電機鐵耗的有限元計算方法研究進展及有待解決的問題*

劉曉芳， 趙海森， 陳偉華， 顧德軍

(1.華北電力大學電氣與電子工程學院，北京 102206;2.上海電科電機科技有限公司，上海 200063)

0 引言

隨著超高效電機研制工作的深入開展［1］，傳統(tǒng)基于磁路分析的電磁計算方法［2-3］越來越難以滿足對深入研究電機鐵耗的要求，這主要是因為該方法在計算鐵耗時通過引入經(jīng)驗系數(shù)計及鐵耗的眾多影響因素，并不能針對某一特定因素對鐵耗的具體影響程度進行分析;此外，該方法只針對齒部和軛部兩段磁路進行計算，且計算結(jié)果僅反映總鐵耗，并不能對鐵心局部損耗分布進行細致分析，很難為開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化等降耗措施研究提供技術(shù)支持。基于有限元法的鐵耗計算方法具有計及因素全面、計算精度高等優(yōu)點，已成為國內(nèi)、外同行的一個研究熱點。

原則上講，鐵耗有限元計算和研究可分為2-D和3-D兩類算法。雖然也有文獻研究了利用3-D有限元法進行鐵耗計算，如文獻［4］，但其計算時間太長且占用資源過多。例如，作者利用一臺內(nèi)存為4 GB、CPU為Intel Q9550的計算機，對定子外徑為90 mm的低速永磁電機進行3-D穩(wěn)態(tài)有限元計算，共剖分43萬個四面體單元，計算一個點需要15 min，如果進行時步計算，假設(shè)計算2 000個點，耗時長達數(shù)百小時，故從應(yīng)用角度考慮，當前階段2-D有限元仍是最佳選擇。

目前，利用有限元法計算鐵耗的基本計算模型主要有兩種:一是基于磁滯和渦流損耗的兩項式模型［2-3］;另一個是由Bertotti于1988年在文獻［5］中提出基于磁滯、渦流及附加損耗(Excess loss)的常系數(shù)三項式模型，該模型已得到廣泛應(yīng)用［6-8］，在上述基本計算模型基礎(chǔ)上，還衍生出其他一些改進模型［9-14］。此外，以上模型均通過硅對鋼片實測損耗擬合求得，目前在國際范圍內(nèi)得到普遍認可的測試方法為愛普斯坦方圈和環(huán)形樣品測試［15-17］，故這些模型均通過對這兩種測試方法測得的損耗數(shù)據(jù)擬合得出，對此文中將逐一介紹。

本文主要目的有以下兩點:一是介紹基于2-D有限元法的交流電機鐵耗計算方法研究進展，其中重點介紹了鐵耗計算基本模型、部分改進模型及模型中損耗系數(shù)求解方法，并列舉相應(yīng)算例;二是結(jié)合工程實際需求，指出了鐵耗有限元計算方法有待解決的問題。

1 電機鐵耗有限元法計算方法

1.1 交流電機鐵耗與鐵磁材料損耗的區(qū)別

由文獻［2-3］可知電機鐵耗和鐵磁材料損耗的產(chǎn)生機理不同，其主要差別在于旋轉(zhuǎn)磁化，在交變磁化下，磁密矢量僅大小變化，其軌跡為一條直線，而在旋轉(zhuǎn)磁化作用下的磁密矢量除大小變化外，方向也發(fā)生變化，其軌跡呈橢圓形，兩者對比如圖1所示。這兩種磁化方式產(chǎn)生的損耗不盡相同，文獻［3］中指出電機軛部磁通密度一般為1.0～1.5 T，相應(yīng)旋轉(zhuǎn)磁化產(chǎn)生的磁滯損耗要比由交變磁化產(chǎn)生的磁滯損耗約大45%～65%，因此在計算電機鐵耗時，必須考慮旋轉(zhuǎn)磁化的影響。至于如何計及，傳統(tǒng)的鐵耗工程計算方法是靠引入經(jīng)驗系數(shù)實現(xiàn)［2-3］的;而利用有限元法計算鐵耗時，僅需對計算得到的磁密進行相應(yīng)處理即可。

