基于傳染病疫情防控機理的應急物資需求分析＊

辜 勇

（武漢理工大學物流工程學院 武漢 430063）

0 引 言

突發(fā)事件的救援救助活動需要大量應急物資，應急物資管理已成為應急管理的重要組成部分.對應急物資管理的研究主要集中在需求分析［1－2］、儲備規(guī)劃［3－4］和運輸調(diào)度［5－6］等方面.

重大傳染病疫情是一類典型的公共衛(wèi)生事件，傳染病疫情發(fā)生后所需求的應急物資主要是疫苗、治療藥品等醫(yī)療物資，目前針對傳染病疫情的應急需求分析研究較少.盧書成等［7］提出了3類傳染病擴散模型，通過描述傳染病傳播過程，得到感染人群的變化規(guī)律；周效良［8］對一類傳染病擴散模型進行研究，得到了全局漸進穩(wěn)定解的充分條件；Xu Jingjing［9］研究了具有多個疫區(qū)和多個應急配送中心的疫苗配送最優(yōu)方案，用SIQR模型來描述傳染病的擴散規(guī)律，在對各疫區(qū)進行聚類的基礎(chǔ)上建立了動態(tài)的疫苗配送模型.

由于傳染病疫情的擴散性引起應急物資需求的持續(xù)變化，因此合理估計疫情變化是需求分析的關(guān)鍵，將該問題視為一個多階段狀態(tài)變化問題，通過分析病人狀態(tài)變化得到應急醫(yī)療物資的需求.

1 需求分析模型

1.1 假設及符號說明

令應急開始時間為t＝0，結(jié)束時間t＝l；x（t）為在t時刻到達的應急物資數(shù)量；令1個感染疫情的病人需要1個單位的應急物資（如治療藥品等）.

疫情防控部門對重大傳染疾病會采取隔離措施，令γ（t）為t時刻疫情防控部門對前一時刻（t－1）未隔離的感染病人進行隔離的比例，顯然γ（0）＝0，隨著疾病的傳播，社會公眾的對疾病認知度和疫情防控部門的工作力度逐步提升，隔離的比例會逐漸提高到接近1的數(shù)值；病人的狀態(tài)及數(shù)量變化如圖1所示.

令r（t）為t時刻感染疫情但未被隔離的病人數(shù)量，則r（0）表示被感染的初始病人數(shù).

沒有被隔離的病人會通過接觸健康人群傳染疾病，假設單位時間每個病人平均傳染人數(shù)為μ；被隔離的病人不會傳染疾病，而且只有被隔離的病人能夠接受救治；如果在發(fā)病期間未及時得到應急物資進行治療，病人會死亡，假設病人從感染發(fā)病到死亡的時間為φ.

圖1 重大傳染病疫情的病人狀態(tài)變化示意圖

記a（t）為在t時刻新增感染病人數(shù)量，顯然a（0）＝0，則

為區(qū)分未隔離病人的染病時間，記b（t）t為在t時刻未隔離病人中保持原有狀態(tài)（不是在t時刻死亡、也不是t時刻的新增病例）的病人數(shù)量，上標表示其染病時間，則在k時刻有φ批病人，包括 b（k）k、b（k）k－1，…，b（k）k－φ＋1，其 中：b（k）k－1，…，b（k）k－φ＋1是從k－1時刻繼承下來的，即b（k）k－1＝b（k－1）k－1，并且向k＋1時刻累積，即

記c（t）為在t時刻未隔離病人中死亡的人數(shù)，b（k）k－φ＋1在k＋1時刻成為死亡人數(shù)，即

可以看出在k時刻死亡的病人一定來自于k－φ時刻的新增感染病人.

在這種繼承和累積的過程中，處于保持狀態(tài)的病人數(shù)量會發(fā)生變化，因為該群體是采取隔離措施的對象；在k時刻對a（k－1）和b（k）k－1，…，b（k）k－φ＋1的那些病人群體采取隔離措施有3種策略，悲觀策略下認為被隔離病人首先來自于a（k－1），然后依次從b（k）k－1，…，b（k）k－φ＋1選取被隔離病人；中立策略下認為按隔離比例分別從a（k－1）和b（k）k－1，…，b（k）k－φ＋1選取被隔離的病人；樂觀策略下認為按順序優(yōu)先從b（k）k－φ＋1，…，b（k）k－1，a（k－1）選取被隔離的病人；因為應急管理要作最壞的打算，選擇悲觀策略進行分析，實際上在后面的計算中發(fā)現(xiàn)悲觀策略會導致物資需求的增加.記e（k）k為k時刻被隔離病人中由于藥品不足而等待的人數(shù)，顯然在k時刻被隔離的等待病人有φ 批，數(shù)量分別為e（k）k，e（k）k－1，…，e（k）k－φ＋1.e（k）k為k時刻被隔離人數(shù)，即e（k）k＝r（k）·γ（k），e（k）k－1，…，e（k）k－φ＋1為k－1時刻累積到k時刻的，悲觀策略下，

根據(jù)r（t）的定義，則

應急救治藥品到達時，首先提供給染病時間最早的病人進行救治，也就是從上標最小的e（k）k－φ＋1開始依次分配物資，直至全部滿足需求.

k時刻治愈病人數(shù)量取決于當期到達的物資數(shù)量和等待藥品的病人數(shù)量，記d（t）為在t時刻被隔離病人中治愈的人數(shù)，即

若k時刻到達的應急物資數(shù)量不能完全滿足等待病人需求，等待病人數(shù)量累積到k＋1時刻，e（k）k變?yōu)閑（k＋1）k，e（k）k－1變?yōu)閑（k＋1）k－1，以此類推.

