風切變影響下飛機縱向模態(tài)分析

于志軍，陶 楊，孫吉良，孫偉奇

（1.91206 部隊，山東 青島 266108；2.海軍航空工程學院 研究生管理大隊，山東 煙臺 264001）

在地面附近，由于空氣粘性的作用，風速往往是不均勻的，會形成圖1所示的風剖面，這種現(xiàn)象稱為風切變。尤其是低空風切變，會嚴重威脅到飛機在空中的飛行姿態(tài)，能使飛機連續(xù)不斷地顛簸，甚至造成機毀人亡的后果[1-3]。所以，加強對風切變影響下飛機運動特征的研究具有重要意義。如未作特殊說明，本文接下來的研究內容均為鉛垂平面內飛機的運動。

圖1 風切變剖面圖

1 飛機縱向運動方程

1.1 未考慮風切變時的運動方程

在未考慮風切變對飛機縱向運動的影響時，風速w=0，飛機的地速v 與空速u相等。此時，在航跡—機體坐標系下的運動方程為：

式中：m為飛機質量；P為發(fā)動機推力；α為幾何迎角；Q為飛機所受的空氣阻力；θ為航跡傾斜角；Y為飛機所受的升力；zω為繞機體z軸（z軸垂直于飛機對稱平面，指向右為正）的轉動角速度；Mz為繞機體z軸的力矩；eP為發(fā)動機推力線與飛機質心之間的偏心距離。

此外，還存在如下關系：

式中，?為俯仰角。

1.2 考慮風切變時的運動方程[4]

在存在風切變的情況下，飛機的地速v，空速u與風速w的關系式為：

把式(4)投影到氣流坐標系中，有

式(6)展開后得到

顯然，式(1)的第三個方程可以拋棄。

式(8)與式(1)的第三個方程共同組成風切變下的縱向運動方程。

2 縱向運動方程的小擾動線性化方程

2.1 方程線性化的一般方法

飛行器的任何一個運動都可以寫成如下形式：

式中：x,y,…是運動參數(shù)或者它們的時間導數(shù)。那么運動參數(shù)可以表示成基準量 a*與偏量 ?a 之和x=x*+?x,y=y*+?y,…，則式(9)可寫成：

在基準點(x*,y*,…)處展開成Taylor級數(shù)，并只保留一階小量[5-7]，則式(10)可表示為：

因為基準運動也應滿足式(9)，故式(11)簡化為

該結果即為運動方程線性化的一般形式。

在運動方程線性化時，將出現(xiàn)力和力矩的偏量。一般來說，若某個力或力矩是若干變量的函數(shù)A=A(a,b,…)，則A的偏量應為：

式中，Aa,Ab,…表示在基準點的偏導數(shù)，即

2.2 未考慮風切變時縱向運動方程的線性化

若不考慮飛行高度的變化對力和力矩的影響，則按照2.1節(jié)所述方法，對式(1)進行線性化，得

同時，對式(2)、(3)分別進行線性化，得到：

將式(15)、(16)代入式(14)，消去變量 ?θ 和 ?ωz；把?v、? ?、?ωz、?α看做狀態(tài)變量，?Pc看做輸入變量，得到如下的耦合方程組：

2.3 考慮風切變時縱向運動方程的線性化

依據(jù)2.2節(jié)，同理可得存在風切變下的線性狀態(tài)方程組，如下所示

3 平飛情況下縱向模態(tài)算例

第2節(jié)已給出了在不考慮飛行高度變化時有無風切變飛機的縱向運動?，F(xiàn)給出在基準運動為水平飛行，即 θ*=0時飛機縱向模態(tài)算例。以一定的初始條件[8]分別代入式(18)、(19)，求出對應的特征值，結果如表1、表2所示。

表1 未考慮風切變的縱向模態(tài)參數(shù)

表2 考慮風切變的縱向模態(tài)參數(shù)

由上述結果可以看出，在受到風切變擾動后，飛機長周期和短周期模態(tài)的半衰期T12、振蕩頻率ω 均有所縮短，而周期T 延長。

4 結論

第3節(jié)出現(xiàn)的結果，主要因為飛機在受到風切變影響時，相當于間接減小了升阻比，導致了飛機半衰期的縮短和周期的延長，同時在長周期模態(tài)下，飛機的飛行品質也有一定幅度的下降，而短周期模態(tài)下則下降不大。在近似處理中，由于略去了轉動能，且阻力與推力始終平衡時，長周期模態(tài)體現(xiàn)了飛機在保守力場中的等幅振蕩運動，位能增加時動能減少，位能減少時動能增加?？紤]風切變時，高度增加，氣流速度也增加，則對飛機來說，就從大氣流動中獲得了一部分使動能增加的能量，這部分能力增加的值越大，飛機振蕩頻率就越低。最后，當增加的能力超過某一值后，就會出現(xiàn)非周期發(fā)散現(xiàn)象。

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