用微積分解答高中物理問題的價(jià)值

蔣 軍 袁海泉

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

高中學(xué)生已經(jīng)具備了微積分的初步知識(shí),用微積分解答有關(guān)高中物理習(xí)題成為可能;可是這樣的問題對(duì)學(xué)生提高物理思維以及分析物理解決問題的能力的價(jià)值如何,值得探討.筆者對(duì)用微積分的方法來解答高中的物理問題進(jìn)行了分析,從以下五個(gè)方面來探討微積分解題的價(jià)值,供同行參考.

1 簡(jiǎn)化物理過程

高中物理有不少的試題側(cè)重考查的是學(xué)生對(duì)試題中的物理過程的思考.下面舉例說明.

【例 1】如圖 1,在一光滑水平面上放一個(gè)物體,人通過細(xì)繩跨過高處的定滑輪拉物體,使物體在水平面上運(yùn)動(dòng),人以恒速 v運(yùn)動(dòng).當(dāng)繩子與水平方向成θ角時(shí),物體前進(jìn)的瞬時(shí)速度是多大?

圖1

解:一般物理教學(xué)中,使用微元法、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、能量轉(zhuǎn)化及守恒定律等幾種解法都可以得到

用微分的方法解答過程如下.

由勾股定理可知 l2=x2+y2,對(duì)兩邊同時(shí)求微分

由于 y是常量,故得

分析:由于中學(xué)生易把合速度與分速度混淆,故采用中學(xué)的合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系容易出錯(cuò).而對(duì)于本題中采用微元法有點(diǎn)抽象,學(xué)生不易想到;至于能量轉(zhuǎn)化及守恒定律則要求學(xué)生對(duì)整個(gè)物理過程有著非常好的了解.相比之下,假如學(xué)生對(duì)微積分知識(shí)有了初步的了解,整個(gè)解題過程就顯得非常輕松.

【例 2】?jī)筛叫薪饘賹?dǎo)軌固定在水平桌面上,每 1m導(dǎo)軌的電阻為r0=0.10Ψ,導(dǎo)軌的端點(diǎn)P、Q用電阻可忽略的導(dǎo)線相連,兩導(dǎo)軌間的距離l=0.20 m.有隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于桌面,已知磁感強(qiáng)度 B與時(shí)間 t的關(guān)系為 B=kt,比例系數(shù)k=0.020 T/s.一電阻不計(jì)的金屬桿可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng),在滑動(dòng)過程中保持與導(dǎo)軌垂直.在 t=0時(shí)刻,金屬桿緊靠在 P、Q端,在外力作用下,桿以恒定的加速度從靜止開始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒?dòng).求在 t=6.0 s時(shí),金屬桿所受安培力.

解:同樣的,先給出用非微分的幾種解法.磁通量的變化是由磁場(chǎng)和面積兩者變化引起的,且這兩種情況引起的電動(dòng)勢(shì)串聯(lián)正接,故回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

故

回路中的總電阻

回路中的感應(yīng)電流

作用于桿的安培力

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得

給出用微分的幾種解法如下.

由楞次定律可知電動(dòng)勢(shì)的大小

即

其余部分解則與以上相同.

分析:采用分析感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生入手,可以認(rèn)為是磁場(chǎng)的變化和面積的變化兩個(gè)因素導(dǎo)致.相比之下,應(yīng)用微積分知識(shí)求解更便捷.

2 增加定性問題的定量分析過程

有些定性的問題如果采用定量的方法來計(jì)算,可得出很多定性分析問題所不能得到的結(jié)論.

在高中存在不少要求學(xué)生只根據(jù)題干中所給的條件得出相應(yīng)特殊物理情境的現(xiàn)象.從命題人的角度來說,只是要學(xué)生使用非微積分的數(shù)學(xué)部分知識(shí)來對(duì)問題做出定性的判斷.但是我們可以使用微積分知識(shí)對(duì)所求的問題做出定量的分析,從而能夠更好地幫助學(xué)生全面理解題目.

【例 3】如圖 2所示的電路中,三個(gè)相同的燈泡a、b、c和電感 L1、L2與直流電源連接,電感的電阻忽略不計(jì),開關(guān)S從閉合狀態(tài)突然斷開時(shí),下列判斷正確的有

A.a先變亮,然后逐漸變暗

B.b先變亮,然后逐漸變暗

C.c先變亮,然后逐漸變暗

D.b,c都逐漸變暗

圖2

解:本題可以采用特殊的定性方法來解答,在這里從略.現(xiàn)用微積分的方法來作定量討論.

將圖 2中的節(jié)點(diǎn)電流和電壓標(biāo)示出來,如圖 3.

