于簡單之中見深度

“數(shù)學(xué)廣角”是人教版教材編寫的一個(gè)亮點(diǎn)，也是一種新的嘗試。它系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過學(xué)生可以理解的簡單形式，變成生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來。在教學(xué)“植樹問題”時(shí)，特級教師劉永寬通過整合教材，將原本比較復(fù)雜的問題類型濃縮到一個(gè)簡單的情境中，有效地將數(shù)學(xué)思想巧妙地滲透于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程，從而自然地在交流中感受到數(shù)學(xué)問題和解決方法的多樣性。在劉老師的課堂上，沒有繁縟的教學(xué)手段，也鮮見學(xué)生激烈的爭論，但在師生之間看似隨意而平淡對話中，卻讓人品味出課堂活動(dòng)由淺入深、層層推進(jìn)的探究味。于簡單之中見深度，這是劉老師的課堂帶給我們的最大啟示。

【片段一】開放問題，引發(fā)個(gè)性探究

(教師直接出示:在一條長20米的小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，可以栽幾棵?)

師:同學(xué)們可以在草稿紙上畫一畫，也可以列式算一算，兩個(gè)都不需要的可以直接做。

(學(xué)生獨(dú)立嘗試并交流方法)

生1:20÷5=4，20米是路長，每隔5米種一棵，可以種幾棵要用除法計(jì)算。

生2:我不同意他的想法，種樹要頭尾都種，所以還要再加上1棵，應(yīng)該是20÷5+1=5。

師:兩種不同的想法，你們自己來判斷吧!有誰是通過畫圖來解決問題的?

(一個(gè)學(xué)生主動(dòng)上來，邊畫圖邊解釋:這樣栽一共要栽5棵)

師:你們聽明白他的講解了嗎?我們也像他一樣來種種?

(教師分步演示種樹的過程，學(xué)生集體跟著說出算理)

師:為什么一個(gè)同學(xué)是20÷5，而另一個(gè)是20÷5+1呢?20÷5=4算出的是什么?

生1:4是4段，5米是1段，20米共有4段。

生2:4是4個(gè)間隔。(教師板書:間隔)

師:什么是間隔呢?它同樹有什么關(guān)系呢?我們再來看看圖。(教師再次用課件分步演示)一棵樹對著一個(gè)間隔，到了最后一棵，還有沒有間隔?

生:沒有了，棵數(shù)必須比間隔數(shù)多1。(教師板書:棵數(shù)=間隔數(shù)+1)

師:好，剛才同學(xué)們兩頭都栽(板書:兩頭都栽)，一共栽了5棵樹。如果要栽4棵樹，可以怎樣規(guī)定?

生:那就開頭不栽，或者是結(jié)尾不栽好了。

師:怎么回事?你上來給大家講講。

生:有可能路的一邊是一堵墻，就像這樣。(學(xué)生畫出示意圖:)

師:同學(xué)們，這樣只栽一頭的情況存在嗎?間隔數(shù)和棵數(shù)又有什么關(guān)系呢?

生:這種情況是有的，如果路的一邊是房子就只能栽一頭，棵數(shù)就等于間隔數(shù)了。(教師板書:只栽一頭，棵數(shù)=間隔數(shù))

師:看來在植樹的問題上，還有這樣幾種不同的情況，仔細(xì)想想，還會(huì)出現(xiàn)什么情況?

生:兩頭都有墻。

師:那栽幾棵呢?

生:只能栽3棵。

師:是嗎?你來試試。(學(xué)生畫出示意圖:)

(師生共同總結(jié)，板書:兩頭不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1)

師:同學(xué)們，別看植樹很簡單，其實(shí)包含的知識很豐富。閉上眼睛想一想我們植樹要碰到的3種情況，當(dāng)兩頭都要栽的時(shí)候，怎樣求棵數(shù)?只栽一頭的時(shí)候，怎樣求?兩頭都不栽又怎樣求?

【賞析】對于“植樹問題”這個(gè)學(xué)生看似熟悉卻又缺乏系統(tǒng)認(rèn)識的內(nèi)容，劉老師并沒有按照教材的安排將知識點(diǎn)分例題進(jìn)行教學(xué)，而是從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，以一個(gè)開放的問題導(dǎo)入，激發(fā)其自主探究。學(xué)生通過畫圖、列算式等形式展現(xiàn)了自己對問題的個(gè)性化理解，課堂自然地產(chǎn)生了教材中預(yù)設(shè)的3種情況?；趯W(xué)生的這些研究素材，劉老師抓住主要問題，將原本分散的知識有機(jī)地組合成一個(gè)整體，引導(dǎo)大家通過討論自主地發(fā)現(xiàn)了各種情況之間的聯(lián)系和區(qū)別，讓他們在簡單的問題解決過程中感受到了由于基本條件變化而產(chǎn)生的問題多樣性。

【片段二】鞏固應(yīng)用，拓展新知認(rèn)識

(教師出示第一組習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立完成:1.園林工人沿1 000米的公路一側(cè)植樹(兩端要栽)，每隔10米種一棵，一共需要多少棵樹苗?2.同學(xué)們在全長80米的小路一邊植樹(一端不栽)，每隔4米栽1棵，一共要多少棵樹苗?3.在長200米的路的一側(cè)插彩旗，每隔10米插一面，兩端都不插，一共可以插幾面?)

