環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算的新方法探索

王小明 陳節(jié)貴

1中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

2中國(guó)艦船研究院，北京 100192

環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算的新方法探索

王小明1陳節(jié)貴2

1中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

2中國(guó)艦船研究院，北京 100192

基于對(duì)目前環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算方法缺陷的認(rèn)識(shí)，文中引入了加強(qiáng)棱柱殼體法，推導(dǎo)出環(huán)肋圓柱殼靜力微分方程，通過(guò)將位移以傅立葉級(jí)數(shù)的形式展開(kāi)，求出了環(huán)肋圓柱殼的位移解，進(jìn)而得到環(huán)肋圓柱殼的應(yīng)力解。通過(guò)算例計(jì)算表明，除環(huán)肋圓柱殼內(nèi)表面縱向應(yīng)力和肋骨周向應(yīng)力外，用該方法的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果和有限元法結(jié)果都相接近，并且縱向應(yīng)力與周向應(yīng)力由外到里的變化規(guī)律與傳統(tǒng)方法也相同。

環(huán)肋圓柱殼；應(yīng)力計(jì)算；加強(qiáng)棱柱殼體法

1 引言

柱形殼體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度好，耗材省，易于加工，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且具有良好的水動(dòng)力學(xué)性能，因而廣泛應(yīng)用于水工和船舶結(jié)構(gòu)物上。潛艇耐壓殼是環(huán)肋圓柱殼，是非常典型的柱形殼體結(jié)構(gòu)之一。對(duì)于環(huán)肋圓柱殼的應(yīng)力計(jì)算，傳統(tǒng)的方法是將其處理成一維彈性基礎(chǔ)梁［1-2］，這種方法實(shí)質(zhì)上是假定環(huán)肋的形心與殼板重合，環(huán)肋的全部面積都集中在殼板的中面上，所以無(wú)論是內(nèi)肋骨還是外肋骨，無(wú)論肋骨腹板的高與低，只要肋骨面積相同，其結(jié)果都一樣，這種不考慮肋骨形心的偏離影響及內(nèi)外肋骨差異的結(jié)構(gòu)分析方法顯然是不合理的［3］。在計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展的今天，有限元數(shù)值計(jì)算已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)分析的有力工具，幾乎可以用于計(jì)算任何的結(jié)構(gòu)，但是它也存在一定的缺點(diǎn)：其一，數(shù)據(jù)準(zhǔn)備困難，對(duì)于大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，建立有限元模型需要耗費(fèi)大量的人力，且一旦結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要修改，有限元模型修改就很困難，又需要重新建立模型，非常繁瑣；其二，精度與時(shí)間的矛盾，有限元法原則上是單元離散得越小，計(jì)算精度越高，計(jì)算耗時(shí)也就會(huì)成比例增加。

基于對(duì)現(xiàn)存環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算方法各種缺陷的認(rèn)識(shí)，本文引入一種名為“加強(qiáng)棱柱殼體法”的計(jì)算方法［4-6］，推導(dǎo)其在兩端簡(jiǎn)支環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算中的計(jì)算公式，用于計(jì)算一算例，并與傳統(tǒng)計(jì)算方法和有限元法比較。

2 基本假設(shè)和定義坐標(biāo)系

加強(qiáng)棱柱殼體法的推導(dǎo)基于以下基本假設(shè)：

1）薄殼假設(shè)，厚度與殼半徑a相比是小量，t／a＜＜1／20；

2）小變形假設(shè)，殼體位移與其厚度相比是一小量；

3）直線法假設(shè)，薄殼變形前垂直于中面的直線變形后仍為直線，且垂直于中面，z向的應(yīng)變?chǔ)舲＝ 0；

4）中面法線方向上的應(yīng)力與其他方向上的應(yīng)力相比可以忽略，即σz＝0；

5）殼體材料是彈性的，各向同性；

6）采用唐納爾（Donell）假設(shè)，忽略中面位移u、v對(duì)殼體曲率的改變及扭轉(zhuǎn)改變的影響。在殼體中面內(nèi)力平衡方程中（x向，y向），忽略中面外橫向剪力 Qx、Qφ的影響。

對(duì)柱殼建立如圖1所示坐標(biāo)系。x軸沿殼體中面母線方向，y軸沿殼體中面的子線方向，y軸也可以用角度來(lái)度量，y=a φ，z軸沿殼體中面徑向，以背離圓心為正。

3 柱形薄殼的靜力微分方程

由于殼體的中面在變形前就存在曲率，因此殼體內(nèi)的位移、應(yīng)變、曲率的改變和內(nèi)力等基本量之間的關(guān)系是比較復(fù)雜的［7］。

