基于灰色馬爾可夫鏈模型的航空貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究＊

文 軍

（中國民用航空飛行學(xué)院 航空運(yùn)輸管理學(xué)院 廣漢 618307）

0 引 言

航空貨物運(yùn)輸是一個(gè)復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，受到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然等多種因素的綜合影響［1－2］.例如，航空貨運(yùn)量與固定資產(chǎn)投資、飛機(jī)的使用率、航空運(yùn)輸生產(chǎn)組織、季節(jié)更替、其他運(yùn)輸方式的存在等因素都有關(guān)系，而每一因素的影響程度難以清晰地描述，各因素都具有似透明似不透明的特征.因此，為了能夠更清晰地認(rèn)識(shí)它、研究它，把航空貨物運(yùn)輸系統(tǒng)抽象為沒有物理原型、因素空間難以窮盡、行為軌跡無法控制、信息不完全的灰色系統(tǒng)，據(jù)此可以進(jìn)行灰色模型GM（1，1）預(yù)測(cè)的研究.同時(shí)航空貨運(yùn)量又具有顯著的無后效性（即一年的貨運(yùn)量對(duì)下一年度沒有直接影響），而這正符合馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法的基本前提.本文結(jié)合灰色模型和馬爾可夫鏈理論的優(yōu)點(diǎn)，用灰色預(yù)測(cè)來揭示航空貨運(yùn)量時(shí)序變化的總體趨勢(shì)，用馬爾可夫預(yù)測(cè)來確定狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，得到航空貨運(yùn)量更精確的預(yù)測(cè)結(jié)論.

1 航空貨運(yùn)量灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型

灰色系統(tǒng)理論，經(jīng)過20多年的發(fā)展，已形成了以系統(tǒng)分析、信息處理、建模預(yù)測(cè)、決策控制為主要內(nèi)容的理論體系，廣泛應(yīng)用于工程控制、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域［3－5］.由于中國航空貨運(yùn)市場(chǎng)的復(fù)雜多變，許多影響因素都是灰色的，因而采用灰色系統(tǒng)理論將更加符合航空貨運(yùn)市場(chǎng)的客觀狀況.此外灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型具有所需信息較少，計(jì)算簡便，精度較高等特點(diǎn)，不必羅列影響其考察對(duì)象的因素?cái)?shù)據(jù)，而是從自身時(shí)間數(shù)據(jù)序列中尋找有用信息，探究其內(nèi)在規(guī)律，建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，因此灰色GM（1，1）模型是預(yù)測(cè)航空貨運(yùn)量的理想模型.航空貨運(yùn)量的灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型建立的基本步驟如下.

1.1 數(shù)據(jù)處理

將各歷史年度的航空貨運(yùn)量構(gòu)成原始序列數(shù)據(jù)x（0）

然后對(duì)各年度的原始數(shù)據(jù)逐年累加，生成一組新的時(shí)間序列數(shù)據(jù)x（1）

1.2 用微分方程擬合數(shù)據(jù)序列u（1），并計(jì)算出預(yù)測(cè)的累加值

建立一階單變量的微分方程預(yù)測(cè)模型SCGM（1，1）C，其微分方程的形式為

式中：a，u為待識(shí)別的灰色參數(shù).式（1）表示一個(gè)單變量x對(duì)時(shí)間t的一階微分方程是連續(xù)的.其離散形式為

式中：

1.3 預(yù)測(cè)值的還原

要得到真正的預(yù)測(cè)結(jié)果，還需要對(duì)預(yù)測(cè)累加值進(jìn)行還原處理，即對(duì)（4）式得到的模型計(jì)算值進(jìn)行如下的累減

由于該模型尚未考慮各種影響因素導(dǎo)致的隨機(jī)變化，因此用于預(yù)測(cè)還不夠完善.

