均值—?jiǎng)討B(tài)方差多階段投資組合優(yōu)化研究

張 鵬

（武漢科技大學(xué) 管理學(xué)院，武漢 430081）

1 均值—?jiǎng)討B(tài)方差多階段投資組合模型

假設(shè)有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供選擇，Rit表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率（隨機(jī)變量），其均值rit=E(Rit)，協(xié)方差矩陣為=COV(Rit,Rjt),i,j=1,2,…,n,t=1,2,…,T，Gt為半正定矩陣；rft表示第t期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率。xit表示第期初第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例，ait和vit分別表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的購(gòu)買和賣出量，表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例，i=1,2,…,n。c(ait)和c(vit))分別表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)購(gòu)買和賣出的單位交易成本，S0和St分別表示第0期和第t期財(cái)富增加的倍數(shù)。

rpt表示第t期投資組合的期望收益率，其表達(dá)式為：

金融市場(chǎng)存在各種不同的摩擦，如交易成本和交易量限制等。不同的投資者在不同的環(huán)境下其交易量具有不同的限制，而且交易成本函數(shù)也具有不同的類型。本文提出具有交易成本和交易量限制的均值—?jiǎng)討B(tài)方差多階段投資組合模型如下：

其中，S0=1，ST在終期增長(zhǎng)財(cái)富最大值和最小值之間取值，βt（βt＞0）為各期風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重因子。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以改寫為：

在模型（4）中，第一個(gè)約束條件表示第t-1和第t期末財(cái)富變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；第二個(gè)約束條件表示第i種資產(chǎn)的購(gòu)買量不能超過(guò)其它資產(chǎn)的擁有量，即投資過(guò)程不允許買空，也就是說(shuō)不能借錢購(gòu)買；第三個(gè)約束條件表示第i種資產(chǎn)的不允許賣空，即借股票賣；第四個(gè)約束條件表示不允許同時(shí)購(gòu)買和賣出同一資產(chǎn)。模型（4）的經(jīng)濟(jì)含義是指，在滿足上述四個(gè)約束條件的前提下，投資者應(yīng)如何分配各種資產(chǎn)，使投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)最小。模型（4）中的目標(biāo)函數(shù)滿足可分離性。

定理 當(dāng)存在交易成本時(shí)，模型（4）的第四個(gè)約束條件是恒成立的。

證明：要使得目標(biāo)函數(shù)βtft中方差ft最小，必須使得Ipt盡量小。當(dāng)Ipt不變時(shí)，若ait≠0和vit≠=0時(shí)，投資組合交易成本要大于ait≠0和vit=0以及ait=0和vit≠0兩種情況，則此時(shí)的xit+ait-vit變大，即方差ft變大。因此，為了使目標(biāo)函數(shù)βtft最小化，不可能出現(xiàn)ait≠0和vit≠0，即aitvit=0，也就是說(shuō)模型（4）的第四個(gè)約束條件是恒成立的，可以刪除該約束條件。即，當(dāng)存在交易成本時(shí)，同時(shí)買賣等量的同種產(chǎn)品不會(huì)增加收益，但會(huì)增加總的風(fēng)險(xiǎn)。

2 離散近似迭代法

離散近似迭代法的基本步驟[6]：

（1）計(jì)算每一階段狀態(tài)變量的最大值和最小值，將狀態(tài)變量按照從小到達(dá)離散成4等份，即形成5個(gè)值。

若m為充分小的數(shù)和M為充分大的正數(shù)，每階段狀態(tài)變量的最小值和最大值分別按照下面方法確定：將模型（4）第t階段優(yōu)化可以轉(zhuǎn)化為：

運(yùn)用線性規(guī)劃的旋轉(zhuǎn)算法[7,8,9]可以計(jì)算出模型（6）和模型（7）的最優(yōu)解，也可以計(jì)算出相應(yīng)的Ipt，即得到了Ipt的最小值bt和最大值at。則ST的最小值和最大值分別為(1+bt)和1+at)。

（2）運(yùn)用不等式組的旋轉(zhuǎn)算法求出不同狀態(tài)值所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并構(gòu)造多階段有向賦權(quán)圖。

（3）運(yùn)用極大代數(shù)方法求出多階段有向賦權(quán)圖的最短路[10,11]；若第k+1次最短路的路長(zhǎng)F(k+1)與第k次最短路路長(zhǎng)F(k)的差小于等于 ε(ε≤10-6)，則停止迭代，此時(shí)最短路路長(zhǎng)為 F(k+1)；否則。

（4）在上述最短路的基礎(chǔ)上繼續(xù)迭代。將第k+1次最短路的每階段的狀態(tài)值與該階段狀態(tài)值的最小值和最大值分別等分成2等份并轉(zhuǎn)（2）。

