域的邊界,假設(shè)c=a+iσ·K,t=-q2,那么1周期軌道穩(wěn)定區(qū)域的邊界由下式給出:

特別地,當(dāng)t=0時,1周期穩(wěn)定區(qū)的邊界為

這與復(fù)平面M集是一致的,如圖1(a)所示的黃色心形區(qū)域.

對于其他周期的穩(wěn)定區(qū)的邊界,符合下列定理的描述.

定理5 映射f:z→z2+c的p(p>1)周期軌道為z(1),z(2),…,z(p)的穩(wěn)定區(qū)的邊界由

確定.

證明 當(dāng)p=2時c)2+c,根據(jù)p周期軌道的穩(wěn)定區(qū)條件,得到穩(wěn)定區(qū)邊界滿足.假設(shè)當(dāng)p=n時,邊界條件成立,則當(dāng)p=n+1時,z(n+1)=z2(n)+c,,再由周期軌道的定義,可證定理5成立.

四元數(shù)M集f(q)(c)的2周期軌道的邊界可由下式給出:

當(dāng)臨界點(diǎn)變化時,四元數(shù)M集的區(qū)域盡管出現(xiàn)了變化,但是不同周期的穩(wěn)定區(qū)域范圍并未變化.變化只體現(xiàn)在區(qū)域內(nèi)部,最為明顯的是區(qū)域內(nèi)部的縮小.這說明,對于某點(diǎn)z(z∈H),若z∈f(q)(c),則它的周期值是固定的,并不隨著不同的臨界點(diǎn)而發(fā)生改變.這解釋了為什么周期區(qū)域變化時,縮小部分的邊界并未發(fā)現(xiàn)附著更大周期的雛瓣.

Douady等的研究表明,對復(fù)平面M集的每個分支花瓣L均有明確的中心,其相反的吸引環(huán)是超穩(wěn)定的,且最多可能有2k-1個分支具有周期為k的吸引子[13].圖2所示為采用改進(jìn)的逃逸時間算法繪制的四元數(shù)M集,藍(lán)色區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū),彩色區(qū)域標(biāo)示了不同周期域中心點(diǎn)的位置,不同顏色代表的周期與圖1相同.圖2(j)～(l)分別是圖2(e)、(f)和(i)豎線標(biāo)注處的二維虛軸截面.從改進(jìn)的算法可以看出,圖2中彩色部分是不同周期的中心點(diǎn)及其鄰域.

圖2 改進(jìn)的逃逸時間算法繪制的四元數(shù)M集 f(q)(c)Fig.2 The quaternion M sets f(q)(c)utilizing the improved escape time algorithm

下面計(jì)算四元數(shù)M集f(q)(c)1～3周期的中心點(diǎn).

(1)k=1

c-q2=0,1周期的中心在(q2,0,0,0).從圖2中可以看出,隨著q的不斷增大,1周期的中心不斷地右移.

(2)k=2

2周期的中心由(c-q2)2+c=0給出,展開此式得到

(3)k=3

3周期的中心由((c-q2)2+c)2+c=0給出,展開此式得到

當(dāng)q=0時,方程3個根為 -1.7549和-0.1226±0.744 9i(拋棄根0).第一個根的位置正好在實(shí)軸上2周期區(qū)域的左側(cè),后面兩個根的位置在比2周期更靠近實(shí)軸的地方.當(dāng)時,式(10)為該式有4個根,分別為兩個實(shí)數(shù)解-0.實(shí)數(shù)解0、-0.8042和一對共軛解0.4344±1.007 1i.當(dāng)q=1時,式(10)為c4-2c3+3c2-c+1=0,該式有兩對共軛解,分別為0.,分別0±0.641 2i和0. 2i0±1.227 2i.上述計(jì)算說明,隨著q的增大,3周期的中心整體在不斷沿實(shí)軸正向移動.實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖2(a)～(i)的紅色區(qū)域.

2.3 四元數(shù)M集的分岔圖

在過去的研究中,一維多次映射x→p(x,u)的混沌或者周期性行為的研究通常采用分岔圖作為一種普遍的工具.本文構(gòu)造的分岔圖研究的是四元數(shù)映射的實(shí)數(shù)坐標(biāo)軸鄰域部分,因?yàn)樗哂休^好的圖形可視化優(yōu)點(diǎn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,四元數(shù)映射在實(shí)數(shù)坐標(biāo)軸上的投影具有相對于一維二次映射的混沌和周期性行為的圖形顯示.

