基于雨流計數(shù)法和功率譜密度法的隨機(jī)聲疲勞應(yīng)用研究

郭小鵬，沙云東，柏樹生，張東明

（1.沈陽發(fā)動機(jī)設(shè)計研究所,沈陽110015；2.沈陽航空航天大學(xué)遼寧省數(shù)字化工藝仿真與試驗技術(shù)重點實驗室，沈陽110136）

1 引言

未來飛行器和運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)將會承受巨大的熱載荷和聲載荷。飛行器和運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)由于受到強(qiáng)隨機(jī)聲激勵而產(chǎn)生疲勞破壞。聲疲勞是結(jié)構(gòu)在高頻低幅值隨機(jī)載荷下，因結(jié)構(gòu)中快速交變應(yīng)力的作用而使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生聲疲勞破壞的現(xiàn)象[1]。國外自20世紀(jì)70年代開始在高超聲速運(yùn)載工具的強(qiáng)度設(shè)計中進(jìn)行聲疲勞研究，其研究成果集中在3方面：（1）載荷預(yù)報；（2）應(yīng)力計算；（3）壽命估算。但對隨機(jī)疲勞壽命估算方法研究還很不夠。國內(nèi)航空界在航空發(fā)動機(jī)噪聲及相關(guān)聲疲勞壽命問題的研究工作起步較晚，對考慮在隨機(jī)聲載荷作用下結(jié)構(gòu)聲疲勞壽命估算方法的研究較少。西北工業(yè)大學(xué)強(qiáng)度研究所的徐緋等探討了結(jié)構(gòu)聲疲勞壽命估算的功率譜密度法[2,3]；北京航空航天大學(xué)的金奕山等對航空發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)聲疲勞壽命估算方法進(jìn)行了探討。沈陽航空航天大學(xué)動力與能源工程學(xué)院在燃燒噪聲載荷預(yù)報、聲激勵響應(yīng)分析、隨機(jī)疲勞壽命估算等方面開展了大量工作，完成了航空基金等一系列研究項目，但主要是對基本問題的探索。

本文研究了聲疲勞損傷估算的2種方法：1種是基于傳統(tǒng)應(yīng)力循環(huán)計數(shù)的時域分析方法，另1種是基于功率譜密度的頻域方法[4]。并將上述2種方法應(yīng)用于某航空發(fā)動機(jī)火焰筒的隨機(jī)聲疲勞壽命預(yù)測。首先對雨流計數(shù)法計數(shù)得到的應(yīng)力譜進(jìn)行處理，考慮平均應(yīng)力的影響，并結(jié)合Miner線性累積損傷理論和結(jié)構(gòu)疲勞曲線（S-N）進(jìn)行疲勞壽命估算方法研究，給出了雨流計數(shù)法估算疲勞壽命的方法。針對平穩(wěn)Gauss隨機(jī)過程，提出由結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)直接計算應(yīng)力峰值概率密度函數(shù)，并給出了疲勞損傷公式，使在頻域中進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞損傷及壽命估算得以實現(xiàn)。算例中首先采用耦合的邊界元和有限元方法計算了某型航空發(fā)動機(jī)燃燒室火焰筒在隨機(jī)聲載荷作用下的振動位移和應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度，然后分別采用上述2種方法進(jìn)行疲勞壽命估算[5]。本文所完成的工作對燃燒室火焰筒結(jié)構(gòu)疲勞故障分析和提高發(fā)動機(jī)的可靠性、耐久性具有一定參考價值。

2 基于雨流計數(shù)法的壽命估算

2.1 雨流計數(shù)法基本原理

雨流計數(shù)法是以雙參數(shù)法為基礎(chǔ)的1種計數(shù)法[6]，考慮了動強(qiáng)度（幅值）和靜強(qiáng)度（均值）2個變量，符合疲勞載荷固有特性，其主要功能是把實測載荷歷程簡化為若干個載荷循環(huán)，供疲勞壽命估算和編制疲勞試驗載荷譜使用。雨流計數(shù)法記錄了載荷塊的幅值和均值，能比較全面地反映載荷的真實情況，特別是對均值影響比較敏感的材料來說更是如此；其計數(shù)過程與材料真實應(yīng)力-應(yīng)變特性相符，可以推廣應(yīng)用到更多的機(jī)械零部件疲勞壽命估算中。