圖3

根據(jù)基爾霍夫定律,可列出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電流方程和回路電壓方程

由于 a、b、c三個(gè)燈泡相同,所以

而兩個(gè)電感的自感系數(shù)相等,即

因此上述方程組可以簡(jiǎn)化為

的三個(gè)表達(dá)式.由圖 3,通過 a燈的電流 ia與通過電感 L1的電流iL1相等,通過 c燈泡的電流 ic與通過電感 L2的電流 iL2相等,即

斷電前,通過 a燈的電流 Ia=I0,通過電感 L1的電流為 IL1=2I0.因此在斷開瞬間,通過 a燈的電流由 I0突變?yōu)?2I0,斷開瞬間 t=0,ia=2I0,ic=I0.故得

則

分別通過 a、b、c電燈泡的電流隨時(shí)間的變換關(guān)系如圖 4、5、6所示.

因此對(duì) a其電流的變化是從 I0變化為 2I0再衰減,而 b、c都在衰減.

圖4

圖5

圖6

分析:對(duì)于本題來說采用定性的分析物理過程只能得到 a、b、c燈泡變亮和變暗以及誰(shuí)先亮,誰(shuí)先暗的相關(guān)結(jié)論.相比之下,假如學(xué)生掌握了微積分的相關(guān)知識(shí)就可以從更深層次的意義上得到每個(gè)時(shí)刻通過各個(gè)燈泡電流值的普遍性質(zhì)的結(jié)論.

3 體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙

用微積分解題,其中含有不少的數(shù)學(xué)技巧.有許多題可以很容易列出數(shù)學(xué)方程.但是對(duì)于剛學(xué)微積分的同學(xué)來說,想要解答出來卻未必是件容易之事.現(xiàn)舉例如下.

【例 4】有一密度為 ρ的細(xì)棒,長(zhǎng)度為 l,其上端用細(xì)線懸著,下端緊貼著密度為 ρ′的液體表面.現(xiàn)將細(xì)線剪斷,求細(xì)棒在恰好沒入液體中的沉降速度.設(shè)液體沒有粘性.

分析:一般學(xué)過微積分的同學(xué)能夠?qū)︻}目進(jìn)行如圖 7的受力分析,并且選取豎直向下的方向?yàn)檎较?也能夠根據(jù)受力分析列出如下的方程

但是對(duì)于剛學(xué)過微積分的同學(xué)來說這個(gè)方程并不好解,原因是微分項(xiàng)和被積分項(xiàng)不一樣.這時(shí)需要一個(gè)如下所示的變形

這樣變換后就會(huì)很容易求解了.

圖7

其實(shí),用微積分解題的好處除了以上三點(diǎn)外,還有一點(diǎn)就是由于數(shù)學(xué)知識(shí)的深度不同,導(dǎo)致在高中和大學(xué)分別對(duì)同樣的一個(gè)物理量進(jìn)行定義,定義的內(nèi)容上卻并不完全相同.而這種不完全相同的定義方式所給學(xué)生帶來的對(duì)物理概念的理解的深刻性也不相同.例如,對(duì)瞬時(shí)速度的定義,在高中和大學(xué)范圍內(nèi)就不完全相同.在高中物理中只是說把平均速度公式中的 Δt取得很小很小,那么平均速度就變成了瞬時(shí)速度;但是,這很小很小給人的感覺還是很模糊.那么在大學(xué)物理中引入了微積分中的微分概念,把瞬時(shí)速度定義為位移對(duì)時(shí)間的微商,這樣就從數(shù)學(xué)上給出了精確的定義,使概念變得更加深刻.

另外,應(yīng)用微積分對(duì)高中與大學(xué)的銜接在一定程度上也起了積極的作用.學(xué)生進(jìn)入高等院校后,在學(xué)習(xí)大學(xué)物理的力學(xué)部分,發(fā)現(xiàn)雖然概念上比高中更加復(fù)雜,但是大學(xué)的物理部分課后習(xí)題仍然可以用高中所學(xué)的物理知識(shí)解答,再加上對(duì)微積分的理解不夠深刻,應(yīng)用也不夠熟練,于是有不少的同學(xué)不假思索地選擇了高中物理解題方法而放棄了大學(xué)物理中新學(xué)的微積分來解答的辦法.這樣不利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí),從而使得從高中物理向大學(xué)物理的過渡中增加了障礙.

所以,通過以上的分析來看,采用微積分的辦法來解題的好處還是很多的.采用新的數(shù)學(xué)知識(shí)來理解物理概念和解答物理問題能給人以一種耳目一新的感覺.而且對(duì)高中物理與大學(xué)物理的銜接也有積極作用.