充盈數(shù)學(xué)文化的數(shù)列多選題賞析

陳靖逸 王 勇

(湖北省襄陽市第一中學(xué),441000)

在各地新高考模擬試卷中,有數(shù)學(xué)文化背景的數(shù)列多項選擇題頻頻“閃亮登場”,它們構(gòu)思精巧、韻味十足、魅力四射,既能考查考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力,又能加深學(xué)生對中外數(shù)學(xué)文化的了解,提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng),豐厚數(shù)學(xué)文化底蘊.下面精選四種數(shù)學(xué)文化題并配例加以剖析,旨在探索題型規(guī)律,揭示解題方法.

一、等差數(shù)列型

例1日晷(如圖1)是我國古代按照日影測定時刻的儀器.二十四節(jié)氣及晷影長變化如圖2所示,相鄰兩個節(jié)氣晷影長減少或增加的量相同.已知冬至的晷影長為一丈三尺五寸,夏至的晷影長為一尺五寸(1丈=10尺,1尺=10寸),則下列說法正確的是( )

(A)白露的晷影比立秋的晷影長二尺

(B)大寒的晷影長為一丈五寸

(C)處暑和谷雨兩個節(jié)氣的晷影長相同

(D)立春的晷影比立秋的晷影長

解由題意,由夏至到冬至的晷影長構(gòu)成等差數(shù)列{an},以寸為單位,則a1=15,a13=135,易知{an}的公差d=10.同理,由冬至到夏至的晷影長構(gòu)成等差數(shù)列{bn}，并且b1=135,b13=15,可得{bn}的公差d′=-10.

因為白露與立秋相隔處暑,所以白露比立秋的晷影長20寸,即二尺.選項A正確.

大寒的晷影長b3=b1+2d′=115,即大寒的晷影長為一丈一尺五寸.選項B錯誤.

處暑的晷影長a5=a1+4d=55,谷雨的晷影長b9=b1+8d′=55.所以選項C正確.

立春的晷影長和立秋的晷影長分別為b4,a4,且a4=a1+3d=45,b4=b1+3d′=105,所以b4>a4.選項D正確.

綜上,選ACD.

評注本題由題意“相鄰兩個節(jié)氣晷影長減少或增加的量相同”可知夏至到冬至的晷影長構(gòu)成等差數(shù)列{an},冬至到夏至的晷影長構(gòu)成等差數(shù)列{bn},結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可判斷各選項的正誤.

二、等比數(shù)列型

例2在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān).”則下列說法正確的是( )

(A)此人第三天走了四十八里路

(B)此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

(D)此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

綜上，選ABD.

評注由題意可知此人每天行走的路程成等比數(shù)列,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可判斷各選項的正誤.本題考查考生的邏輯思維能力和運算求解能力.

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合型

例3在悠久燦爛的中國古代文化中,數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一,大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì).書中有如下問題:“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈,問日益幾何?”其大意為:“有一女子擅長織布,織布的速度一天比一天快,從第二天起,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織五尺,一個月共織了九匹三丈,問從第二天起,每天比前一天多織多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺.若這一個月有30天,記該女子這一個月中的第n(n≤30,n∈N*)天所織布的尺數(shù)為an,bn=2an,則對于數(shù)列{an},{bn},下列選項中正確的有( )

(A)b10=8b5

(B){bn}是等比數(shù)列

(C)a1b30=105

對選項C，由a30=a1+29d=21,可得a1b30=5×221>105.選項C錯.

綜上，選BD.

評注本題由題意可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由bn=2an可知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，注意活用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解.

四、遞推數(shù)列型

1.斐波那契數(shù)列

例4意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,8,…,該數(shù)列的特點是:前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{fn}稱為斐波那契數(shù)列.并將數(shù)列{fn}中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為{gn},則下列結(jié)論正確的是( )

(A)g2019=2

(B)f21f23-f212+f20f22-f212=0

(C)g1+g2+g3+…+g2 019=2 688

(D)f12+f22+f32+…+f2 0192=2f2 018f2 020

解對A選項,易知g1=1,g2=1,g3=2,g4=3,g5=1,g6=0,g7=1,g8=1,g9=2,g10=3,g11=1,g12=0,…,所以{gn}是以6為周期的數(shù)列.又2 019=6×336+3,所以g2 019=g3=2,故選項A正確.

對B選項，由fn+2=fn+1+fn,得f222=f22(f23-f21)=f22f23-f22f21,f212=f21(f22-f20)=f21f22-f21f20,故f21d23-f222+f20f22-f212=f21(f22+f21)-f222+(f22-f21)f22-f212=0,選項B正確.

對C選項，由g1+g2+g3+…+g2 019=336×(1+1+2+3+1+0)+(1+1+2)=2 692,知選項C錯誤.

對D選項，因為f1=f2,fn+2=fn+1+fn,所以f12=f1f2,f22=f2(f3-f1)=f2f3-f2f1,f32=f3(f4-f2)=f3f4-f3f2,…,fn+12=fn+1(fn+2-fn)=fn+1fn+2-fn+1fn，易知f12+f22+…+f2 0192=f2 019f2 020，故選項D錯誤.

綜上，選AB.

評注本題由題意可知數(shù)列{gn}是周期數(shù)列，由周期數(shù)列的相關(guān)知識即可判斷A，C選項的正誤;由斐波那契數(shù)列的特點，結(jié)合裂項相消法即可判斷B,D選項的正誤.本題考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)探索.

2.大衍數(shù)列

例5大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對《易經(jīng)》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.如圖3,數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,此數(shù)列記為{an}，其前n項的和記為Sn,則( )

(A)a20=200 (B)a29=420

(C)S19=1 200 (D)S30=4 720

綜上，選ABD.

3.提丟斯·彼得發(fā)現(xiàn)的數(shù)列

例6提丟斯·彼得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道半徑的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則.它是在1766年由德國的一位中學(xué)教師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的,后來被柏林天文臺的臺長彼得歸納成一條定律,即數(shù)列{an}:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離(以天文單位A.U.為單位).現(xiàn)將數(shù)列{an}的各項乘以10后再減4,得到數(shù)列{bn},可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}從第3項起,每一項是前一項的2倍, 則下列說法正確的是( )

(A){bn}的通項公式為bn=3×2n-2

(B)a2021=0.3×22 020+0.4

(C){an}的前n項和Sn=0.4n+0.3×2n-1-0.3

(D){nbn}的前n項和Tn=3(n-1)×2n-1

當(dāng)n≥2時，Sn=0.4+0.3×(20+21+…+2n-2)+0.4(n-1)=0.4n+0.3×2n-1-0.3.當(dāng)n=1時，S1=0.4也符合上式，故Sn=0.4n+0.3×2n-1-0.3,故選項C正確.

綜上，選CD.

評注本題考查數(shù)列的通項公式及求和方法(分組求和法及錯位相減法)，在具體求解時，應(yīng)注意“小細(xì)節(jié)”的把控，以確保解題的完美性.