零點定理的應(yīng)用

余 榮

(1.武漢工程大學(xué)理學(xué)院, 湖北 武漢 430074;2.武漢工程大學(xué)智能機(jī)器人湖北省重點實驗室,湖北 武漢 430074)

0 引 言

根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，我們知道零點定理是介值定理的一種特殊情況.零點定理在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中具有十分廣泛的應(yīng)用[1].比如，可以體現(xiàn)在拉橡皮筋、放穩(wěn)椅子、巧切蛋糕、上山下鄉(xiāng)等實際問題中，本文通過數(shù)學(xué)建模結(jié)合零點定理解決了以上四個事例，并歸納出應(yīng)用零點定理解題的一般步驟.

1 零點定理

如果x0使f(x0)=0,則x0稱為函數(shù)f(x)的零點.

零點定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少一點ξ,使f(ξ)=0.

零點定理有明顯的幾何意義,能夠簡單地從幾何意義上對以上問題作出正確的猜測.但要證明這些簡單的猜測卻非常困難,似乎印證了“越是簡單的越困難”這句話.零點定理的幾何解釋是:由于f(x)在[a,b]上連續(xù),故f(x)的圖象是一條連綿不斷的連續(xù)曲線.若f(a)與f(b)異號,則曲線的兩個端點一個在x軸上方,一個在x軸下方,從而曲線必然至少通過x軸一次.所以,零點定理也稱為根的存在性定理.此外,零點定理有下面兩個推論.

推論1(介值定理):設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)?f(b),那么,對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ,使得f(ξ)=C.

證明:令g(x)=f(x)-C,并設(shè)f(a)

g(a)=f(a)-C<0,g(b)=f(b)-C>0.

由零點定理知:存在ξ∈(a,b),使g(ξ)=0.即f(ξ)=C.

注:零點定理是介值定理的一種特殊情況.

推論2:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),M,m分別為f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,則對于任何C,m

2 零點定理的事例

零點定理的應(yīng)用與很多實際問題有關(guān),以下將列舉四例.

例1拉一根橡皮筋,一頭朝左拉,同時另一頭朝右拉,在橡皮筋不拉斷的情況下橡皮筋上有一點在他原來的位置上不動.

證明:如圖1,假設(shè)拉之前各點的位置用x表示,拉之后各點的位置用f(x)表示,在橡皮筋不拉斷的情況下,函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù),這里x∈[a,b].朝左拉的那頭的橡皮筋終點在起點左邊,從而f(a)b.

圖1 拉橡皮筋模型圖

設(shè)F(x)=f(x)-x,x∈[a,b],則函數(shù)F(x)在[a,b]連續(xù),且

F(a)=f(a)-a<0F(b)=f(b)-b>0

則F(x)=f(x)-x在[a,b]上滿足零點定理,即?ξ∈(a,b),有f(ξ)=ξ,即他前后的位置不變.

例2四腳一樣長,四腳的連線呈正方形的椅子放在起伏不平的光滑曲面的地上,能否將這把椅子四腳同時落地并放穩(wěn)?

答案是肯定的.

圖2 放穩(wěn)椅子模型圖

因為f(θ0)·g(θ0)=0,所以f(θ0)=0,此時椅子放穩(wěn).

例3妹妹小英過生日,媽媽給做了一塊邊界形狀任意的蛋糕.哥哥小明見了也想吃,小英指著蛋糕上一點對哥哥說,你能過這點切一刀,使切下的兩塊蛋糕面積相等,便把其中的一塊送給你.小明苦想了半天,終于用剛剛學(xué)過的高等數(shù)學(xué)知識證明了一定存在過這一點的某一刀可以把蛋糕切成兩部分.

分析:問題歸結(jié)為如下一道幾何證明題.

已知:平面上一條沒有交叉點的封閉曲線(無論什么形狀),p是曲線所圍圖形上任一點.