常用的雨流計數(shù)法的計數(shù)規(guī)則如下。

（1）雨流在試驗記錄的起點和依次在每1個峰值的內(nèi)邊開始，以最高峰值或最低谷值（視二者的絕對值哪個更大）為起點。

（2）雨流依次從每個峰（或谷）的內(nèi)側(cè)向下流，在下1個峰（或谷）處落下，直到對面有1個比起點更高的峰值（或更低的谷值）停止。

（3）當(dāng)雨流遇到來自上面屋頂流下的雨流時，即停止，取出所有的全循環(huán)，并記錄下各自的幅值和均值。

2.2 雨流計數(shù)法具體實現(xiàn)過程

首先通過峰谷值檢測壓縮數(shù)據(jù)，把原始的計算數(shù)據(jù)處理成便于計取循環(huán)數(shù)的數(shù)組，然后從壓縮處理過的數(shù)據(jù)中提取循環(huán),并記錄其特征值,如峰值、谷值、幅值以及均值等，這就是1次雨流計數(shù)。1次雨流計數(shù)剩下的點構(gòu)成的波形是1個標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)散收斂型波形，這時按雨流計數(shù)法則無法再形成整循環(huán),只能將其在絕對值最大的點處截開再進(jìn)行首尾對接，將完成對接的波形繼續(xù)提取循環(huán)直到剩下3個點(即數(shù)組中最值構(gòu)成的整循環(huán))為止。通過雨流計數(shù)法處理應(yīng)力時間歷程后，可以得到應(yīng)力峰值Smax和應(yīng)力谷值Smin。應(yīng)力幅值Sa、應(yīng)力均值Sm和應(yīng)力比r為

由于應(yīng)力均值對疲勞累積損傷也會產(chǎn)生影響，必須按等損傷的原則將非零應(yīng)力均值的應(yīng)力范圍轉(zhuǎn)化為零應(yīng)力均值的應(yīng)力范圍，本文采用Morrow疲勞經(jīng)驗公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，此時r=-1。

式中：S為等效零應(yīng)力均值；Sf為斷裂強(qiáng)度，由試驗測得，在缺少試驗數(shù)據(jù)的情況下可由式（5）估算

式中：Sb為疲勞強(qiáng)度極限。

2.3 應(yīng)力譜

雨流計數(shù)的結(jié)果可以用1個均值、幅值矩陣即載荷[7]來表示。對某型燃燒室火焰筒關(guān)鍵點測得的應(yīng)力時間歷程結(jié)果進(jìn)行雨流計數(shù)，并將得到的計數(shù)結(jié)果填入載荷譜表，就可以得到應(yīng)力譜。由于應(yīng)力譜中的數(shù)據(jù)數(shù)量過多，不能一一列出，圖1示出了節(jié)點920處（內(nèi)壁摻混孔邊）應(yīng)力-時間歷程經(jīng)過雨流計數(shù)后的應(yīng)力譜。

2.4 Miner線性疲勞累積損傷理論

由Miner線性疲勞累積損傷理論可以得到多個應(yīng)力水平下、隨機(jī)載荷作用下的損傷公式

式中：nij為構(gòu)件在第i級應(yīng)力幅值和第j級應(yīng)力均值載荷下的工作循環(huán)次數(shù)，由前面提取出的均值、幅值載荷譜得到；Nij為在存活率P下，在第i級應(yīng)力幅值和第j級應(yīng)力均值載荷下的構(gòu)件疲勞壽命值，數(shù)據(jù)來源于S-N曲線；NT為所測得的載荷譜作用的次數(shù)；△t表示所測得的載荷譜作用的時間。

3 基于功率譜密度法的壽命估算

3.1 功率譜密度函數(shù)

功率譜密度函數(shù)（PSD）是穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過程的頻域描述[8]。PSD提供了有關(guān)隨機(jī)過程的大量統(tǒng)計信息，能夠考慮多模態(tài)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的噪聲響應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)頻域到時域的轉(zhuǎn)換。PSD曲線下的區(qū)域面積和代表時間歷程的均值。1個PSD的n階譜矩定義為

式中：G(f)為功率譜密度函數(shù)，假設(shè)實測應(yīng)力-時間歷程為真實隨機(jī)過程的1個典型樣本，高斯過程的峰值概率密度函數(shù)可表示為

