一元二次方程概念教學(xué)的嘗試與啟發(fā)

■黃玉華

一元二次方程概念教學(xué)的嘗試與啟發(fā)

■黃玉華

數(shù)學(xué)概念是人們通過(guò)實(shí)踐，從數(shù)學(xué)研究對(duì)象的眾多屬性中經(jīng)高度概括抽象出的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，這是數(shù)學(xué)概念難教、難學(xué)的原因之一。教學(xué)時(shí)只有根據(jù)概念的特點(diǎn)和課標(biāo)的要求,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，靈活采用教學(xué)方法，才能創(chuàng)造出課堂的精彩。下面結(jié)合一元二次方程概念的教學(xué)，我談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)方面一點(diǎn)嘗試和啟發(fā)。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)想

復(fù)習(xí)一元一次方程和二元一次方程，由學(xué)生說(shuō)出一元一次方程和二元一次方程概念及方程的特點(diǎn)，讓學(xué)生領(lǐng)悟整式方程中的“元”和“次”的意義。類比一元一次方程概念讓學(xué)生大膽猜想一元二次方程的概念，然后一步一步地完善概念，建構(gòu)自己的知識(shí)體系。

二、教學(xué)過(guò)程

師：什么叫方程？我們以前研究過(guò)哪些種類的方程？它們有怎樣的特點(diǎn)？試舉例。

生1：含有未知數(shù)的等式叫方程，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程和二元一次方程，還有分式方程。一元一次方程的特點(diǎn)是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程，如2x+1=0；二元一次方程的特點(diǎn)是含有兩個(gè)未知數(shù)并且所含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程，如3x-2y=5；分式方程的特點(diǎn)是分母中含有未知數(shù)，如。

師：（一邊板書(shū)課題，一邊提問(wèn)）今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)一種新的整式方程—一元二次方程，你能類比一元一次方程、二元一次方程的概念猜想出一元二次方程的概念嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

生2：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，如。

師：（一邊板書(shū)一元二次方程的概念，一邊提問(wèn)）一元二次方程與以前所學(xué)的一元一次方程有何異同？

生3：不同點(diǎn)是一元二次方程所含未知數(shù)的最高次數(shù)2，而一元一次方程所含未知數(shù)的最高次數(shù)1，相同點(diǎn)是都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且都是整式方程。

師：請(qǐng)小組內(nèi)每人寫(xiě)一個(gè)一元二次方程，相互交流，比哪一小組的形式多樣？（教師巡視）

小組1：①2x2=1，②x2+2x=0，③3x2+2x-1=4，④x2=0，⑤（x-1）2=2。

師：請(qǐng)同學(xué)們把這些方程變形，使等號(hào)右邊變成0，左邊按照未知數(shù)的次數(shù)由高到低順序排列。你們能發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程有什么共同特點(diǎn)，有什么不同特點(diǎn)？你能用字母系數(shù)來(lái)表示出一元二次方程嗎？思考后寫(xiě)出來(lái)，小組交流。

小組2：我們發(fā)現(xiàn)變形后的這些一元二次方程左邊第一項(xiàng)都含未知數(shù)的二次項(xiàng)，但有的方程缺一次項(xiàng)，如方程①；有的方程缺常數(shù)項(xiàng)，如方程②；有的方程既缺一次項(xiàng)，又缺常數(shù)項(xiàng)，如方程④。我們這一小組用字母系數(shù)來(lái)表示出的一元二次方程的形式是mx2+nx+p=0。

師：這里的字母系數(shù)m、n、p能取任意實(shí)數(shù)嗎？為什么？

生3：m≠0，否則未知數(shù)的最高次數(shù)就不是2次了,方程也就不是一元二次方程了。

師：n和p呢？

生4：n、p可以任意取。

師：（板書(shū)）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式：．這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。

三、教學(xué)啟發(fā)

1.猜想是讓學(xué)生形成概念的重要思維方法

引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪胱鳛閿?shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力。因此，在概念引入時(shí)培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣，是形成數(shù)學(xué)直覺(jué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生形成概念的一種重要思維方法。