3 實(shí)證研究

從上證50中選擇6只權(quán)重股票，分別為S1(武鋼股份，600005)、S2(民生銀行，600016)、S3(中國(guó)聯(lián)通，600050)、S4(上海汽車，600104)、S5(中國(guó)平安 601318)、S6(方正科技，600601)，以2006年4月1日至2008年9月30日每一季度末收益率為樣本數(shù)據(jù)，如表1所示（數(shù)據(jù)來(lái)源于廣發(fā)證券至強(qiáng)版基本資料數(shù)據(jù)庫(kù)）。 假設(shè)模型（7）中的 βt=1，計(jì)算誤差 ε=10-6，買賣交易成本函數(shù)均為cit(xit)=0.008|xit|,t=1,…,3時(shí)，文中采用加權(quán)移動(dòng)平均法估計(jì)6種股票未來(lái)兩階段的收益率。當(dāng)ST分別在終期財(cái)富最大值和最小值之間取不同的值時(shí)，均值—?jiǎng)討B(tài)方差三階段投資組合的最優(yōu)投資策略分別為多少？

解：采用加權(quán)移動(dòng)平均法估計(jì)6種股票未來(lái)兩階段的收益率。運(yùn)用不等式組的旋轉(zhuǎn)算法計(jì)算出第一階段、第二階段和第三階段投資組合凈期望收益率的最大值和最小值Ip1max=0.1510，Ip1min=0.0518，Ip2max=0.1510，Ip2min=0.0484,Ip3max=0.1505，Ip3min=0.0515，則終期財(cái)富S3的最大值和最小值分別為1.5241和 1.1595。 以下計(jì)算 S3分別為 1.1595、1.2560、1.3417、1.4328和1.5125所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)投資策略：

（1）S3=1.1595

第一階段的最優(yōu)投資策略為 a11=a21=0，a31=0.7638，a41=0.0615,a51=0,a61=0.1748,vit=0

第二階段的最優(yōu)投資策略為不進(jìn)行任何買賣

第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=0,a23=0,a33=0.0020,a43=a53=a63=0，v13=v23=v33=v53=0,v43=0.008,v63=0.0013。

（2）S3=1.2560

第一階段的最優(yōu)投資策略為 a11=a21=0，a31=0.7638，a41=0.0615,a51=0,a61=0.1748,vi1=0

第二階段的最優(yōu)投資策略為不進(jìn)行任何買賣

第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=0.7469,a23=0.2059,a33=a43=0,a53=0.0472，a63=0，v13=v23=0,v33=0.7658,v43=0.0607,v53=0，v63=0.1735。

表1 6種股票3年的季度收益率 （%）

（3）S3=1.3417

第一階段的最優(yōu)投資策略為a11=a21=a31=0,a41=0.5166，a51=0，a61=0.4834,vi1=0

第二階段的最優(yōu)投資策略為a12=1，a22=a32=a42=a52=a62=0,v12=v22=v62=0,v32=0.7638,v42=0.0615,v52=0.1748

第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=a33=a63=0，a23=0.3393,a43=0.1076,a53=0.270,v13=0.7339,v23=v33=v43=v53=v63=0。

（4）S3=1.4328

第一階段的最優(yōu)投資策略為a11=1，a21=a31=a41=a51=a61=0,vi1=0

第二階段的最優(yōu)投資策略為不進(jìn)行任何買賣

第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=a33=a63=0,a23=0.3891,a43=0.5255,a53=0.0814,v13=0.9961,v23=v33=v43=v53=v63=0。

（5）S5=1.5241

第一階段的最優(yōu)投資策略為a11=1，a21=a31=a41=a51=a61=0,vi1=0

第二階段的最優(yōu)投資策略為不進(jìn)行任何買賣

第三階段的最優(yōu)投資策略為不進(jìn)行任何買賣。

依照同樣的方法，可以很快地計(jì)算出不同ST所對(duì)應(yīng)的各階段最優(yōu)投資策略。

4 結(jié)論及展望

本文綜合考慮金融市場(chǎng)的實(shí)際情況，提出具有交易成本和交易量限制的均值—?jiǎng)討B(tài)方差多階段投資組合模型，并運(yùn)用離散近似迭代求解，為求解多階段投資組合提出了一種新的思路。最后，以一個(gè)具體的算例驗(yàn)證了算法的有效性。離散近似迭代方法較好地解決了多階段投資組合的 “維數(shù)災(zāi)”問(wèn)題，還有助于求解連續(xù)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題、隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題和序貫決策問(wèn)題，具有較大的應(yīng)用前景。筆者認(rèn)為，以下兩點(diǎn)值得進(jìn)一步研究：（1）根據(jù)市場(chǎng)的實(shí)際情況，研究其它風(fēng)險(xiǎn)度量方法的多階段投資組合優(yōu)化；（2）研究終止時(shí)間不確定的多階段投資組合優(yōu)化的計(jì)算方法。

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