關于Diophantine方程x2+4n=y3

王 振，張 慧

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230039)

關于不定方程x2+4n=y3，n∈N已經有了不少研究工作［1-3］，其中n=0，1 時，潘承洞、潘承彪【1】在“代數(shù)數(shù)論”一書中關于方程x2+1=y3，x2+4=y3的整數(shù)解問題做了詳細的證明，整數(shù)解分別是(x，y)=(0，1)，(x，y)=(±2，2)，(±11，5).n=2 時，2006 年廖江東［2］證明了x2+16=y3無整數(shù)解.黃勇慶［1］證明了不定方程x2+4n=y3(n∈N，x≡ 1( m od2 )，x，y∈Z)整數(shù)解僅有 (x，y，n) = ( ±11，5，1).此處在前幾人證明的基礎上證明了n≥3時，不定方程x2+4n=y3(n∈N，x≡ 0( m od2 )，x，y∈Z)的整數(shù)解為:(x，y，n) = ( 0 ，4k，3k)，(±2 ×8k，2 ×4k，3k+1 )，( ±11 ×8k，5 ×4k，3k+1)，k∈N*.至此此不定方程的全部整數(shù)解完全解決.

引理 1【1】x2+1=y3，x，y∈Z整數(shù)解僅有 (x，y) = ( 0 ，1).

引理 2【1】x2+4=y3，x，y∈Z整數(shù)解僅有 (x，y) = ( ±2，2 )，( ±11，5).

引理 3【2】x2+16=y3無整數(shù)解.

引理 4【3】x2+4n=y3(n∈N，x≡ 1( m od2 )，x，y∈Z)整數(shù)解僅有 (x，y，n) = ( ± 11，5，1).

定理1 不定方程:

整數(shù)解僅有 (x，y，n) = ( 0 ，4k，3k)，( ±2 ×8k，2 ×4k，3k+1 )，( ±11 ×8k，5 ×4k，3k+1 )，k∈N*.

證明 當n=3k時，不定方程(1)即:

此不定方程整數(shù)解僅有 (x，y) = ( 0 ，4k).

當k=1時，式(2)即:

由式(3)易知x，y都是偶數(shù)，令x=2x1，y=2y1，x1，y1∈Z代入式(3)可得:

易知x1必為偶數(shù)，從而y1也必是偶數(shù).令x1=2x2，y1=2y2，x2，y2∈Z代入式(4)可得:

易知x2為偶數(shù)，令x2=2x3，代入式(5)可得+1=(x3，y2∈Z).從而由引理1知上式整數(shù)解僅有(x3，y2)= ( 0 ，1 )，由x=8x3，y=4y2，可得式(3)整數(shù)解僅有 (x，y) = ( 0 ，4).

假設當k=i時，式(2)結論成立，即x2+43i=y3(x≡ 0( m od2 )，x，y∈Z，i∈N*).方程整數(shù)解僅有(x，y) = ( 0 ，4i).

當k=i+1時，式(2)即:

同式(3)證明過程易知:

其中，x=8x3，y=4y2，x3，y2∈Z.

若x3≡ 1 ( m od2)時，因為3i≥3，由引理4知式(7)無整數(shù)解.若x3≡ 0( m od2)時，由假設可知式(7)整數(shù)解僅有 (x3，y2)= ( 0 ，4i)，由x=8x3，y=4y2可得，式(6)整數(shù)解僅有 (x，y) = ( 0 ，4i+1).

當n=3k+1時，不定方程(1)即:

此不定方程整數(shù)解僅有 (x，y) = (±2×8k，2×4k)，( ±11×8k，5×4k).

當k=1時，式(8)即:

證明同式(3)，易知:

其中x=8x3，y=4y2，x3，y2∈Z.由引理 2 知，等式(10)整數(shù)解僅有 (x3，y2)= ( ±2，2 )，( ±11，5).由x=8x3，y=4y2可得式(9)整數(shù)解僅有 (x，y) = (±2×8，2×4 )，( ±11×8，5×4).

假設當k=i時，式(6)結論成立，即x2+43i+1=y3(x≡ 0( m od2 )，x，y∈Z，i∈N*)，方程整數(shù)解僅有(x，y) = (±2×8i，2×4i)，( ±11×8i，5×4i).

當k=i+1時，式(5)即:

證明同(4)式，易知:

其中x=8x3，y=4y2，x3，y2∈Z.若x3≡ 1 ( m od2)時，因為3i+1≥4，由引理4知，式(12)無整數(shù)解.若x3≡0( m od2)時，由假設可知式(12)整數(shù)解僅有 (x3，y2)= (±2 ×8i，2 ×4i)，( ±11×8i，5×4i).由x=8x3，y=4y2可得，式(11)整數(shù)解僅有 (x，y) = (±2×8i+1，2×4i+1)，( ±11×8i+1，5×4i+1)，從而結論成立.

當n=3k+2時，不定方程(1)即:

此方程無整數(shù)解.

當k=1時，式(13)即:

證明同式(3)，易知:

其中x=8x3，y=4y2，x3，y2∈Z.

由引理3可知，式(15)無整數(shù)解.由x=8x3，y=4y2，從而式(14)無整數(shù)解.

假設當k=i時，式(13)結論成立，即x2+43i+2=y3(x≡ 0( m od2 )，x，y∈Z，i∈N*)，方程無整數(shù)解.

當k=i+1時，式(13)即:

證明同式(4)，易知:

其中x=8x3，y=4y2，x3，y2∈Z.

若x3≡ 1 ( m od2 )時，因為3i+2≥5，由引理4知，式(17)無整數(shù)解.若x3≡ 0( m od2)由假設可知，式(17)無整數(shù)解，由x=8x3，y=4y2，從而式(16)無整數(shù)解，結論成立.

綜合以上3種情況可知定理1成立.

［1］潘承洞，潘承彪.代數(shù)數(shù)論［M］.濟南:山東大學出版社，2003

［2］廖江東，柳楊.關于不定方程x2+16=y3［J］.四川理工學院學報:自然科學版，2007，20(2):4-5

［3］黃勇慶.關于不定方程 x2+4n=y3［J］.四川理工學院學報:自然科學版，2007，20(1):26-27

［4］趙開明.關于不定方程 x2-53=4y5［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2008，25(4):345-346