圖1 交變磁化和旋轉(zhuǎn)磁化示意圖

1.2 2-D有限元法可計及的電機鐵耗影響因素

除了磁化方式這一根本區(qū)別外，交流電機鐵耗與鐵磁材料損耗的區(qū)別還包括磁密分布不均勻、制造工藝及諧波磁場等。因此，對2-D有限元法能夠計及的鐵耗影響因素分析如下:

(1)磁密不均勻分布。通過有限元計算能夠得到鐵心內(nèi)部任意區(qū)域的磁密分布情況。

(2)諧波磁場。利用有限元法計算得到的磁密隨時間變化波形中已包含基波和諧波磁場。

(3)旋轉(zhuǎn)磁化。通過對計算得到的磁密進行相應(yīng)處理便可計及。

(4)機械加工因素。對于未經(jīng)退火的冷軋硅鋼片，沖剪應(yīng)力也是影響鐵耗的一個重要因素;此外，壓裝也會導(dǎo)致鐵心受力發(fā)生變化，影響其導(dǎo)磁性能。這些因素可通過對模型進行處理計及。

盡管利用2-D有限元法能夠較全面計及上述幾種主要因素，但由于其自身局限性，仍有個別因素難以計及，例如端部漏磁場在附近金屬構(gòu)件中產(chǎn)生的損耗、加工中產(chǎn)生的毛刺，以及壓裝時導(dǎo)致硅鋼片的片間絕緣破壞產(chǎn)生的損耗等?？紤]到利用有限元法計算鐵耗的主要目的在于針對上述能夠計及的某一特定因素，系統(tǒng)研究其對鐵耗的影響程度，在此基礎(chǔ)上進一步研究降耗措施，這一點是傳統(tǒng)電磁計算無法實現(xiàn)的;此外，端部磁場產(chǎn)生的損耗在總鐵耗中僅占很小一部分［3］，而對于毛刺和片間絕緣這兩種因素，隨著制造工藝水平的日益提高，其對鐵耗的影響也會降低且可通過試驗方法展開研究，故這些難以計及的因素并不會妨礙有限元法在鐵耗計算與分析中的應(yīng)用。此外，需說明的是，本文重點在于介紹鐵耗計算基本模型，對于如何計及旋轉(zhuǎn)磁化和機械加工因素，屬于另一個研究方向，文中對此不做分析。

1.3 利用有限元法計算電機鐵耗的特點

有限元法可以方便得到電機內(nèi)部磁場分布，因此在計算鐵耗時對結(jié)果處理更具靈活性，其特點主要體現(xiàn)在以下幾方面:

(1)通過計算能方便地得出電機鐵心內(nèi)部各區(qū)域磁密隨時間變化的波形。

(2)在鐵耗計算時可靈活選擇磁密波形的處理方法，既可以直接利用計算得到的磁密波形計算鐵耗，也可以利用傅里葉分解得到基波和諧波磁密后，再分別計算相應(yīng)鐵耗。

(3)可任意選擇不同區(qū)域(磁路)進行計算，例如齒肩、齒根及扣片槽附近等多個局部區(qū)域。

(4)空載和負載條件下由基波和諧波磁場產(chǎn)生的損耗均可單獨計算。

2 基于有限元法的鐵耗基本計算模型

2.1 常系數(shù)三項式模型

2.1.1 模型介紹

該模型由Bertotti于1988年提出，由磁滯、渦流及附加損耗組成的三項式模型，可表示如下［5］:

式中，kh、ke和ka均為損耗系數(shù)。式中第一項是磁滯損耗;第二項對應(yīng)于經(jīng)典渦流損耗。其中ke=π2γd2/6ρ，d為硅鋼片厚度，單位 m;γ 為電導(dǎo)率，單位S/m;ρ為鐵磁材料密度，單位kg/m3。第三項是由于磁疇壁不連續(xù)運動產(chǎn)生的巴克豪森躍變產(chǎn)生的損耗，文獻［5］中稱之為附加損耗。