從圖3中可以看出不同的臨界點(diǎn)值對四元數(shù)M集混沌或者周期性行為的影響.圖3(a)為臨界點(diǎn)值為0時的分岔圖,此時的圖形與一維復(fù)數(shù)映射是一致的.可以觀察到圖形具有周期倍分岔現(xiàn)象,這種周期變化先是1周期,然后1周期分岔變?yōu)?周期,2周期再分岔變?yōu)?周期,逐漸進(jìn)入到混沌狀態(tài).在圖3(b)～(d)中也可以明顯地看出這種特性.但是同時也看到分岔圖隨著臨界點(diǎn)值的變化而受到了影響.主要表現(xiàn)為分岔圖隨著臨界點(diǎn)值的增大而變窄,某些區(qū)域沿著實(shí)軸的正方向逐漸地消失.這對應(yīng)了在2.1節(jié)中發(fā)現(xiàn)的穩(wěn)定周期域逐漸消失的現(xiàn)象,并且在實(shí)軸上消失的周期域是從較大周期域逐漸波及到較小周期域,這與2.1節(jié)的結(jié)論也是一致的.如圖3(e)和(f)所示,當(dāng)臨界點(diǎn)值大于0.70時四元數(shù)M集上的混沌現(xiàn)象已經(jīng)完全消失了.這主要是因?yàn)楫?dāng)臨界點(diǎn)值較大時,在實(shí)軸上已經(jīng)無法找到周期為2以上的穩(wěn)定域了.另外,從分岔圖中還可以看到,臨界點(diǎn)值非0時周期岔變規(guī)律受到一些影響.如圖 3(g)和(h)所示,當(dāng)q=0.40時,從2周期岔變?yōu)?周期時產(chǎn)生了振蕩.

圖3 四元數(shù)M集的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagrams of the quaternion M sets

2.4 四元數(shù)M集的分形維數(shù)

分形是復(fù)雜系統(tǒng),其復(fù)雜性可以用非整數(shù)維(即分維)描述.分形維數(shù)的重要性在于它們能夠用數(shù)據(jù)定義,并且能通過實(shí)驗(yàn)手段近似地計(jì)算.常見的維數(shù)有豪斯道夫維數(shù)、盒維數(shù)、相似維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、填充維數(shù)、李雅普諾夫維數(shù)以及廣義維數(shù)等.在實(shí)際應(yīng)用中,常用的是盒維數(shù),它能夠通過實(shí)驗(yàn)近似地計(jì)算,并且在一些比較“規(guī)則”的集上,這種維數(shù)的值與豪斯道夫維數(shù)是相等的.

定義1 設(shè)集A是度量空間(Rd,ρE)上的有界子集,對每個δ>0,用Nδ(A)表示覆蓋A的半徑為δ的閉球的最少個數(shù),如果

存在,則稱這個極限值為集A的盒維數(shù),記為dim BA.

表1為本文計(jì)算的部分臨界點(diǎn)值情況下M集的盒維數(shù).從表中可以看出,隨著臨界點(diǎn)值的增大,四元數(shù)M集的分維基本上保持著逐步下降的趨勢.而當(dāng)臨界點(diǎn)值大于1.0時,M集的維數(shù)突然下降很快.從上述計(jì)算可以看出,盒維數(shù)反映了不同臨界點(diǎn)下四元數(shù)M集整個周期域的狀況.隨著臨界點(diǎn)值的增大,M集的周期域出現(xiàn)了緊縮,并且M集的邊界逐漸模糊,導(dǎo)致很多大周期的穩(wěn)定域消失,這使得盒維數(shù)逐漸降低.而當(dāng)臨界點(diǎn)值大于1.0時,M集的穩(wěn)定周期域急劇縮小,使得盒維數(shù)變化加劇,直至不能產(chǎn)生任何分形結(jié)構(gòu)為止(見圖1(g)和(h)).

表1 四元數(shù)M集的分維Tab.1 Fractal dimensions of the quaternion M sets

3 四元數(shù)Julia集

定理6 四元數(shù)映射f:z→z2+c的Ju lia集,有

證明 設(shè)z=|z|enθ,則

該定理表明四元數(shù)Julia集關(guān)于原點(diǎn)對稱,從圖4各圖中可以看到這個性質(zhì).

圖4 四元數(shù)Julia集Fig.4 The quaternion Julia sets

定理7 若參數(shù)c的標(biāo)量部分以及范數(shù)相同,則四元數(shù)Julia集在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上保持一致,其迭代后趨向的周期不動點(diǎn)也保持相同范數(shù).