2.針對(duì)學(xué)生心理特點(diǎn)靈活采用概念認(rèn)知方式

概念有兩種基本形式—概念形成和概念同化。從學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)看，概念形成主要依靠對(duì)具體事物的抽象，通過(guò)對(duì)正反例證的不斷辨析，提出假設(shè)，并進(jìn)行檢驗(yàn)，最后發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性；而概念同化主要依靠新舊知識(shí)的聯(lián)系，判別學(xué)習(xí)的概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的異同，并組成概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。它們所需的條件不相同，概念形成的學(xué)習(xí)條件是學(xué)生必須辨別正反例證，同時(shí)外界要有反饋信息；而概念同化的學(xué)習(xí)條件是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有同化新概念的有關(guān)概念，外界要有新概念的定義或?qū)Ω拍钐卣鞯拿枋?。相同的是這兩種不同形式的概念學(xué)習(xí)都需要學(xué)生進(jìn)行積極的有意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)。所以，概念的形成往往與人類自發(fā)形成的概念相近，它適用于低年級(jí)學(xué)生。就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，尤其適用于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)。原始概念和一些層次較低的概念，一般采用概念形成的方式，就是憑借事物的具體形象和表象進(jìn)行抽象。概念的同化則是具有一定心理水平的學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方式，比較適合中高年級(jí).對(duì)于發(fā)展性概念，一般采用同化的形式，因?yàn)殡S著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)不斷積累，智力不斷發(fā)展，就應(yīng)借助學(xué)生已有的概念去認(rèn)識(shí)新的概念。在課堂教學(xué)條件下，概念同化就逐漸成為學(xué)生獲得新概念的主要方式。在引入概念時(shí)，要充分復(fù)習(xí)學(xué)生的已有知識(shí)，使新概念在已有的概念中精確深化，產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，即在舊概念的基礎(chǔ)上引入新概念。

3.針對(duì)概念的兩種形式靈活采用不同的教學(xué)方法

對(duì)不同形式的概念的教學(xué)，可以采用不同的教學(xué)方法。概念教學(xué)主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個(gè)環(huán)節(jié)。新知識(shí)的概念是學(xué)生初次接觸或較難理解的，所以在教學(xué)時(shí)應(yīng)先列舉大量具體的例子，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，歸納出這一類事物的特征，并與已有的概念加以區(qū)別和聯(lián)系，形成對(duì)這一特性的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過(guò)程。在這一過(guò)程中同時(shí)要做到與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有概念相互聯(lián)系、作用，從而領(lǐng)會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，獲得新概念，這就是概念的同化。在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，最能有效促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的是對(duì)實(shí)例的歸納及辨析。通過(guò)對(duì)實(shí)例的歸納和辨析對(duì)新問(wèn)題的特性形成陳述性的理解，繼而與原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系，完成概念形成的兩個(gè)步驟。依據(jù)數(shù)學(xué)概念的兩種形式，可嘗試設(shè)計(jì)概念教學(xué)的兩種模式。

第一種模式：?jiǎn)栴}情境（抽象）—新概念分析（內(nèi)涵、外延、正（反）例）—應(yīng)用—反饋。其具實(shí)施步驟是：①構(gòu)建問(wèn)題情境，創(chuàng)設(shè)心理環(huán)境。針對(duì)新概念構(gòu)建相應(yīng)的問(wèn)題情境，隱含新概念所描述事物的本質(zhì)，觀察、認(rèn)識(shí)到提出新概念的必需和合理，以形成合理心情，積極、大膽地進(jìn)行思維；②考察本質(zhì)屬性，抽象形成概念。分析問(wèn)題情境，概括出它所反映事物的共同屬性，由此逐步抽象而提出新概念；③設(shè)計(jì)多向分析，深化概念理解。對(duì)新概念可從揭示內(nèi)涵、外延、定義方式、合理性（和諧性）、正反例證等方面分析；④及時(shí)測(cè)試反饋（應(yīng)用），評(píng)價(jià)思維訓(xùn)練。這種模式一般適用于概念的形成，是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程。

第二種模式：已有概念（類比、遷移）—新概念—比較（共性、異性）—?jiǎng)?chuàng)造（形成新概念體系）—應(yīng)用—反饋。其實(shí)施步驟為：①精選已有概念，設(shè)置問(wèn)題情境。數(shù)學(xué)概念體系的形成過(guò)程具有一定的層次性，如方程經(jīng)歷了一元一次方程——二元一次方程——一元二次方程——高次方程——整式方程——分式方程——有理方程——無(wú)理方程。教學(xué)中應(yīng)選擇最近的源概念，通過(guò)升維、加權(quán)、反向思考等設(shè)置；②擬定類比方案，遷移形成概念。考查概念情境的變化，擬定提出新概念的類比方案（概念誘發(fā)、類比途徑、類比可能的結(jié)果、驗(yàn)證并完善）；③重比較促創(chuàng)造，強(qiáng)化概念理解。對(duì)類比、遷移提出的新概念，需與問(wèn)題情境中的已知概念比較，弄清與原概念的共性、與已經(jīng)知概念的異性；④及時(shí)測(cè)試反饋，評(píng)價(jià)思維訓(xùn)練。這種模式一般適用于概念的同化，是一種接受學(xué)習(xí)的過(guò)程。

在平時(shí)概念教學(xué)中，教師只有對(duì)概念進(jìn)行全面理解與合理把握，不斷探索新模式，做到目標(biāo)明確、方法正確，才能使學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)概念。

(作者單位:江蘇省泰興市黃橋初級(jí)中學(xué))

責(zé)任編輯 王愛(ài)民