中西數(shù)學(xué)中有關(guān)無窮思想的比較與分析

郝連明

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

1 中國古代數(shù)學(xué)中的無窮思想

中國古代無窮思想最早可以追溯到先秦時期，這一時期正是百家爭鳴，思想交流極其活躍的時期.從各學(xué)派的著作中，我們就可以找到對無窮的理解與思辨.就無窮思想而言，理解最深的當(dāng)屬名家和墨家，“其書五車”的惠施與“詭辭數(shù)萬”的公孫龍對無窮問題做了深入的研究.在《莊子·天下》中有詳細(xì)記載，“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”， 意思是大到?jīng)]有外面，稱之謂無窮大，小到?jīng)]有里面，稱之謂無窮小.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，一尺長的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)也截不完，意思是無窮小作為一個數(shù)量會永遠(yuǎn)存在.這些都是名家的主要思想.在《墨經(jīng)》中我們也可以找到關(guān)于無窮思想的記載，“窮，或有前不容尺也”， 用尺來度量路程,如果量到前面只剩不到一尺的余地，那么這路程是‘有窮’的.如果繼續(xù)量前面總是長于一尺，那么這路程是‘無窮’的.這些都體現(xiàn)了墨家關(guān)于無窮問題的思考，正如英國學(xué)者李約瑟所認(rèn)為的“從中國哲學(xué)的萌芽時代起，……連續(xù)概念和無限分割概念也已為名家——惠施的朋友們——清楚地表達(dá)出來了.”[1]不過這些對無窮的思考并不是基于數(shù)學(xué)運算的層面，而是中國早期對無窮思想的一系列探索，應(yīng)該看作是哲學(xué)層面的思考.

從中國數(shù)學(xué)史上看，無窮思想第一次應(yīng)用在數(shù)學(xué)上并有顯著成果的當(dāng)屬劉徽，這位數(shù)學(xué)奇才將無窮思想用于數(shù)學(xué)的計算和證明，獲得了許多創(chuàng)造性的成果.特別是他在“割圓術(shù)”和“劉徽原理”方面顯示了對無窮思想的應(yīng)用.在“割圓術(shù)”中他認(rèn)為《九章算術(shù)》中“合徑率一而外周率三也”，極不嚴(yán)格.于是從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，同時又明確指出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”[2].正六邊形的面積隨邊數(shù)不斷增加而增加，但不會超過圓的面積.如果進(jìn)行無限次分解，最后多邊形面積與圓的面積完全相等，這與“一尺之棰”的無窮思想是截然相反的，但是這種不同的理解并沒有引起數(shù)學(xué)家們的重視.可見，中國古代是一種實用的極限思想，這種極限思想在實用中取得成果后就被大家所接受了，至于是否嚴(yán)密就沒有多少人去關(guān)注了.劉徽還以此重新計算，得出π=3.14.在南北朝時期，祖沖之父子又進(jìn)一步應(yīng)用無窮思想將π值精確到3.1415926與3.1415927之間，而且祖暅在開立圓術(shù)提出了一條重要原理“祖暅原理”，也就是西方的卡瓦列里原理.這一原理實際上也是無窮小分量思想的應(yīng)用.在劉徽、祖沖之父子之后中國數(shù)學(xué)雖有很大發(fā)展，但是在無窮思想方面卻沒有進(jìn)步.縱觀中國數(shù)學(xué)史，從形式邏輯方面應(yīng)用無窮思想的數(shù)學(xué)家實屬鳳毛麟角，這與西方數(shù)學(xué)中無窮的發(fā)展形成了鮮明的對比.

2 西方數(shù)學(xué)中的無窮思想

在公元前5世紀(jì)，古希臘人畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)認(rèn)為事物的本質(zhì)是由數(shù)構(gòu)成的，也就是“萬物皆數(shù)”.而這里所說的數(shù)是指整數(shù)或者是整數(shù)之比，稱之為可公度量.然而無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))的發(fā)現(xiàn)使人們意識到不可公度量的存在，這一發(fā)現(xiàn)直接導(dǎo)致了以整數(shù)為基礎(chǔ)的宇宙模型的破產(chǎn).數(shù)學(xué)史的學(xué)者通常稱之為有關(guān)無窮的第一次數(shù)學(xué)危機.為了解決這一危機，柏拉圖轉(zhuǎn)向以幾何為基礎(chǔ)來建立宇宙模型.亞里士多德、歐多克斯通過給出比例，即兩個比相等的定義巧妙地繞開這一問題，而真正解決這一問題則是在19世紀(jì)現(xiàn)代實數(shù)理論建立之后.