式中：erf（x）為概率積分（誤差數(shù)）；α為隨機(jī)載荷的不規(guī)則因子。

在式（10）中，當(dāng)α分別等于0和1時，分別得到寬帶、窄帶隨機(jī)過程的峰值概率密度函數(shù)。

不論是窄帶還是寬帶，都用統(tǒng)一公式表示應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)為

根據(jù)Palmgren-Miner線性累積損傷理論，對于單向載荷可由隨機(jī)振動理論推導(dǎo)出累積損傷率

式中：E[MT]為應(yīng)力循環(huán)的平均發(fā)生率。通常情況下，對于窄帶隨機(jī)過程，E[MT]為零穿越的速率E[0]=(m2/m1)0.5，而對于寬帶隨機(jī)過程，E[MT]為應(yīng)力峰值出現(xiàn)的速率E[P]=(m4/m2)0.5；p(s)為應(yīng)力循環(huán)的概率密度函數(shù)；K、b為材料S-N曲線中確定的材料常數(shù)；NT為構(gòu)件發(fā)生破壞時的總循環(huán)次數(shù)。

3.2 疲勞壽命的寬帶修正

對于寬帶隨機(jī)振動，需考慮局部峰值對構(gòu)件壽命的影響。P H Wirching根據(jù)應(yīng)力響應(yīng)不同功率譜密度形狀對疲勞壽命進(jìn)行了修正，獲得了適用于寬帶隨機(jī)振動的壽命估算公式[9]

式中：NT1為修正后的總循環(huán)次數(shù)；λ為修正因子。

修正因子、材料參數(shù)和不規(guī)則因子滿足

式中：m為材料參數(shù)；α為不規(guī)則因子。

4 算例與分析

將疲勞壽命估算方法應(yīng)用于某型航空發(fā)動機(jī)燃燒室火焰筒的聲疲勞壽命估算?；鹧嫱膊牧蠟镚H536，密度ρ=8.23×103kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=1.77×1011Pa;邊界條件：根據(jù)火焰筒兩端安裝固定形式頭部5處在X、Y、Z 3個方向約束，后端約束為除了軸向以外的全部自由度。本文對燃燒室火焰筒幾個關(guān)鍵位置節(jié)點的位移和應(yīng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。

4.1 聲激勵載荷

本文考慮的聲激勵載荷為有限帶寬高斯白噪聲載荷。這種載荷在其頻帶寬度范圍內(nèi)，各頻率分量是均勻分布的。有限帶寬高斯白噪聲功率譜密度可表示為

式中：SPL為帶寬聲壓級；△f為頻帶寬度。取頻帶寬度為8～1024 Hz，步長為8 Hz，根據(jù)式（18）計算帶寬聲壓級分別為140、160 dB的有限帶寬高斯白噪聲功率譜密度，見表1。

表1 有限帶寬高斯白噪聲功率譜密度

4.2 S-N曲線擬合

本文依據(jù)Basquin疲勞壽命模型對材料GH536疲勞試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，材料的疲勞實驗數(shù)據(jù)見表2。擬合計算得到的模型表達(dá)式為S1.8648N=107.9841,擬合過程的相關(guān)系數(shù)為0.9993，從其相關(guān)系數(shù)可以看出其擬合效果較好，證明采用Basquin疲勞壽命模型來估算結(jié)構(gòu)疲勞壽命也是可靠的[10]。

表2 GH536疲勞試驗數(shù)據(jù)

4.3 火焰筒在有限帶寬白噪聲載荷下的響應(yīng)計算

采用耦合的有限元和邊界元法計算火焰筒的聲疲勞位移和應(yīng)力響應(yīng)，得到了節(jié)點位移響應(yīng)功率譜密度和應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度。圖2給出了火焰筒有限元模型，圖中標(biāo)出了要分析的典型節(jié)點位置。

節(jié)點920處(內(nèi)壁摻混孔邊)在160 dB時X向位移響應(yīng)功率譜密度和Von Mises應(yīng)力功率譜密度曲線，分別如圖3、4所示。位移和應(yīng)力均方值分別見表3、4。表、、中分別為X、Y、Z向的、、、位移均方值，分別為X、Y、XY向及Von Mises的應(yīng)力均方值。通過分析節(jié)點920處位移和應(yīng)力均方值可以發(fā)現(xiàn)，聲壓級從140 dB增大到160 dB，其均方值將減小約2個數(shù)量級。通過對計算的應(yīng)力頻譜分析發(fā)現(xiàn)：（1）在所計算的頻帶內(nèi)，火焰筒的應(yīng)力響應(yīng)有多個峰值，火焰筒的聲激勵響應(yīng)有明顯的多模態(tài)特征（;2）位移和應(yīng)力響應(yīng)在基頻139 Hz處為極大值，說明火焰筒的基頻模態(tài)在聲激勵響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，因此，在抗聲疲勞結(jié)構(gòu)設(shè)計中要考慮響應(yīng)譜的頻率結(jié)構(gòu)。

