SH波入射時(shí)非等腰三角形結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)相互作用

邱發(fā)強(qiáng)，王慧文，王 雪

(1.中南大學(xué)土木建筑學(xué)院，長(zhǎng)沙410075，rainy95@sina.com;2.廈門市建筑科學(xué)研究院集團(tuán)股份有限公司，福建廈門361004;3.黑龍江工程學(xué)院，哈爾濱150050;4.東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱150040)

近年來(lái)，與基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)相互作用相關(guān)的分析方法有了很大的發(fā)展［1］.研究范圍也從高層建筑逐步擴(kuò)展到核電站的反應(yīng)堆建筑、水壩、海洋平臺(tái)、橋梁等一系列建筑物［2］.建立二維反平面模型的波動(dòng)方程，解決建筑物與基礎(chǔ)的相互作用問(wèn)題已經(jīng)取得了不少成果［3－8］.

本文利用波動(dòng)方程的復(fù)變函數(shù)理論［9］，采用移動(dòng)坐標(biāo)的方法求解了非等腰三角形壩體結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)相互作用的問(wèn)題，給出了分析例題和數(shù)值結(jié)果.

1 問(wèn)題的表述

非等腰三角形結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中三角形凸起頂點(diǎn)記為O1，兩邊邊界分別記為DA，DB，坡度分別為1:n1，1:n2(n1

圖1 非等腰三角凸起結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 模型分區(qū)示意圖

2 非等腰三角形區(qū)域內(nèi)的駐波

在I區(qū)內(nèi)，以三角形頂點(diǎn)O1和底邊中點(diǎn)O為原點(diǎn)分別建立Cartesian坐標(biāo)系，記為X－O－Y，X1－O1－Y1，分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面和其中O1x1軸為頂角平分線，如圖1所示.在區(qū)域I內(nèi)構(gòu)造的滿足三角形斜邊應(yīng)力自由的駐波函數(shù)WD可表示為

式(1)，(2)中，

式(2)即為在區(qū)域I中，滿足斜邊應(yīng)力自由的駐波函數(shù)，其相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為

其中:

3 區(qū)域II內(nèi)的波函數(shù)

在區(qū)域II內(nèi)，滿足半空間表面應(yīng)力的自由散射波W(S)及相應(yīng)的應(yīng)力為

其中:

而入射波和反射波及相應(yīng)的應(yīng)力可寫為

4 問(wèn)題求解及定解方程組

根據(jù)“契合”思想，在公共邊界D上應(yīng)該滿足位移和應(yīng)力連續(xù)條件.即

利用位移和應(yīng)力的正弦、余弦部分一一對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行傅里葉展開(kāi)，有

其中:

5 地面位移幅值

由于入射SH波的作用，區(qū)域I內(nèi)的駐波為WD，而彈性半空間區(qū)域II中的總波場(chǎng)則可以寫成

而入射波的頻率ω可與區(qū)域I中半圓的半徑a組合成為入射波波數(shù)，即入射波波數(shù)為

6 算例及結(jié)果分析

作為算例，假設(shè)三角形底邊的一半a=1.0，y/a=±1表示凸起地形與水平面的相交位置，y/a= Δ對(duì)應(yīng)著凸起地形的頂點(diǎn)，而|y/a|<1.0和|y/a|> 1.0則分別代表凸起地形和水平面上各點(diǎn)的位移幅值.

圖3和圖4分別給出了結(jié)構(gòu)相對(duì)基礎(chǔ)較“軟”(ρD/ρS= 2/3，μD/μS= 1/6)和 較“硬”(ρD/ρS=3/2，μD/μS=6)情況下，η=0.5的入射波以α=0°，45°，90°入射，頂角138.2°，Δθ=θB－θA=10°或20°的結(jié)構(gòu)內(nèi)各特征點(diǎn)的位移幅值;圖5和圖6則分別給出了結(jié)構(gòu)相對(duì)基礎(chǔ)較“軟”和較“硬”情況下，入射波以α=0°入射，頂角138.2°，Δθ=10°或20°的壩體結(jié)構(gòu)表面位移幅值變化三維圖.

圖3 相對(duì)基礎(chǔ)較＂軟＂的結(jié)構(gòu)位移幅值

圖4 相對(duì)基礎(chǔ)較＂硬＂的結(jié)構(gòu)位移幅值

圖5 垂直和水平入射時(shí)相對(duì)基礎(chǔ)較＂硬＂的結(jié)構(gòu)表面位移幅值三維圖

圖6 垂直和水平入射時(shí)相對(duì)基礎(chǔ)較＂軟＂的結(jié)構(gòu)表面位移幅值三維圖

1)當(dāng)SH波垂直入射時(shí)，圖3和5表明“軟”結(jié)構(gòu)的地表最大位移幅值總是出現(xiàn)在頂點(diǎn)附近(Δθ= 10°，y/a=0.3;Δθ=20°，y/a=0.5);圖4和6表明“硬”結(jié)構(gòu)的地表最大位移幅值則總是出現(xiàn)在頂點(diǎn)的左側(cè)結(jié)構(gòu)表面(對(duì)于Δθ=10°，－1.0≤y/a≤0.3;對(duì)于Δθ=20°，－1.0≤y/a≤0.5).

2)由圖5到圖6可知，“軟”壩結(jié)構(gòu)的表面位移幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“硬”壩.當(dāng)Δθ=10°時(shí)，“軟”、“硬”壩結(jié)構(gòu)的|W|max分別為15.2和3.73且都出現(xiàn)在α=90°，相差4.075倍;當(dāng)Δθ=20°時(shí)，“軟”壩結(jié)構(gòu)的|W|max為11.35(α=0°)和“硬”壩為3.49(α=90°)相差3.25倍.

7 結(jié)論

1)對(duì)于非等腰三角形結(jié)構(gòu)，波數(shù)、入射角等入射波的物理參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)表面位移的影響非常顯著.結(jié)構(gòu)對(duì)SH波在彈性空間傳播的影響突出，較“軟”的結(jié)構(gòu)相對(duì)較“硬”的結(jié)構(gòu)吸收“能量”較多，反射“能量”水平差，從而影響結(jié)構(gòu)表面位移幅值大小差異及出現(xiàn)地點(diǎn)的不同.

2)本文提供的方法理論上沒(méi)有問(wèn)題，但采用的計(jì)算方法適用于三角形頂角＞60°的情況，頂角越大精度越高.頂角＜60°的情況需要另外研究其計(jì)算方法.

［1］ 胡聿賢.地震工程學(xué)［M］.北京:地震出版社，2006.

［2］ 申愛(ài)國(guó).土－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用研究及其應(yīng)用［D］.大連:大連理工大學(xué)，1996.

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