取殼體微元adφdx為研究對(duì)象，薄殼中應(yīng)力的合力和合力矩是內(nèi)力，內(nèi)力是單位長(zhǎng)度上的力。內(nèi)力包括軸向力N和周向力Nφ、周向剪力Nxφ和Nφx、彎矩 Mx，Mφ以及扭矩 Mxφ，Mφx。 圖 2 和圖 3 所示為殼中內(nèi)力，圖中所示方向皆為各力的正向。

由內(nèi)力與位移關(guān)系表達(dá)式［5］和內(nèi)力平衡條件，得到以位移形式表示的的柱形薄殼靜力微分方程式。

4 環(huán)肋圓柱殼的靜力微分方程

環(huán)肋圓柱殼的縱剖面如圖4所示，ξφ表示橫向肋骨加強(qiáng)材的間距，dφ表示肋骨橫截面的最大寬度，eφ表示肋骨橫截面寬度、是高度z的函數(shù)。

設(shè)橫向肋骨加強(qiáng)材有nr個(gè)，則

函數(shù)f（x）如圖5所示。假設(shè)加強(qiáng)材與殼體固結(jié)，即加強(qiáng)材與殼體內(nèi)部變形規(guī)律相同，由此建立環(huán)肋圓柱殼的平衡微分方程式。

對(duì)于等間距密集分布的肋骨，當(dāng)它們尺寸較小時(shí)，Huber建議肋骨的加強(qiáng)作用可以近似地認(rèn)為均勻分布在兩相鄰肋骨之間的殼板上，這樣引起的誤差很小［8-9］。 所以

5 環(huán)肋圓柱殼靜力微分方程的解

5.1 齊次微分方程的解

方程式（11）～式（13）對(duì)應(yīng)的齊次方程組中，中面位移是x和φ的函數(shù)。因此，可以將位移設(shè)成傅里葉級(jí)數(shù)形式，進(jìn)行變量分離，從而將偏微分方程化成常微分方程。

式中，A，B，C 為待定系數(shù)；λ＝nπ／l，l是殼長(zhǎng)。u，ν，w 的形式已經(jīng)滿足了殼兩端（x＝0，x＝l）簡(jiǎn)支的邊界條件。

將式（11）～式（13）對(duì)應(yīng)的齊次方程消元化簡(jiǎn)，然后分別得到u，v，w的8階常微分方程，可以求得這3個(gè)微分方程的特征值相同，令其為mj（j＝1 ～8），并設(shè)積分常數(shù) Anj＝αnjCnj，Bnj＝βnjCnj，將含有 αnj，βnj形式的解代回原方程就可以確定 αnj，βnj。所以，齊次方程的解為：

式中，Cnj（j＝1～8）是 8 個(gè)待定未知數(shù)，用于滿足直邊的8個(gè)邊界條件。

5.2 微分方程的基本解

微分方程的齊次解是傅里葉級(jí)數(shù)形式表達(dá)的，因此外載也按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，即

由于實(shí)際潛艇環(huán)肋圓柱殼上受到力矩作用工況較少，所以本文不討論在外力矩作用下的基本解。外載F（x，φ）在x向被展開(kāi)成了傅里葉級(jí)數(shù)形式，φ向的變化情況依外載沿φ向的分布不同而不同。先將外載分別取作沿x，φ，z向的3個(gè)單位點(diǎn)力，引進(jìn)格林函數(shù)，求出單位載荷作用下殼體的位移，這就是基本解。然后就各種不同的外載對(duì)基本解沿φ向積分，積分的結(jié)果即為真實(shí)外力下的位移解。

殼體中面任意一點(diǎn)（x0，φ0）僅作用x向單位點(diǎn)力Fx為：

同樣將式（24）、式（25）分別代入式（11）～式（13），按照上面x方向單位點(diǎn)力的求解過(guò)程求解，亦可以求出與式（19）～式（21）相類(lèi)似的解。

5.3 微分方程的特解

對(duì)于在深水中的耐壓潛艇圓柱殼的情況，圓柱殼在z方向受到均布?jí)毫（負(fù)數(shù)）的作用，在x方向受到縱向壓縮力T1的作用，作用在殼兩端（x＝0，x＝l）殼中面上。 由平衡條件可以求得：

將X1，X2，Z分別展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)后代入x向和z向僅作用單位點(diǎn)力的基本解中，沿φ向積分。求出X1，X2和Z作用下，殼體的位移為：

