一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率的上下界估計(jì)

吳珞

一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率的上下界估計(jì)

吳珞

（上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，上海 201209）

Navier-Stokes方程描述了具有小速度梯度的不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在流體動(dòng)力學(xué)研究中有著重要的應(yīng)用。1966年，Ladyzhenskaya O. A. 放棄了速度梯度很小的限制，提出了幾種描述不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的修正Navier-Stokes方程。為估計(jì)整個(gè)三維空間上一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率的上下界，使用改進(jìn)的Fourier分解方法得到當(dāng)初值模衰減速率上界為；對(duì)某些初值時(shí)，解的模衰減速率下界為(t+1)?34。

修正Navier-Stokes；大時(shí)間行為；衰減率；上界；下界

0 引言

文獻(xiàn)[1]和[2]獨(dú)立研究了不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，提出了描述速度梯度較小的流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的經(jīng)典Navier-Stokes方程。1966年，文獻(xiàn)[3]和[4]放棄了流體速度梯度較小的限制，給出了幾種修正Navier-Stokes方程，其中之一形式如下

的修正Navier-Stokes方程問題。當(dāng)初值滿足一定條件，n≤3時(shí)，該問題存在整體唯一解[5-8]。

文獻(xiàn)[9]首先提出了經(jīng)典Navier-Stokes方程解的衰減估計(jì)問題。文獻(xiàn)[10]討論了小初值解的衰減估計(jì)問題。1985年和1986年，文獻(xiàn)[11-13]利用Fourier分解方法給出整個(gè)空間經(jīng)典Navier-Stokes方程解的衰減估計(jì)，證明當(dāng)初始值u∈L2∩Lq(1≤q ＜2)時(shí)，解的L2模，并且給出了解的衰減下界估計(jì)。1991年，文獻(xiàn)[14]討論了帶權(quán)空間上解的衰減下界估計(jì)。之后，有一系列這方面的研究成果出現(xiàn)，例如文獻(xiàn)[15-23]。

有關(guān)修正Navier-Stokes方程解的衰減估計(jì)問題研究不多。文獻(xiàn)[24,25]使用Fourier分解方法研究了文獻(xiàn)[3]和[4]提出的另一類修正Navier-Stokes方程解的衰減估計(jì)問題，其方程為

其中?u(τ)為?u(τ)的L2模。本文將使用Fourier分解方法研究三維空間上一類修正Navier-Stokes方程(1)～(4)解的衰減估計(jì)，將證明當(dāng)初值（1≤p＜2）時(shí)，問題(1)～(4)解的L2模，對(duì)某些初值。

本文的第1節(jié)將回顧記號(hào)、定義和結(jié)論。在第2節(jié)，我們將討論修正Navier-Stokes方程問題解的衰減上界。在第3節(jié)，我們將給出解的衰減下界估計(jì)。

在本文中，我們假設(shè)n=3且f=0。為了書寫方便，取μ0=1，μ1=1。

1 記號(hào)、定義和結(jié)論

2 解的衰減上界估計(jì)

為證明上述定理，我們給出以下兩個(gè)引理：

引理2.2[12]設(shè)，1≤p＜2，r( t)＞0，則

引理2.3設(shè)u是問題(1)～(4)的解，則

證明在(1)兩邊做Fourier變換得到

證畢。

證明定理2.1由(1)和(2)知

3 解的衰減下界估計(jì)

為了估計(jì)修正Navier-Stokes方程問題(1)～(4)解的衰減下界，我們記w=u?v=u?，則

證明證明與引理2.3相似。

成立。

證明定理3.1由(18)，使用(5)和(6)知

與證明(15)相似，我們可證：對(duì)任取r( t)＞0，

為估計(jì)(20)，我們回顧文獻(xiàn)[13]中的一個(gè)不等式

在(20)中應(yīng)用引理3.2，定理3.1，(7)和(21)，我們可推出

4 結(jié)論

當(dāng)外力f=0時(shí)，三維空間上一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率有上下界。當(dāng)初值(1≤p＜2)時(shí)，解的L2模的衰減速率上界為；對(duì)某些初值)時(shí)，解的L2模的衰減速率下界為。當(dāng)外力隨時(shí)間無限增大時(shí)有一定衰減速率，應(yīng)用本文方法易知修正Navier-Stokes方程解有相同的上下界。

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Upper and Lower Bounds of Decay Rates for a Solution of a Modified Navier-Stokes Equations

WULuo
（School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China）

The Navier-Stokes equations have many important application in fluid dynamic,which describe motion characteristics of viscous incompressible fluids for small gradients of the velocities．In 1966,Ladyzhenskaya O．A．suggested several variants of modified Navier-Stokes equations to a determinate description of the nonstationary flows of viscous incompressible fluids for large gradients of the velocities．Forestimating upper and lower bounds of decay rates for a modified Navier-Stokes equations in the whole three-dimensional space,by improving the Fourier splitting methods，the paper proves that upper bounds of decay rates of L2norm to the solution arefor initial value(1≤p＜2) and lower bounds of ones arefor some initial value

modified Navier-Stokes equations；large time behavior；decay rate；upper bounds；lower bounds

O175.2

A

1001-4543(2010)03-0173-05

2010-06-03;

2010-06-29

吳珞(1963—)，男，遼寧遼陽(yáng)人，教授，博士，主要研究領(lǐng)域?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)，電子郵件：wuluo@sspu.cn

上海市自然科學(xué)基金(No.09ZR1412800)；上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新項(xiàng)目基金(No.10ZZ131)