4.4 疲勞壽命計算與結(jié)果分析

根據(jù)本文論述的2種結(jié)構(gòu)聲疲勞壽命估算方法，結(jié)合Basquin疲勞壽命模型，對燃燒室火焰筒進(jìn)行疲勞壽命估算，2種方法計算結(jié)果見表5。從對燃燒室火焰筒結(jié)構(gòu)典型節(jié)點位置的疲勞壽命估算結(jié)果可以看出，聲壓級從140 dB增大到160 dB，其壽命將縮短約2個數(shù)量級。對比雨流計數(shù)法和功率譜密度法計算得到的結(jié)果可以看出，功率譜密度法估算的結(jié)果比雨流計數(shù)法估算的結(jié)果偏保守，而估算的結(jié)構(gòu)疲勞壽命更為可靠?；鹧嫱泊竭叀⒓雍襁吀浇鼌^(qū)域和孔邊處因應(yīng)力較大，疲勞壽命相對較短，總體上看外壁比內(nèi)壁的疲勞壽命長。在考慮抗聲疲勞設(shè)計中，一定要注意這些關(guān)鍵區(qū)域。由以上計算結(jié)果分析可以看出，采用雨流計數(shù)法和功率譜密度法估算結(jié)構(gòu)疲勞壽命是合理的、可行的。

表3 火焰筒節(jié)點920處位移均方值

表4 火焰筒節(jié)點920處應(yīng)力均方值

表5 燃燒室火焰筒聲疲勞壽命計算結(jié)果（周）

5 結(jié)束語

（1）應(yīng)用雨流計數(shù)法對1個載荷譜段進(jìn)行了雨流計數(shù)，然后按照各載荷循環(huán)被取出的自然次序形成計算譜，最后將先發(fā)散后收斂的殘余譜中的載荷循環(huán)取出，直接用于疲勞壽命計算。

（2）針對平穩(wěn)Gauss隨機(jī)過程，提出由結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密函數(shù)直接計算應(yīng)力峰值概率密度函數(shù)，并給出了疲勞損傷公式，使在頻域中進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞損傷及壽命估算得以實現(xiàn)。

（3）運(yùn)用2種壽命估算方法對火焰筒結(jié)構(gòu)進(jìn)行了壽命估算，其中功率譜密度法估算的結(jié)果更保守。

（4）本文介紹的壽命估算方法可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷作用下的疲勞壽命估算，也可以為燃燒室火焰筒結(jié)構(gòu)的設(shè)計和改進(jìn)提供一定的參考。

[1] 金奕山,李琳.關(guān)于航空發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)聲疲勞壽命估算方法的探討[J].航空動力學(xué)報,2003,6（3）：374-377.

[2] 徐繹,肖壽庭.Monte-Carlo偽隨機(jī)歷程模擬在聲疲勞分析中的應(yīng)用——功率譜密度法[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),1997,16（1）:69-72.

[3] 徐緋,肖壽庭．結(jié)構(gòu)聲疲勞壽命估算的功率譜密度法[J].機(jī)械強(qiáng)度學(xué)報,1996,12（18）:38-42.

[4] 李超.基于功率譜密度的疲勞壽命估算[J].機(jī)械設(shè)計與研究，2005,4（21）:6-8.

[5] Carl S Pates,Chuh Mei.Analysis of coupled structural-acoustic problems using the boundary and finite element methods[C].AIAA,1994：1835-1843.

[6] Khosrovanch A K，Dowling N E．Fatigue Loading History Reconstruction Based on the Rain flow Technique[J].International Journal of Fatigue,1990，(2)：20-25．

[7] 劉惟信.機(jī)械可靠性設(shè)計[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[8] Petrucci G,Zuccarello B.Fatigue life prediction under wide band random loading[J].Fatigue Fracture Engineering Material Structural,2004,24:1183-1195.

[9] Paul H.Wirsching.Fatigue under wide band random stress[J].Journal of the structure division,ASCE,1980.

[10] 郭小鵬.高溫合金薄壁結(jié)構(gòu)隨機(jī)聲疲勞分析技術(shù)研究[D].沈陽:航空航天大學(xué),2010.