2 馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的確定

航空貨運(yùn)量灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)的實(shí)質(zhì)是以指數(shù)型曲線去擬合原始數(shù)據(jù)，其預(yù)測(cè)結(jié)果幾何圖形是一條較為平滑的曲線，因而對(duì)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)序列擬合較差，預(yù)測(cè)精度較低.航空系統(tǒng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的時(shí)變系統(tǒng)，航空貨運(yùn)量作為灰色系統(tǒng)的一個(gè)行為特征量，其變化趨勢(shì)呈現(xiàn)出了非平穩(wěn)隨機(jī)過程的特性，單獨(dú)采用灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型會(huì)使得預(yù)測(cè)結(jié)果精度較差，甚至可能增大誤差.但由于馬爾可夫理論具有“系統(tǒng)將來狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，而與過去狀態(tài)無關(guān)”的性質(zhì)，并且馬爾可夫預(yù)測(cè)是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來發(fā)展，轉(zhuǎn)移概率反映了各種隨機(jī)因素的影響程度，反映了各狀態(tài)之間的內(nèi)在規(guī)律性［6－8］.因此，可以采用馬爾可夫理論和方法去解決數(shù)據(jù)隨機(jī)波動(dòng)性較大的問題，提高預(yù)測(cè)精度.

2.1 狀態(tài)劃分

航空貨運(yùn)量的年度變化過程是一個(gè)隨機(jī)的呈上升或下降趨勢(shì)的非平穩(wěn)隨機(jī)過程，不同年度狀態(tài)的邊界和內(nèi)涵應(yīng)是變化的，為此應(yīng)考慮一個(gè)具有適應(yīng)性的狀態(tài)劃分準(zhǔn)則，這個(gè)準(zhǔn)則應(yīng)與航空貨運(yùn)量的基本時(shí)序變化趨勢(shì)一致.因此，對(duì)于航空貨運(yùn)量變化符合馬爾可夫鏈特點(diǎn)的非平穩(wěn)隨機(jī)序列Y（k），將其狀態(tài)劃分為m個(gè)狀態(tài)，任一個(gè)狀態(tài)表示為

式中：Ei為第i種狀態(tài)；δ1i和δ2i分別為第i種狀態(tài)的上下界.由于Y（k）是時(shí)間的函數(shù)，因此灰元δ1i和δ2i也隨時(shí)間變化，即狀態(tài)具有動(dòng)態(tài)性.

在劃分狀態(tài)時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況的不同，劃分不同的區(qū)間個(gè)數(shù).一般來說，原始數(shù)據(jù)較少時(shí)，劃分區(qū)間宜少，以便增多各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移次數(shù)，從而更加客觀地反映各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律；原始數(shù)據(jù)較多時(shí)，區(qū)間也不妨劃分多一些，以便從資料中挖掘更多的信息，提高預(yù)測(cè)精度.

2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣構(gòu)建

由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej的原始樣本數(shù)記為Mij（k），狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)記為Mi，則由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

那么，得M×M階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

2.3 計(jì)算待預(yù)測(cè)年度的預(yù)測(cè)修正值

采用預(yù)測(cè)出的待測(cè)年份所處狀態(tài)的兩個(gè)邊界值，運(yùn)用以下公式就可以計(jì)算出待預(yù)測(cè)年度的預(yù)測(cè)修正值.

式中：δ1和δ2分別為預(yù)測(cè)出的待測(cè)年份偏差所處狀態(tài)的上、下邊界值.

3 實(shí)例分析

3.1 航空貨運(yùn)量的GM（1，1）預(yù)測(cè)

在灰色預(yù)測(cè)GM（1，1）中，所選取的原始數(shù)據(jù)為14年的數(shù)據(jù)如表1所列.

表1 1995～2008年航空貨運(yùn)量

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，可以得到

可以得到我國航空貨運(yùn)量的灰色預(yù)測(cè)式為

可以根據(jù)灰色預(yù)測(cè)式計(jì)算出1995～2008年度的預(yù)測(cè)值，擬合結(jié)果驗(yàn)證如表2所列，可以看出灰色預(yù)測(cè)模型的結(jié)果可以接受，平均誤差為4.49%.下面對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)GM（1，1）結(jié)果進(jìn)行馬爾可夫鏈改進(jìn).