在中世紀(jì)被打破，文藝復(fù)興到來，特別是資產(chǎn)階級革命席卷整個歐洲的時候，無窮再一次煥發(fā)了青春.當(dāng)時直接涉及無窮的主要有兩類問題，一類是“求積問題”主要包括曲邊圖形的面積，曲面包圍圖形的體積、物體的重心以及液體的壓力等問題的計算；另一類是“微分問題”，這類問題包括曲線上任一點的切線、變量的極值以及物體運動的速度等問題的計算[3].這兩類問題為后來微積分的誕生以及關(guān)于無窮小問題的爭論埋下伏筆.

為了解決這一系列問題包括笛卡爾(Descartes)、費馬(Pierre de Fermat)在內(nèi)的一批數(shù)學(xué)家對無窮小問題進(jìn)行了大量的研究，但是這些工作明顯缺乏一般性.后來牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz，G.W.von)在總結(jié)前人的基礎(chǔ)上，分別從不同方向創(chuàng)立了微積分.當(dāng)人們享受著微積分在實踐上的巨大作用時，關(guān)于無窮小量的研究，對于無窮小是0還是非0的問題，引起了數(shù)學(xué)上的一次爭論.數(shù)學(xué)史者們稱之為第二次有關(guān)無窮的數(shù)學(xué)危機.對于這個問題18世紀(jì)幾乎每一位數(shù)學(xué)家都進(jìn)行了努力，在19世紀(jì)現(xiàn)代實數(shù)理論建立之后，魏爾斯特拉斯(Weierstrass，K.L.W)終于把柯西(Cauchy，A.-L)的極限論補充完整，誕生了ε-δ準(zhǔn)則，完成了從無窮小分析到極限理論的演變，為微積分找到了邏輯基礎(chǔ).

19世紀(jì)下半葉，康托爾(Cantor)創(chuàng)立了集合論，這是一個難以直觀理解和掌握的理論，特別是((阿列夫，aleph-null)的應(yīng)用令外爾( Weyl，H)稱之為“霧上之霧”，正如M·克萊因(Kline，M.)所說“這些思想遠(yuǎn)比前人曾經(jīng)引進(jìn)過的想法更革命，要它不遭到反對那倒是一個奇跡” .這其中以克羅內(nèi)克(Kronecker)最為堅決，直到死也沒有停止對康托爾的抨擊.隨著超限數(shù)理論在分析中的應(yīng)用，特別是在測度論和拓?fù)鋵W(xué)方面取得了一些成果，使廣大數(shù)學(xué)家認(rèn)識到集合論的意義，因此，希爾伯特(Hilbert,David)說，“沒有人能把我們從Cantor為我們創(chuàng)造的樂園中開出去”[4].然而羅素(Russell,B.A.W.)的悖論又使人們陷入對無窮的思考.1921年，弗蘭克爾(Fraenkel)改進(jìn)了策梅洛(Zermelo)的公理系統(tǒng)，形成了ZF公理系統(tǒng)，再加上正則公理和選擇公理而形成了ZFC公理系統(tǒng).這樣大致解決了集合論悖論.數(shù)學(xué)史上稱為有關(guān)無窮的第三次數(shù)學(xué)危機.同時這次危機也促使數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)進(jìn)行深刻思考，形成了邏輯主義，直覺主義，形式主義三大學(xué)派，并進(jìn)行了一場大辯論.