常系數(shù)三項式模型如式(2)所示，但其僅適用于磁密波形為正弦時的鐵耗計算。眾所周知，即使在正弦電源供電條件下，磁密波形仍含有諧波，因此需要一種能夠適用于任意波形的鐵耗計算模型，關(guān)于這一問題的解決方法，早在20世紀70～80年代，J.D.Laver通過試驗研究，在對大量試驗數(shù)據(jù)進行分析的基礎(chǔ)上，提出渦流和磁滯損耗的修正方法［18-19］，將其與式(2)結(jié)合后可得目前常用的任意磁密波形下鐵耗計算公式［6-8］:

式中:σ——鐵磁材料電導(dǎo)率;

h——鐵心疊片厚度;

δ——鐵磁材料密度;

T、f——基波的周期和頻率;

Bm、ΔBi——一個周期內(nèi)磁密最大值和局部磁密變化量;

n——局部磁密變化次數(shù)［6-8］。

上述模型是目前利用有限元計算電機鐵耗最常用的一種模型，在其精度方面，Bertotti在文獻［5］中指出該模型對于大多數(shù)硅鋼片的計算誤差在10%以內(nèi)，足以用其描述電機內(nèi)部損耗特性。

2.1.2 模型中損耗系數(shù)求解

為了方便其他系數(shù)的求解，首先說明Steinmetz系數(shù)α的取值，由傳統(tǒng)電機設(shè)計理論可知，其值一般取1.6～2.2［2-3］，但在該模型中，參考其他文獻研究結(jié)果，取其值為2。這樣取值的原因如文獻［20］所述:電機內(nèi)部磁密通常在1.2～1.5 T附近，只有個別地方磁密可高于1.5 T，而在低于1.5 T時，取a=2的計算結(jié)果精度仍可很好地滿足工程需求。實際上，該系數(shù)仍可通過對實測損耗數(shù)據(jù)進行擬合求得，該方法將在后續(xù)內(nèi)容的變系數(shù)三項式模型中介紹。對式(2)所示常系數(shù)模型可作如下處理:

以下基于式(4)說明上述系數(shù)的具體求解方法。首先介紹 ke，其可由公式 ke= π2γd2/6ρ［5］求得，當知道硅鋼片密度、電導(dǎo)率及厚度后，即可得出;至此，式(4)可進一步表示為

按照式(5)所示，對實測損耗數(shù)據(jù)進一步處理，通過求解一個線性方程組即可求得系數(shù)kh和ke。此外，需要指出的是，除了上述介紹的損耗系數(shù)求解方法外，該模型中的系數(shù)還可以根據(jù)損耗實測數(shù)據(jù)直接擬合求得。

2.1.3算例

(1)文獻［5］中通過研究8種鐵磁材料的損耗特性，驗證了該模型的適用性，同時對grain oriented three-percent SiFe鐵磁材料進行了實測和計算損耗對比，指出當f≥50 Hz、磁密在1.5 T附近時，計算和實測損耗對比誤差低于10%;

(2)文獻［6］利用該模型，針對一臺40 W，4極徑向磁場無刷永磁直流電機，對兩個不同牌號硅鋼片和運行狀態(tài)下的鐵耗進行了計算;

(3)文獻［7］計算了一臺4極、37 kW直槽異步電機，實測利用熱值試驗(Calorimeter test)，計算得到空載鐵耗為771 W，實測空載鐵耗為756 kW;滿載時計算鐵耗為1 207 W，實測鐵耗為1 362 W;

(4)文獻［8］中利用該模型針對 3臺2.2 kW、22 kW和132 kW電機，研究了斜槽對鐵耗的影響。

(5)在國內(nèi)利用該模型方面，也有眾多文獻利用該模型計算電機鐵耗，例如文獻［21-23］，所研究的電機包括異步電機、開關(guān)磁阻電機等多種，且各文獻中計算和實測對比結(jié)果均顯示能夠很好地反映電機實際鐵耗。受篇幅限制，不再詳細列出其研究和計算結(jié)果。