如果k時刻到達的應急物資數(shù)量不能滿足e（k－1）k－φ的需求，會導致病人死亡，記f（t）為在t時刻被隔離病人中死亡的人數(shù)，即

為避免隔離病人出現(xiàn)死亡，每階段到達的應急物資應能夠治療將在下一階段死亡的病人，令q（t）表示t時刻應急物資需求數(shù)量的最小值，則

1.2 計算過程

綜上所述，計算k時刻模型各參量步驟如下.

步驟1 計算需隔離病人數(shù)量和未隔離病人中的死亡人數(shù).

步驟2 計算e（k）k和b（k）k.

步驟3 當r（k）×γ（k）≤a（k－1）時，

當r（k）×γ（k）＞a（k－1）時，按悲觀策略分配隔離病人，

步驟4 需求分析時，暫時不考慮有應急物資到達，即d（k）＝0，f（k）＝e（k－1）k－φ.

步驟5 計算新增病人數(shù).a（k）＝［b（k）k＋b（k）k－1＋b（k）k－2＋…＋b（k）k－φ＋1］·μ

2 求解算例

以μ＝10，φ＝2，r（0）＝2為例計算傳染病疫情的擴散及在不提供應急藥品情況下的死亡病例，其他給定條件及計算結(jié)果見表1.由于φ＝2，表1中未隔離病人保持數(shù)量分為本期保持和上期保持，隔離病人中分為本期等待和上期等待；表1中最后一列數(shù)據(jù)即每期的應急需求q（k）.

t＝0時，初始病人數(shù)2，隔離比例為0，新增病人20，保持原狀態(tài)病人2.

t＝1時，需隔離病人＝上期未隔離病人保持人數(shù)2＋上期新增病人數(shù)20＝22，隔離比例為0.5，隔離病人中本期等待人數(shù)＝22×0.5＝11，本期未隔離病人中的本期保持人數(shù)＝max（0，上期新增病人數(shù)量20－本期隔離病人數(shù)11）＝9，本期未隔離病人中的上期保持人數(shù)＝min（上期未隔離病人中的本期保持數(shù)量2，本期需隔離病人數(shù)22－隔離病人中本期等待人數(shù)11）＝2，新增病人數(shù)＝本期未隔離病人數(shù)（9＋2）×10＝110.

t＝2時，未隔離病人死亡人數(shù)＝上期未隔離病人中的上期保持病人數(shù)2，需隔離病人＝上期未隔離病人本期保持人數(shù)9＋上期新增病人數(shù)110＝119，隔離比例為0.8，隔離病人中本期等待人數(shù)＝119×0.8＝95，本期未隔離病人中的本期保持人數(shù)＝max（0，上期新增病人數(shù)量110－本期隔離病人數(shù)95）＝15，本期未隔離病人中的上期保持人數(shù)＝min（上期未隔離病人中的本期保持數(shù)量9，本期需隔離病人數(shù)119－隔離病人中本期等待人數(shù)95）＝9，新增病人數(shù)＝本期未隔離病人數(shù)（15＋9）×10＝240，隔離病人中的上期等待人數(shù)＝上期隔離病人中的本期等待人數(shù)11.

t＝3時，未隔離病人死亡人數(shù)＝上期未隔離病人中的上期保持病人數(shù)9，需隔離病人＝上期未隔離病人本期保持人數(shù)15＋上期新增病人數(shù)240＝255，隔離比例為0.9，隔離病人中本期等待人數(shù)＝255×0.9＝229，本期未隔離病人中的本期保持人數(shù)＝max（0，上期新增病人數(shù)量240－本期隔離病人數(shù)229）＝11，本期未隔離病人中的上期保持人數(shù)＝min（上期未隔離病人中的本期保持數(shù)量15，本期需隔離病人數(shù)255－隔離病人中本期等待人數(shù)229）＝15，新增病人數(shù)＝本期未隔離病人數(shù)（15＋9）×10＝260，隔離病人死亡人數(shù)＝上期隔離病人中的上期等待人數(shù)11，隔離病人中的上期等待人數(shù)＝上期隔離病人中的本期等待人數(shù)95.

依次計算t＝4，5，6，…，直至沒有新增病人、也沒有死亡病人時結(jié)束.

表1 傳染病疫情擴散時病人數(shù)量變化的計算示例

觀察表1發(fā)現(xiàn)初始病人只有2人的情況下，通過每單位時間（天）傳播10人，即使在有隔離防控措施下，可造成感染病人數(shù)量達880人，若沒有治療藥品會造成839人死亡；表2列出了在其他條件不變的情況下，γ（t）取值改為｛0，0.4，0.7，0.85，0.9，0.95，0.96，0.97，0.98，0.99，0.99，1，1｝時的計算結(jié)果；表3列出了在其他條件不變的情況下，μ改為12時的計算結(jié)果.

表2 γ（t）變化時的計算結(jié)果

對比表1～3發(fā)現(xiàn)，衡量隔離措施效果的參數(shù)γ（t）和描述疫情傳播擴散狀態(tài)的參數(shù)μ的取值較小變化，對計算結(jié)果有很大影響，如表2中，γ（t）的取值比表1稍小，導致新增傳染病人和死亡病例分別增加到2 860人和2 724人；表3中，μ增加2個單位，也導致新增傳染病人和死亡病例成倍增長，達到1 740人、1 671人.

3 結(jié) 束 語

在應對傳染病疫情這一類突發(fā)公共衛(wèi)生事件時，要合理估計應急醫(yī)療物資需求，通過描述傳染病疫情變化擴散的態(tài)勢，建立了應急醫(yī)療物資需求模型.求解算例顯示，通過設定2個參數(shù)γ（t）和μ，可以得出病人狀態(tài)變化趨勢，為應急醫(yī)療物資的調(diào)度提供依據(jù).

表3 μ變化時的計算結(jié)果

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