回顧這三次危機，實質(zhì)上都是對無窮問題的探討，不僅如此，在其他歷史時期數(shù)學(xué)家們也沒有停止對無窮問題的探索，阿基米德(Archimedes)用“窮竭法”求錐體體積，開普勒(Johannes Kepler)用“同維無窮小法”求曲面酒桶的體積，笛卡爾用“重根法”求切線等等，可以說有關(guān)無窮問題的探索貫穿了整個西方數(shù)學(xué)史，以至于外爾曾說“數(shù)學(xué)是無限的科學(xué)”.從中我們也可以發(fā)現(xiàn)西方數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家對無窮的追求，并不局限在解決實際問題上，他們更加注重?zé)o窮理論在邏輯上的嚴(yán)密性，從最開始對無窮有一個宏觀上的分析到后來定量的研究，使人們增大了對無窮的操作能力，同時也體現(xiàn)了西方數(shù)學(xué)家對確定性的追求.這也與中國數(shù)學(xué)家形成了鮮明的對比.

3 東西方數(shù)學(xué)無窮觀的比較

從上面對中西數(shù)學(xué)無窮思想發(fā)展歷史的簡述中我們可以很明顯的感覺到，中西數(shù)學(xué)中對無窮的關(guān)注程度是不同的，從數(shù)學(xué)文化史的角度分析可以認(rèn)為造成這種結(jié)果主要有兩方面的原因，一是中西數(shù)學(xué)在整個民族文化價值觀中的地位不同.二是社會精英人才對數(shù)學(xué)的關(guān)注程度不同.

(1)中華民族發(fā)源于長江、黃河流域，處在一個相對封閉的地區(qū)，智慧、勤勞的中華民族較早的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決社會生活中的問題，形成了具有獨特概念、方法、運演規(guī)則、體系建構(gòu)的籌算數(shù)學(xué).而且籌算被列為六藝之中(禮、樂、射、御、書、數(shù))，也就是說在中國文化的傳統(tǒng)中數(shù)學(xué)只是一種“技藝”.隋唐宋三代都在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)，培養(yǎng)專門的數(shù)學(xué)人才，并且經(jīng)考試數(shù)學(xué)合格就可以做一些地位較低的官吏[5].宋代朱熹也曾指出：“古人志道據(jù)德而游于藝，然九數(shù)雖為最末事，若而今行經(jīng)界，則算法亦是有用.”由此可見僅作為一種工具性質(zhì)的學(xué)問來看，中國古代對籌算給予了一定的重視.正因為籌算是一種解決生產(chǎn)、生活中實際問題的工具，所以它將會沿著更簡便、更實用的道路發(fā)展，最終向?qū)嵱眯愿鼜姷闹樗惆l(fā)展.也正是因為此，中國的數(shù)學(xué)書籍都是以解決實際問題為主，《九章算術(shù)》就是很好的例子.中國的籌算經(jīng)過千百年的發(fā)展取得了巨大的成果，可是這種以解決問題為重心的實用數(shù)學(xué)無論怎樣發(fā)展都只是在技藝應(yīng)用的層面，遠(yuǎn)沒有上升到社會文化傳統(tǒng)的理性觀念和意識層面，不會被主流的儒家文化傳統(tǒng)所接受，這也就難怪北齊顏之推的《顏氏家訓(xùn)》中說“算術(shù)亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律歷者皆學(xué)通之，然可以兼明，不可以專業(yè)”.

古希臘文明發(fā)源于地中海沿岸一塊貧瘠的土地上，但幸運的是它處在眾多文明的環(huán)繞之中，智慧的古希臘人將這些文明成果整理、吸收、運用，最終創(chuàng)造出了人類歷史上偉大的文明成果.從“萬物皆數(shù)”的畢達(dá)哥拉斯開始，古希臘的數(shù)學(xué)就走上與其它民族截然不同的道路.《幾何原本》是從公理、公設(shè)及概念出發(fā)展開理性論證，運演過程明確地表現(xiàn)為邏輯三段論式的形式，這在中國古代數(shù)學(xué)中是極少出現(xiàn)的.可見，古希臘文化中數(shù)學(xué)并不是簡單的工具應(yīng)用，數(shù)學(xué)在古希臘上升到一種理性認(rèn)知的高度，通過數(shù)學(xué)去認(rèn)識、解釋世界.齊民友先生告訴我們，西方數(shù)學(xué)是一種理性精神.深入追究我們可以看到在西方文化中，數(shù)學(xué)在古希臘是一種理性的信仰，在中世紀(jì)的基督教是一種宗教的情感，在現(xiàn)代的西方文明中數(shù)學(xué)是一種超越方法意義之上的理性精神.著名的數(shù)學(xué)史學(xué)者M(jìn)·克萊因認(rèn)為：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神.正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞和驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵.”[6]