根據(jù)微分方程解的結(jié)構(gòu)，通解加特解即為當(dāng)前受力狀態(tài)下圓柱殼的位移解。

5.4 邊界條件

由環(huán)肋圓柱殼的形狀和受力狀態(tài)可以確定邊界條件為：

6 算例

下面對(duì)一個(gè)環(huán)肋圓柱殼的實(shí)例，分別應(yīng)用本文的方法與傳統(tǒng)的計(jì)算方法和有限元法計(jì)算其應(yīng)力。環(huán)肋圓柱殼的計(jì)算參數(shù)如下：圓柱殼半徑a＝1 m，圓柱殼長(zhǎng)度 l＝4 m，殼板厚度 t＝16 mm，殼板彈性模量 E＝2.1×1011Pa，泊松比 μ＝0.3。 肋骨采用角鋼 L80×50×6，間距 ξφ＝0.4 m，肋骨彈性模量和泊松比與殼板相同。圓柱殼受均布外壓力，p＝－8×106Pa，兩端簡(jiǎn)支。除此之外，為了模擬潛艇耐壓殼在深水中的受力狀態(tài)，環(huán)肋圓柱殼兩端（x＝0，x＝l）還受到縱向壓縮力作用，該力為一線分布力，單位長(zhǎng)度上的大小為－pa／2＝4×106N／m。

將加強(qiáng)棱柱殼體法的計(jì)算理論編寫(xiě)成計(jì)算機(jī)程序，代入上面的計(jì)算參數(shù)計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示 （計(jì)算結(jié)果只計(jì)算到傅里葉級(jí)數(shù)的前3項(xiàng)）。傳統(tǒng)計(jì)算方法和有限元法的計(jì)算結(jié)果也一并列在表1中。

表1 環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

7 結(jié)束語(yǔ)

加強(qiáng)棱柱殼體法在薄殼理論中引入階躍函數(shù)，考慮了每一個(gè)加強(qiáng)材的具體位置和加強(qiáng)材的實(shí)際形狀，建立起環(huán)肋圓柱殼的靜力微分方程式，通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)，求出了微分方程的解析解。傳統(tǒng)方法中沒(méi)有考慮肋骨形狀對(duì)殼體的影響，在計(jì)算結(jié)果中只能給出肋骨的平均應(yīng)力，肋骨不同位置的應(yīng)力則無(wú)法計(jì)算，加強(qiáng)棱柱殼體法則可以計(jì)算環(huán)肋圓柱殼任何位置的應(yīng)力。

從表1可以看到，除環(huán)肋圓柱殼內(nèi)表面縱向應(yīng)力和肋骨周向應(yīng)力外與傳統(tǒng)計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果相差較大外，其余應(yīng)力和位移均與傳統(tǒng)計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果和有限元法計(jì)算結(jié)果相接近。對(duì)于內(nèi)表面的縱向應(yīng)力，本文方法的計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果相接近，但與傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果相比，兩者誤差都較大；肋骨周向應(yīng)力的有限元法結(jié)果與傳統(tǒng)法結(jié)果較接近，本文計(jì)算方法誤差較大，誤差達(dá)18.5%。由外表面到內(nèi)表面，環(huán)肋圓柱殼縱向應(yīng)力和周向應(yīng)力大小依次的遞減規(guī)律也與傳統(tǒng)的梁帶理論觀點(diǎn)相吻合。各應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果中，本文方法的計(jì)算結(jié)果普遍偏大，在最危險(xiǎn)的位置，本文方法的計(jì)算結(jié)果比有限元法的結(jié)果僅相差0.06%，而比傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果大7.2%。因此，在重要的結(jié)構(gòu)中，計(jì)算環(huán)肋圓柱殼的應(yīng)力時(shí)，建議用本文方法作輔助校核。

［1］許輯平.潛艇強(qiáng)度［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1980.

［2］王曉天，許輯平.環(huán)肋圓柱殼應(yīng)力計(jì)算中某些問(wèn)題的研究［J］.應(yīng)用科技，1990，8（1）：1－7.

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［9］MUKHOPADHYAY M.Stiffened plate in bending ［J］.Computer＆ Structure，1994，50（4）.

New Method for Stress Calculation of Ring－Stiffened Cylindrical Shell

Wang Xiao－ming1Chen Jie-gui2
1 China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China
2 China Ship Research and Development Academy，Beijing 100192，China

Due to the limitation inherent to the traditional method， the stiffened prismatic shell method was incorporated into ring－stiffened cylindrical shell stress calculation.Using this method， a set of static force differential equations was established.Firstly，the ring－stiffened cylindrical shell displacement was dealt with the Fourier series and then the displacement solution was derived， further， the stress of ringstiffened cylindrical shell was obtained.Example calculations show that the stresses gotten by the new method are approximated to that by the traditional method and the Finite Element Method except the longitudinal stress inside the inner surface of ring－stiffened cylindrical shell and circumferential stress of ring， additionally， the longitudinal stress and the circumferential stress varying from outside to inside is the same as the traditional methods＇.

ring-stiffened cylindrical shell； stress calculation； stiffened prismatic shell method

U663.5

A

1673－3185（2010）05－49－05

10.3969/j.issn.1673-3185.2010.05.010

2009－10-09

王小明（1981－），男，碩士，助理工程師。研究方向：艦船結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與研究。E-mail：wangxiaoming2001＠126.com