凸顯優(yōu)勢

顧燕紅

(深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 深圳 518060）

0 引言

本文把注意力集中在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)極值與凸函數(shù)的關(guān)系上。學(xué)生如能學(xué)習(xí)到這些內(nèi)容，將對他們以后掌握運(yùn)籌學(xué)相關(guān)內(nèi)容有不少幫助，這樣的處理在許多微積分教科書及參考書上(如[1]－[5])都還沒有出現(xiàn)。

1 問題

定義 1：把[a ,b]上連續(xù)函數(shù)在(a ,b)內(nèi)僅有一個最小點(diǎn) x0的函數(shù)記為M(x)，并且若M(x)滿足條件：(A)在[a,x0) 上單調(diào)遞減，在(x0,b]上單調(diào)遞增，則稱此函數(shù)為單谷函數(shù)，記為S(x)，如圖1所示。

能夠看出M(x) 是一種相對容易求得最小點(diǎn)的函數(shù)類。事實(shí)上，在運(yùn)籌學(xué)的規(guī)劃理論與算法研究中， 一個重要的思想就是把一些性質(zhì)不太好的函數(shù)經(jīng)過巧妙的變換，使之成為有類似于或比M(x) 有更良好特性的函數(shù)，然后再來求解最小值。

圖1 單谷函數(shù)S(x)Fig.1 Unique valley function S(x)

現(xiàn)在的問題是，如果一個 M(x)不是 S(x)，那么它會出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們將用一個實(shí)例來說明這樣一個現(xiàn)象：存在非 S(x)的 M(x)，其在 x0點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都不會單調(diào)(小于x0時單減，大于x0時單增)。此現(xiàn)象指出如果沒有條件(A)， M(x)可能無法成為一個“單谷”。那么有沒有較好的判別(A)是否成立的法則呢？

2 分析

首先來看一個函數(shù)，記為E(x)。此函數(shù)定義在[?1,1]上，這里僅描述它的[?1,0]部分，而(0,1]這一部分與[?1,0)部分關(guān)于坐標(biāo)縱軸對稱(如圖2所示)。

圖2 函數(shù)E(x)的圖形Fig.2 Figure of function E(x)

很明顯，E(x)在[1,1]?上連續(xù)，且當(dāng)00x=時，達(dá)到唯一最小值0。同時此函數(shù)在0點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都不是單調(diào)的，所以它是一個M(x)，但不是單谷函數(shù)S(x)。那么S(x)定義中的條件(A)何時會成立呢?下面是一個重要的判別準(zhǔn)則。

性質(zhì)：M(x)是S(x)的一個充分條件是M(x)為凸函數(shù)。

有趣的是，如果M(x)的定義中要求是在[a ,b]上一階連續(xù)可導(dǎo)，則上述性質(zhì)仍成立，并且也就可以構(gòu)造出類似于E(x)的例子(這是一道很好的習(xí)題)。另外，還可以和學(xué)生討論凸函數(shù)是否是連續(xù)的、可導(dǎo)的這些較難的問題，讓他們意識到函數(shù)極值與凸性之間的密切關(guān)系，這對學(xué)生以后學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)的重要分支非線性規(guī)劃是很有好處的。

3 結(jié)論

通過上節(jié)內(nèi)容的論述，我們把凸函數(shù)性質(zhì)在微積分學(xué)中強(qiáng)調(diào)了一下。鑒于對函數(shù)凸性的應(yīng)用在設(shè)計求各類非線性函數(shù)極值的算法中的重要性[6-7]，這種新的處理對學(xué)生今后學(xué)習(xí)優(yōu)化理論與算法是很有實(shí)際意義的。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).4版[M].北京:高等教育出版社, 1996.

[2]趙樹嫄.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(一) 微積分[M].北京:中國人民大學(xué)出版社, 1988.

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[4]陳傳璋, 金福臨, 朱學(xué)炎, 等.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社, 1983.

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