表2 1996～2008年GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)照

3.2 馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移矩陣的獲得

根據(jù)馬爾可夫鏈分析方法的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際情況，按照年航空貨運(yùn)量的增幅與灰色預(yù)測(cè)結(jié)論的比較，可以劃分為5種狀態(tài)：（1）狀態(tài)1，殘差幅度小于－10%，表示預(yù)測(cè)極度低估狀態(tài).此狀態(tài)在運(yùn)量預(yù)測(cè)結(jié)果中沒有出現(xiàn)；（2）狀態(tài)2，殘差幅度介于－10%～－3%之間，表示預(yù)測(cè)低估狀態(tài)，可以理解為中國航空貨運(yùn)處于困難狀態(tài).在運(yùn)量預(yù)測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)5次；（3）狀態(tài)3，殘差幅度介于－3%～3%之間，表示預(yù)測(cè)合理狀態(tài).在運(yùn)量預(yù)測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)4次；（4）狀態(tài)4，殘差幅度介于3～10%之間，表示預(yù)測(cè)高估狀況，可以理解為中國航空貨運(yùn)處于興旺狀態(tài).在運(yùn)量預(yù)測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)4次；（5）狀態(tài)5，殘差幅度大于10%，表示預(yù)測(cè)極度高估狀態(tài).此狀態(tài)在運(yùn)量預(yù)測(cè)結(jié)果中沒有出現(xiàn).

從上面分析中可得貨運(yùn)量預(yù)測(cè)結(jié)果狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，如表3所列.

表3 航空貨運(yùn)量灰色預(yù)測(cè)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移

根據(jù)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)原理，得到原始數(shù)據(jù)之后5年（2009～2013年）的預(yù)測(cè)狀態(tài)向量如表4.

表4 航空貨運(yùn)量灰色預(yù)測(cè)結(jié)果馬爾可夫鏈狀態(tài)向量

3.3 GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果的馬爾可夫鏈改進(jìn)

根據(jù)以上分析，可以對(duì)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行馬爾可夫鏈改進(jìn)結(jié)果由表5所示.

從以上灰色馬爾可夫鏈改進(jìn)方法的實(shí)證計(jì)算中可以看出，在未來的5年中我國航空貨運(yùn)量將逐漸上升，預(yù)測(cè)年度的狀態(tài)均為高估狀態(tài)，即實(shí)際發(fā)生值會(huì)高于由灰色模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，最大的可能概 率 分 別 為 66.67%，44.45%，36.30%，34.64%，34.79%.這說明，預(yù)測(cè)年份中國航空貨運(yùn)市場(chǎng)相對(duì)于正常的動(dòng)態(tài)GM發(fā)展曲線而言處于興旺狀態(tài)，即位于曲線的上方.但與此同時(shí)，這種興旺狀況的概率呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，而低估狀態(tài)（困難狀況）的可能概率由2009年的0%逐漸上升為2013年的29.75%.因此，未來5年我國航空貨運(yùn)市場(chǎng)的預(yù)測(cè)趨勢(shì)是：總體以最大概率的興旺狀態(tài)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，并且市場(chǎng)景氣程度由興旺狀態(tài)逐漸向困難狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變.

4 結(jié) 束 語

影響航空貨運(yùn)量的因素非常多，其中許多因素滿足灰色系統(tǒng)要求，且數(shù)據(jù)多為時(shí)間序列，可以采用灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行運(yùn)量預(yù)測(cè)，符合航空貨運(yùn)市場(chǎng)的客觀狀況，但是從預(yù)測(cè)結(jié)果，灰色模型受原始數(shù)據(jù)變化幅度的影響較大，預(yù)測(cè)的結(jié)果看預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度并不太高.而由于原始數(shù)據(jù)具有無后效性的特點(diǎn)，可以通過馬爾可夫鏈修正灰色預(yù)測(cè)模型的結(jié)果，使預(yù)測(cè)結(jié)果得到較大改善.因此確定了灰色馬爾科夫鏈方法的研究思路，將GM（1，1）模型擬合與預(yù)測(cè)值的合理表達(dá)有機(jī)地結(jié)合在一起，不但能夠得到預(yù)測(cè)年份的航空貨運(yùn)量，而且還可以知道貨運(yùn)量產(chǎn)生的概率情況.由GM（1，1）預(yù)測(cè)值及馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移下的最大概率可知航空貨運(yùn)量的發(fā)展趨，說明了灰色－馬爾可夫鏈法對(duì)航空貨運(yùn)量預(yù)測(cè)的科學(xué)合理性，這有助于決策者的決策行為.

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