2.2 常系數(shù)兩項式模型

該模型即傳統(tǒng)電機設(shè)計所采用的損耗計算模型，由磁滯和渦流損耗［2-3］兩項組成，可表示如下:

式中第一項為磁滯損耗，kh和ke分別為磁滯和渦流損耗系數(shù);α為Steinmetz系數(shù)，上述三個系數(shù)均取決于材料特性，均通過對鐵磁材料實測求得。需要指出的是，式(1)也是鐵耗工程計算方法所采用的基本計算模型。該模型如式(1)所示，其損耗系數(shù)由硅鋼片實測損耗數(shù)據(jù)擬合求得。該模型是電機鐵耗工程計算方法中常用的一種，但是在利用有限元法計算電機鐵耗時，該模型應(yīng)用較少，故在此不對其作重點介紹。

3 基于有限元法的鐵耗改進計算模型

前文介紹的常系數(shù)三項式計算模型雖然能夠從一定程度上反映電機實際鐵耗，但在某些特殊情況下其計算誤差相對較高，例如文獻［11］和［13］中指出常系數(shù)三項式模型的計算誤差有可能達到30%以上。為了解決計算精度這一問題，學術(shù)界開展了大量理論和試驗研究，其中部分學者在鐵耗基本計算模型基礎(chǔ)上提出了改進模型，以下將主要介紹鐵耗有限元計算方法的一些改進模型，僅供參考。

3.1 變系數(shù)兩項式模型

3.1.1 模型介紹

該模型由Mircea Popescu和Dan.M.Ionel于2007年提出，其表達式如式(1)所示。所謂變系數(shù)是指兩個損耗系數(shù)kh和ke隨磁密或頻率變化。

3.1.2 模型中損耗系數(shù)求解

式(1)可進一步變形為

利用實測得到的損耗數(shù)據(jù)，即可得式(8):

對該式在某一頻率下以B為變量進行擬合求解(可以取 1、2、3 階曲線擬合)，如下［10-11］:

式(9)、(10)在同一頻率下，需4～5個不同磁密點進行擬合得到系數(shù) Ke0、Ke1、Ke2、Ke3、Kh、α0、α1、α2、α3后，即可得到任意頻率和磁密下的損耗系數(shù)。

3.1.3算例

文獻［10］中針對厚度為0.022英寸(0.5 mm)，相對磁導(dǎo)率為 3 071，P15/60為 3.16 W/Ib(1 Ib=0.45 kg)，密度為7 800 kg/m3的硅鋼片，利用Epstein方圈對其進行了損耗測試，并建立相應(yīng)模型計算上述硅鋼片損耗。計算與實測對比誤差在3%以內(nèi)，同時和其他頻率(并沒有利用這些頻率下的數(shù)據(jù)進行模型提取)下的鐵耗對比誤差也在5%以內(nèi)。

3.2 變系數(shù)三項式模型

3.2.1 模型介紹

Dan.M.Ionel和Mircea Popescu等在文獻［9-10］中，提出了變系數(shù)三項式計算模型，所謂變系數(shù)，是指式(2)中系數(shù)kh、ke和kα隨磁密或頻率變化。

3.2.2 模型中損耗系數(shù)求解

變系數(shù)三項式模型中的損耗系數(shù)求解方法和變系數(shù)兩項式模型類似，求解過程中采用如下多項式:

在同一頻率下，需對不同磁密點進行擬合，得到系數(shù) Ke0、Ke1、Ke2、Ke3、Kh、a0、a1、a2、a3后，即可得到任意頻率和磁密下的損耗系數(shù)。

3.2.3 算例

Dan.M.Ionel等于2007年在文獻［9］中，利用變系數(shù)三項式模型，對三種硅鋼片的實測和計算對比結(jié)果顯示該模型誤差在5%以內(nèi)。同時以一臺6極內(nèi)置式永磁電機和一臺4極異步電機為例，進行了實測和計算對比，結(jié)果如圖2、3所示。