這樣中西民族在對待數(shù)學(xué)上就產(chǎn)生了不同的看法，在中國古代數(shù)學(xué)是作為一門工具，用來解決生活中的問題，也將遵循實用的原則.而在西方文化中將數(shù)學(xué)看成了信仰，一種理性精神，是形而上的事情.所以與西方文明相比，中國古代明顯缺乏對籌算在精神層面的思考，自然也不會達(dá)到西方對數(shù)學(xué)的重視程度.

(2)在中西古代社會中，社會精英對數(shù)學(xué)關(guān)注的程度是不同的.數(shù)學(xué)作為一種文化理性，作為一種解釋世界的形式，數(shù)學(xué)吸引了整個民族中最優(yōu)秀的人才，從而就為古希臘乃至西方數(shù)學(xué)的發(fā)展創(chuàng)造了良好的人才基礎(chǔ)，然而在中國古代，籌算并沒有上升為理性，不在社會意識層面，而僅僅處在技藝層面，是形而下的器物實用技藝，這樣一來籌算自然不會吸引到這樣的精英份子.

儒家思想占據(jù)中國古代社會意識的主導(dǎo)地位，在漢代“獨尊儒術(shù)”后受到歷代君王的推崇，于是這也就成為仕大夫階層所追求的目標(biāo)，顯然此時倫理道德成為社會的主流思想，在這種思想指導(dǎo)下，人們只會去關(guān)注三綱五常、四書五經(jīng)，而不會去在意“割圓術(shù)”.而在西方社會從古希臘時數(shù)學(xué)開始成為一種理性精神，就一直成為社會最精英人群所追求的對象，正如克萊因所指出:“為什么希臘人愛好并強調(diào)數(shù)學(xué)的抽象概念呢?我們不能回答這個問題,但應(yīng)指出,早期希臘數(shù)學(xué)家是哲學(xué)家,而哲學(xué)家普遍地對希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展有決定性的影響.哲學(xué)家喜歡搞觀念,并在許多領(lǐng)域里顯出他們搞抽象的典型作風(fēng).希臘哲學(xué)家對于真理、善良、慈愛和智慧就是這樣來思考的”[7].可見，在西方數(shù)學(xué)與哲學(xué)是密不可分的，也是一種智慧的象征，大概就是這個原因，柏拉圖才說“不懂幾何者禁入”.

通過對中西數(shù)學(xué)的對比我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)在兩個民族價值觀念中地位不同，社會精英人才對數(shù)學(xué)的關(guān)注也不同，這樣一來對數(shù)學(xué)中無窮的問題乃至對整個數(shù)學(xué)的關(guān)注自然也會產(chǎn)生不同的效果，所以出現(xiàn)上述無窮思想的不同發(fā)展?fàn)顩r也就不足為奇了.

參考文獻(xiàn)：

[1]李約瑟.中國科學(xué)技術(shù)史 [M].第3卷.《中國科學(xué)技術(shù)史》翻譯小組,譯.北京:科學(xué)出版社,1978.316-317.

[2]白尚恕.中國數(shù)學(xué)史大系 [M].第3卷.北京:北京師范大學(xué)出版社,1998.88.

[3]周述岐.數(shù)學(xué)中無窮的歷史[J].自然辯證法研究,1988(2):12.

[4]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想 [M].第4冊.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002:70-72.

[5]孫宏安.中國古代數(shù)學(xué)思想[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2008:263.

[6]M·克萊因.西方文化中的數(shù)學(xué)[M].張祖貴,譯.北京:九章出版社,1996:8-9.

[7]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].第1冊.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002:50.