有限長螺線管磁場(chǎng)的全場(chǎng)分布

任俊剛 趙春旺

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 內(nèi)蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

有限長螺線管在工程上有著非常重要的應(yīng)用[1],很多研究者對(duì)有限長螺線管的磁場(chǎng)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[2]采用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算了有限長螺線管周圍磁場(chǎng),并對(duì)磁場(chǎng)的均勻性做了分析;文獻(xiàn)[3]通過圓電流對(duì)稱軸上的磁場(chǎng)得到計(jì)算軸外磁場(chǎng)的方法,求得磁場(chǎng)均勻性的簡單公式,并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了討論;文獻(xiàn)[4]計(jì)算了有限長通電螺線管空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布,給出了解析表達(dá)式,并繪出了它們的空間分布圖;文獻(xiàn)[5]從已知的圓電流的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度出發(fā),用定積分的微元法求出螺線管的磁矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度的函數(shù)解.但以上文獻(xiàn)都是僅給出有限長螺線管的磁場(chǎng)的曲線圖,沒有給出磁場(chǎng)的全場(chǎng)分布圖.本文在載流圓線圈磁場(chǎng)解析解的基礎(chǔ)上,給定螺線管參數(shù)編制程序,計(jì)算了有限長螺線管周圍空間的全部磁場(chǎng),用圖像分析軟件DigitalMicrographTM(Gatan Inc.)[6]做出數(shù)字圖像,給出了不同徑向和軸向比的有限長螺線管磁場(chǎng)的全場(chǎng)分布圖,揭示了有限長螺線管內(nèi)部空間及外部空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)分布情況,并對(duì)其磁場(chǎng)均勻性做了詳細(xì)的討論.

2 螺線管模型與磁場(chǎng)計(jì)算方法

在柱坐標(biāo)下載流圓線圈在空間各點(diǎn)磁場(chǎng)解析解的各分量為

其中 K,E分別為第一、第二類完全橢圓積分.一長為 L、半徑為 R的螺線管,其上均勻密繞 N匝線圈,通以電流I,以螺線管體積中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖 1.

圖 1 有限長螺線管示意圖

空間一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度是螺線管上各載流圓線圈在該點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的疊加,即

這里的 By1,Bz1分別為距離坐標(biāo)原點(diǎn) O為 m處的載流圓線圈在空間點(diǎn) P(y,z)產(chǎn)生的徑向和軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度.在編程計(jì)算中,電流 I、螺線管半徑 R分別取 1 A,1m,對(duì)有限長螺線管的長度 L取了1m,2m和 4m三個(gè)不同的值.注意到 N越大誤差越小,但循環(huán)次數(shù)增大,對(duì)應(yīng)上面三種情況分別取N為 50 000、100000、200000,從而使得單位長度的匝數(shù)都為50 000,空間區(qū)域都取 -5≤z≤5,-5≤y≤5,步長取 0.02.第一、第二類完全橢圓積分 K,E分別可用下面二式表示

用 DigitalMicrographTM軟件將數(shù)值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像,如圖 2所示的三個(gè)典型徑向與軸向比的磁場(chǎng)分布圖.圖中不同的灰度代表不同的磁感應(yīng)強(qiáng)度值,具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系見圖 2中右邊的色標(biāo).在圖中給出了若干條等值線,由這些等值線可以看出磁場(chǎng)分布的細(xì)節(jié).在遠(yuǎn)離螺線管處,等值線圍繞整個(gè)螺線管呈軸對(duì)稱分布;在螺線管附近,等值線穿越螺線管壁并關(guān)于垂直于螺線管壁的中截面成對(duì)稱分布.在螺線管的端部,磁場(chǎng)取得極大值;在螺線管中部,磁場(chǎng)較螺線管壁附近弱.隨著螺線管長度的增加,螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的均勻性加強(qiáng).

圖 2 有限長螺線管磁場(chǎng)分布圖

3 定量分析與討論

首先以圖 2(b)為代表分析有限長螺線管磁場(chǎng)的均勻性.以其中心點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,豎直向上為 z軸正方向,水平向右為 y軸正方向.圖3(a)所示為徑向坐標(biāo) y=0,y=0.1,y=0.2,y=0.4,y=0.6,y=0.8,y=1時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度 B隨軸向坐標(biāo) z(-5≤z≤5)的變化曲線圖.由圖中所示可以看到,當(dāng) -1≤ z≤1時(shí)(螺線管內(nèi)部),y=0,y=0.1,y=0.2,y=0.4,y=0.6,y=0.8,y=1的磁感應(yīng)強(qiáng)度B幾乎不隨z變化,隨著 y的增大磁感應(yīng)強(qiáng)度單調(diào)增大且增大速率變大.上述兩點(diǎn)說明了螺線管管中心磁場(chǎng)的均勻性較好.磁感應(yīng)強(qiáng)度的極大值出現(xiàn)在管壁處,而全場(chǎng)最大值出現(xiàn)在螺線管管口處.圖 3(b)為軸向坐標(biāo)管內(nèi) z=0,z=0.8,管外 z=1.2,z=1.6的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B隨徑向坐標(biāo)y(-5≤y≤5)的變化曲線圖.由圖中所示可以看到,用 k(z)表示自變量為 z時(shí)對(duì)應(yīng)曲線的曲率(下同),在管內(nèi)離管壁近處有 k(z0)

圖 3 磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化曲線圖

其次,對(duì)不同徑向與軸向比的有限長螺線管磁場(chǎng)均勻性的異同做出分析.我們?cè)趫D 2所示的三幅圖片中分別提取出 y=0(-5≤z≤5)與z=0(-5≤y≤5)時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度做出曲線圖,如圖 4所示.由圖4(a)可以看出L∶R=4時(shí)螺線管管內(nèi)磁場(chǎng)的均勻性較 L∶R=2和 L∶R=1要好.在圖 4(b)中 ,不論管內(nèi)管外都有 k(zL∶R=1)>k(zL∶R=2)>k(zL∶R=4)成立,即 L∶R=4,z=0曲線彎曲程度最小 ;L∶R=2,z=0次之;L∶R=1,z=0最大.這就說明了螺線管 L∶R=4產(chǎn)生磁場(chǎng)的均勻性較 L∶R=1和 L∶R=2要好.

圖 4 不同徑向與軸向比的有限長螺線管磁場(chǎng)均勻性比較

4 結(jié)語

綜合以上分析,本文主要用數(shù)值計(jì)算方法并借助 DigitalMicrographTM軟件得到三幅有限長螺線管磁場(chǎng)的全場(chǎng)分布圖.從圖中提取數(shù)據(jù),對(duì)不同徑向與軸向比的有限長螺線管磁場(chǎng)的均勻性做了詳細(xì)的分析,指出 L∶R較大時(shí)螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)均勻性最好.

1 西安電爐研究所.感應(yīng)加熱技術(shù)應(yīng)用及設(shè)備設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1975

2 趙春旺,王克勛,劉前.有限長螺線管磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算與分析.工科物理,1997(4):14～17

3 佘守憲,張思炯.Helmholtz線圈、直螺線管及圓電流磁場(chǎng)均勻性分析的簡單公式.大學(xué)物理,1999,18(8):1～3

4 惠小強(qiáng),陳文學(xué).有限長通電螺線管空間的磁場(chǎng)分布.物理與工程,2004,14(2):22～25

5 劉耀康.螺線管磁場(chǎng)的數(shù)值解.高師理科學(xué)刊,2008,28(1):60～64

6 http://www.gatan.com/products/digital imaging/products/DigitalMicrograph.php