該定理的前半部分是定理4在四元數(shù)Julia集中的體現(xiàn),見圖4(i)～(l).盡管它們在實(shí)虛兩軸的投影看起來不盡相同,實(shí)際上這是Julia集旋轉(zhuǎn)了一定角度造成的結(jié)果.而在四元數(shù)空間中如果參數(shù)c遵循定理7中的條件,它們將保持著結(jié)構(gòu)上的一致[12].后半部分結(jié)論由本文經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),示例見表2.由于實(shí)驗(yàn)采用的機(jī)器計(jì)算精度有限,表中數(shù)據(jù)誤差范圍在10-4.

Hart等已經(jīng)證明了當(dāng)c∈C,j、k存在對稱性[14].本文發(fā)現(xiàn)這種對稱性存在普遍性,將其條件推廣得到如下定理.

定理8

(1)若c=|c|eiθ,則對點(diǎn)z(q0,q1,q2,0)和z′(q0,q1,q′2,q′3),如果滿足=q′22+q′32,則有|g(z)|=|g(z′)|;

(2)同樣的 ,若c=|c|ejθ,則對點(diǎn)z(q0,q1,q2,0)和z′(q0,q′1,q2,q′3),如果滿足q21=q′12+q′32,則有|g(z)|=|g(z′)|;

(3)若c=|c|ekθ,則對點(diǎn)z(q0,q1,0,q3)和z′(q0,q′1,q′2,q3),如果滿足q21=q′12+q′22,則有|g(z)|=|g(z′)|.

該定理表明如果滿足給定的條件,四元數(shù)Julia集在某兩個虛軸上的投影是圓盤形狀.從圖4(m)～(p)中可以看到這個性質(zhì).

圖4給出的是于四元數(shù)M集中選點(diǎn)構(gòu)造的Julia集在任意兩個分維平面的投影.如無特別說明,均為另外兩個分維為0時的投影.圖中黑色表示逃逸區(qū),彩色區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū),不同的顏色代表趨向不同的周期不動點(diǎn).在第三、四分維均取0時,圖形與復(fù)平面 Ju lia集是相同的(見圖 4(a)～(e)).而隨著第四分維取值的不斷增大,分形圖形不斷收縮,圖形面積不斷縮小,中間主瓣與周圍雛瓣也在不斷地融合,整個圖形范圍越來越小,直至不再產(chǎn)生分形圖形(見圖4(f)～(h)).這個過程中盡管也出現(xiàn)了圖形收縮、扭曲的現(xiàn)象,但是始終保持著關(guān)于原點(diǎn)對稱的特性,這與定理6是一致的.不同Julia集的周期值和不動點(diǎn)即由參數(shù)c在M集中的相應(yīng)周期域的位置決定(見圖4(a)～(h)).本文通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),如果參數(shù)c選自任何一個M集,即則對應(yīng)的Julia 集即為連通的,否則相應(yīng)的Ju lia集無周期性,無法構(gòu)造其圖像.

表2 四元數(shù)Julia集的周期點(diǎn)(3周期)Tab.2 The period point in the quaternion Ju lia sets(3-period)

4 結(jié) 論

本文采用逃逸時間算法與周期點(diǎn)查找結(jié)合法,構(gòu)造了四元數(shù)映射f:z→z2+c的多臨界點(diǎn)M集,探索了多臨界點(diǎn)情況下四元數(shù)M集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和裂變演化規(guī)律,計(jì)算了四元數(shù)M集的周期域中心位置和邊界條件.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,不同的臨界點(diǎn)會導(dǎo)致周期區(qū)域中心發(fā)生轉(zhuǎn)移或分化成多個,區(qū)域面積也會萎縮或退化,并且萎縮處會出現(xiàn)與周期域特性相一致的分形結(jié)構(gòu).另外,通過定性地建立M集上點(diǎn)的坐標(biāo)與Julia集整體結(jié)構(gòu)之間的對應(yīng)關(guān)系,發(fā)現(xiàn)四元數(shù)M集包含了四元數(shù)Julia集構(gòu)造的大量信息.如果參數(shù)c取自由任何一個臨界點(diǎn)決定的四元數(shù)M集,則相應(yīng)的Ju lia集即為連通的.這說明四元數(shù)映射f:z→z2+c的M集由所有臨界點(diǎn)決定的四元數(shù)M集的并集組成.可以看出,多臨界點(diǎn)的四元數(shù)M集結(jié)構(gòu)特點(diǎn)較臨界點(diǎn)為0的M集有較大變化,其他映射下的四元數(shù)M集亦很有可能存在多臨界點(diǎn)問題,下一步工作可再作深入研究.

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