師:解答完這3道題后，你有什么疑問嗎?

生:沒有。

師:你們沒有問題，老師倒想問問你們，前兩題是植樹的，可以用植樹問題的方法來解決，第三題是插彩旗，為什么也能用上植樹問題的思路?

生:因?yàn)椴宀势旌椭矘涫且换厥?，方法是一樣的?/p>

師:真不錯(cuò)，你們能從植樹問題聯(lián)想到別的問題。在生活里有沒有這樣的植樹問題呢?

生1:馬路上安裝路燈就是每隔一段距離裝一盞的。

生2:我們做體操排隊(duì)也是一樣的。

生3:還有我們教室走廊里的花也是一盆一盆之間有間隔的。

……

師:是啊，一面彩旗可以看做一棵樹，一盞路燈可以看做一棵樹，一個(gè)學(xué)生可以看做一棵樹，一盆花可以看做一棵樹……這些問題其實(shí)都同植樹問題一樣。接下來我們再應(yīng)用植樹問題的方法來解決更多的問題。

【賞析】劉老師巧妙地通過問“第三題是插彩旗，為什么也能用上植樹問題的思路”，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行反思。學(xué)生自覺地將植樹問題與現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際情景聯(lián)系起來，嘗試運(yùn)用生活實(shí)例來詮釋所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，感悟了不同問題之間的本質(zhì)聯(lián)系，理解了同一類問題其實(shí)是可以用同一種方法來解決的道理。通過這樣來學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生在大腦里有效地構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型。

【片段三】變式練習(xí)，促進(jìn)思維發(fā)展

(教師出示第二組習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立完成:1.在一段40米路的兩側(cè)掛著燈籠，每隔4米掛一盞，兩頭都掛，一共掛了多少盞?2.大象館與猩猩館相距60米，綠化隊(duì)要在兩館之間的小路一旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3米，一共要栽幾棵樹?3.在100米的跑道上排隊(duì)，同學(xué)們每隔2米站一個(gè)人，一共可以站幾個(gè)人?)

師:現(xiàn)在我們一題一題地來匯報(bào)，同學(xué)們怎樣解決第一題的?

生1:40÷4+1=11。

生2:( 40÷4+1)×2=22。

師:兩種答案，請你們認(rèn)真思考，自己該同意誰的，為什么?

生:我同意第二種，因?yàn)轭}目里是說路的兩側(cè)掛著燈籠。

師:采用方法1的同學(xué)，你聽清楚他的意思了嗎?

生:我明白了，剛才我沒仔細(xì)看，沒有注意到題目要求兩側(cè)都掛。

師:看來認(rèn)真審題很重要哇!再來看第二題。

生1:60÷3-1。

生2:60÷3+1。

師:看來又出現(xiàn)了兩種情況，以同桌為一個(gè)小組商量一下吧。

生:我們同意第一種，因?yàn)槲覀兛梢园汛笙箴^和猩猩館想象成兩堵墻，那么就是兩頭都不種，樹的棵數(shù)應(yīng)該等于間隔數(shù)減1。

師:是啊，有時(shí)題目中不會(huì)很明顯地告訴你要求，需要你自己去仔細(xì)思考。好，那第三題呢?

生1:100÷2+1。

生2:100÷2。

生3:100÷2-1。

師:怎么會(huì)有三種算法呢?我們先討論一下每種方法是否可行，如果可行，那么實(shí)際排隊(duì)是怎樣排的?

生1:我們排隊(duì)時(shí)首尾都要站人，那么人數(shù)要比間隔數(shù)多1人，所以是100÷2+1。

生2:我們組認(rèn)為題目沒有說清楚到底是怎樣排隊(duì)，所以三種情況都有可能，第二種是只站一頭，第三種是首尾都不站。

生3:我也同意他的觀點(diǎn)，不過，我還有個(gè)想法，跑道不一定是直的，如果是環(huán)形跑道，那怎么辦?

師:這個(gè)問題提得非常好，環(huán)形跑道同直線跑道是不一樣的，它和我們前面遇到的在一條直路上植樹的情況有什么區(qū)別呢?由于時(shí)間的緣故，今天我們主要研究在直線上栽樹的問題，這個(gè)曲線上植樹的問題就留給大家自己到課后去研究吧。

【賞析】在練習(xí)環(huán)節(jié)，盡管劉老師采用的仍是傳統(tǒng)的練習(xí)策略，但他卻在“植樹問題”三種基本模式的變化運(yùn)用中做足了文章:通過改變問題情境、抽掉相關(guān)信息、模糊處理素材等手段提高了習(xí)題設(shè)計(jì)的思維含量，讓原本單一的解決問題成為發(fā)展學(xué)生思維嚴(yán)密性、靈活性和開放性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。通過這組練習(xí)，全班學(xué)生既鞏固了基礎(chǔ)知識和基本技能，達(dá)到了必需的學(xué)習(xí)要求，不同層次的學(xué)生又有了新的學(xué)習(xí)目標(biāo)，這樣引導(dǎo)學(xué)生嘗試自主地研究新問題，逐步從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”。(作者單位:浙江省寧波市廣濟(jì)中心小學(xué))

□責(zé)任編輯 鄧園生

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