證明:

(1)過p點任作一直線l,將曲線所圍圖形分為兩部分,其面積分別記為S1,S2.

若S1=S2(此種情況很難辦到),則l即為所求;

若S1≠S2,則不妨設(shè)S1>S2(此時l與x軸正向的夾角記為α),如圖3,下面對此種情況證明之.

圖3 巧切蛋糕模型圖(1)

(2)以p點為旋轉(zhuǎn)中心,將l按逆時針方向旋轉(zhuǎn),如圖4,面積S1,S2就連續(xù)地依賴于角α變化,記為S1(α),S2(α),并設(shè)f(α)=S1(α)-S2(α).

(3)函數(shù)f(a)在[α0,α0+π]上連續(xù),且在端點異號:

f(α0)=S1(α0)-S2(α0)>0

f(α0+π)=S1(α0+π)-S2(α0+π)=

S2(α0)-S1(α0)<0

根據(jù)零點定理,必存在一點ξ∈(α0,α0+π),使f(ξ)=0,即S1(ξ)=S2(ξ).

過p作直線,使之與x軸正向的夾角成ξ,該直線即為所求.

對于水利水電工程項目中深基坑安全管理要點最有效的應(yīng)用，最基本的要求就是在保證工程順利施工的前提下能夠更好的為后續(xù)的施工項目順利進(jìn)展提供有力的安全保障，所以在深基坑的安全管理上必須做好以下幾點：

例4一登山運(yùn)動員從早上7點開始攀登某座山峰,在下午7點到達(dá)山頂;第二天早上7點再沿原路下山,下午7點到達(dá)山腳.我們可以證明:這個運(yùn)動員在這兩天的某一相同時刻經(jīng)過登山路線的同一地點.

解:根據(jù)題意,以時間t為橫坐標(biāo),山高h(yuǎn)為縱坐標(biāo),則登山過程可用時間—高度坐標(biāo)系中的一條連續(xù)曲線表示.如圖5中AB曲線表示上山過程,CD曲線表示下山過程,AB和CD至少有一個交點P,P點坐標(biāo)(t,h)就表示兩天的同一時刻t經(jīng)過登山路線的同一地點.

圖5 上山下山模型圖

下面給出數(shù)學(xué)證明:

記AB曲線為h=φ(t) (7≤t≤19);CD曲線為h=ψ(t) (7≤t≤19).

令f(t)=φ(t)-ψ(t) (7≤t≤19).

因φ(t),ψ(t)連續(xù),故f(t)在[7,19]上連續(xù),又

f(7)=φ(7)-ψ(7)=0-ψ(7)=-H<0,(其中H為山的高度)

f(19)=φ(19)-ψ(19)=φ(19)-0=H>0,

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點定理,必有ξ∈(7,19),使f(ξ)=0,即φ(ξ)-ψ(ξ)=0,

故φ(ξ)=ψ(ξ).

注意:上述命題即曲線AB與CD存在交點P(數(shù)學(xué)上稱為不動點P)成立的唯一條件是上山和下山的時間區(qū)間有部分重合.

3 利用零點定理解題的步驟

最后,我們給出利用零點定理的解題步驟[2]:一是作輔助函數(shù),(1)將要證等式中的ξ換成x,得到相應(yīng)方程;(2)通過移項,使方程一邊為“0”;(3)將方程另一邊設(shè)為輔助函數(shù).二是尋找閉區(qū)間,使輔助函數(shù)在該區(qū)間端點處的值異號.

4 結(jié) 語

零點定理在實際中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此,以上只是舉例性的說明.事實上,零點定理在實際中有著非常廣泛的應(yīng)用.限于篇幅,本文不再贅述.

參考文獻(xiàn)：

[1]王玉寶，何彥波，許志梅.零點定理的活用[J].長春師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2007(3)：36-37.

[2]梁瑞光,郭強(qiáng).介值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].長治學(xué)院學(xué)報,2005(4):70-72.