圖2 內(nèi)置式永磁電機空載鐵耗的實測與計算對比［14］

圖3 采用兩種硅鋼片時異步電機鐵耗的實測與計算對比［14］

3.3 鐵耗的其他改進計算模型

3.3.1 磁滯損耗項改進模型

文獻［12］和［13］中分別針對兩項和三項模型中的磁滯損耗項，對Steinmetz系數(shù)α利用二階多項式和三階多項式進行擬合，分別表述如下:

式中:系數(shù)a、b和c的求解方法與前一小節(jié)類似。

3.3.2 渦流損耗項計及集膚效應(yīng)的改進模型

Aldo Boglietti在文獻［14］中，考慮了集膚效應(yīng)對渦流損耗的影響。對常系數(shù)三項式模型進行了修正，其提出的模型如下:

式中各系數(shù)求解方法與三項常系數(shù)模型類似。

3.3.3 一種基于Maxwell方程的渦流損耗模型

Zhang Yu在文獻［24］中基于Maxwell方程建立了一種計及集膚效應(yīng)的渦流損耗計算模型:

式中:Pe——單位質(zhì)量和單位時間內(nèi)的渦流損耗;

ρ——鐵磁材料的質(zhì)量密度;

Je——單元電流密度;

H——磁場強度;

B——磁通密度。

在式(17)基礎(chǔ)上，文獻［24］中還推導(dǎo)出恒定磁導(dǎo)率下計及集膚效應(yīng)的渦流損耗解析表達式:

其中:λ =2δ/L;

L——材料厚度的一半;

δ——透入深度，δ=(2/ωμσ)－1/2;

ω——角頻率;

μ，σ——磁導(dǎo)率，電導(dǎo)率;

Bp——磁密幅值。

關(guān)于式(18)應(yīng)用范圍，文獻中指出其僅適用于磁密較低的情況，當磁密過高時，受磁導(dǎo)率變化的影響，該方法計算結(jié)果會有較大誤差。

除了上述幾種改進模型外，還有文獻專門針對磁滯損耗提出了其他模型，例如F.Preisach提出的 Preisach 模型［25］、Hans Hauser提出的 Energetic模型［26］以及 Masato Enokizono 提出的 E＆S模型［27］等。受篇幅限制，此處不再詳細介紹。

4 鐵耗有限元計算方法的發(fā)展趨勢及有待解決的問題

雖然基于有限元的鐵耗計算方法已得到廣泛應(yīng)用，但綜合文中內(nèi)容可以看出現(xiàn)階段存在眾多模型，因此在計算模型對比、計算精度及實用性方面仍存在值得進一步深入研究的問題，總結(jié)如下。

(1)關(guān)于不同模型對比的研究:基于有限元方法的鐵耗計算模型較多，因此應(yīng)開展不同模型的對比研究。盡管已有文獻開展了初步研究［28-30］，但其研究范圍較小，且只是針對一臺電機或一種運行狀況研究，故該項工作需深入開展。

(2)在某些特殊應(yīng)用場合，利用常系數(shù)模型計算精度較低，因此研究精度較高的變系數(shù)模型，是利用有限元法計算電機鐵耗的必然發(fā)展趨勢。

(3)建立更加適用于工程實際的有限元計算模型。文中介紹的模型均需要對材料實測損耗數(shù)據(jù)進行擬合求得，其數(shù)據(jù)處理過程繁瑣且計算量大。工程中需要計算方法簡單快捷的實用模型，因此研究基于有限元方法的鐵耗計算實用模型也是下一步的重點工作。關(guān)于這方面，作者提出一種能夠方便地應(yīng)用于工程實際的鐵耗完整計算模型，該模型包含了硅鋼片損耗測試，模型建立、損耗系數(shù)求解及電機試驗驗證等完備流程，將另有文獻專門提出。

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