一類差分方程的振動性研究

王劍杰 (山西財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原030006)

在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟研究中,差分方程是一個有力的數(shù)學(xué)工具。研究差分方程可以在分析經(jīng)濟走勢時,將突發(fā)事件的影響也考慮其中,克服了微分方程描述客觀經(jīng)濟走勢中無法計入離散情況的不利,使得離散的情況也可以進行定性的分析。下面,筆者研究了一類具有連續(xù)變量的時滯差分方程:

獲得了方程(1)所有解振動的判據(jù)。其中,離散化部分推廣了文獻[1～6]中的結(jié)果。

定理 1 設(shè) σi=kiτ+θi,θi ∈ [0,τ),ki為正整數(shù) ,如果 :

且:

則方程(1)的每個解振動。

證明 若不然,則方程(1)有非振動解。不妨設(shè)方程(1)存在最終正解z(t)則必存在t1＞t0,使t≥t1時,z(t-σi)＞0,i=1,2,…,m,令式(1)兩端從 t-τ到t積分,得:

故在[t-τ,t]上tanh Pi(s)有最小值又由u′(t)≤0知u(t)單調(diào)不增,從而有u(t-σi)≥u(t-kiτ),則:

由條件(2)知存在一個充分小的ε∈(0,α0)和充分大的t,使得tanh Pj(s+iτ)≥α0-ε=α。故對任意的正整數(shù)n,則當(dāng)t≥t2時,有。從而對某個t≥t2,必存在一個正整數(shù)nt∈ [n-k+2,n],使:

將式(6)分別從 nt到n,和 n到nt+k-2求和,再利用:

和式(7)可得到:

定義正實數(shù)序列{βm}:

由文獻[3]知:

故有:

由n-k+2≤nt≤n,有:

結(jié)合式(8)得:

重復(fù)上面的步驟,有:

對式(6)兩邊從1到k求和,并利用u(t+(1-k)τ)≥u(t+(2-k)τ)≥… ≥u(t),可得到:

又u(t)＞0,故:

令m →∞,t→∞,又ε→0時,α→α0,則有:

這與條件(3)矛盾,定理1得證。

[1]張玉珠,燕居讓.具有連續(xù)變量的差分方程振動性的判據(jù) [J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1995,38(3):406～411.

[2]周 勇.具有連續(xù)變量的變系數(shù)差分方程的振動性 [J].經(jīng)濟數(shù)學(xué),1996,13(1):86～89.

[3]戴斌祥.具有連續(xù)變量的差分方程的振動性 [J].經(jīng)濟數(shù)學(xué),1997,14(1):64～68.

[4]張友生,庾建設(shè).具連續(xù)變量的線性時滯差分方程的振動性[J].高校應(yīng)用學(xué)報A輯,2000,15(1):25～33.

[5]Zhang BG.Oscillations of a class of difference equations w ith continuous argumen ts[J].Applied M athematics Letters,2001,14:557～561.

[6]Shen Jianhua,Tang Xianhua.New nonoscillation criteria for delay differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,290:1～9.