基于向量通用生成函數(shù)的多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析

李春洋，陳循，易曉山，陶俊勇

(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長沙410073)

0 引言

系統(tǒng)除了正常工作和完全失效兩種狀態(tài)外，還具有多種工作(或失效)狀態(tài)，或系統(tǒng)能夠在多個(gè)性能水平下運(yùn)行，這樣的系統(tǒng)被稱為多態(tài)系統(tǒng)［1-3］。多態(tài)系統(tǒng)一些部件的失效或者性能衰退會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能的下降，同時(shí)引起整個(gè)系統(tǒng)呈現(xiàn)出多個(gè)性能水平。多態(tài)系統(tǒng)可靠性能夠詳細(xì)地、廣泛地定義部件和系統(tǒng)的可靠性，能夠透徹地分析部件性能的變化對(duì)系統(tǒng)性能和可靠性的影響，以及系統(tǒng)失效的漸變過程。

20世紀(jì)70年代多態(tài)系統(tǒng)的概念被提出之后［4-5］，多態(tài)系統(tǒng)可靠性的研究得到了國外學(xué)者的廣泛關(guān)注。多態(tài)系統(tǒng)可靠性的相關(guān)理論已經(jīng)應(yīng)用到電力［6-7］、網(wǎng)絡(luò)［8-9］和機(jī)械［10-11］等領(lǐng)域。我國對(duì)多態(tài)系統(tǒng)可靠性的研究相對(duì)較少，起步也比較晚，主要集中在多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析［12-14］，多態(tài)系統(tǒng)共因失效分析與優(yōu)化［15-17］等方面。

多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析主要有4 種方法:布爾模型擴(kuò)展法［2，18］、隨機(jī)過程［2，12，14］、Monte Carlo 仿真［19-20］和通用生成函數(shù)［1-2，6-8，15-17］。其中，通用生成函數(shù)是解決多態(tài)系統(tǒng)可靠度計(jì)算問題應(yīng)用較好的方法，它能夠明確地表達(dá)部件狀態(tài)性能和對(duì)應(yīng)概率與系統(tǒng)狀態(tài)性能和對(duì)應(yīng)概率的關(guān)系，并且可以通過簡單的運(yùn)算由部件的通用生成函數(shù)得到系統(tǒng)的通用生成函數(shù)，它具有計(jì)算速度快，適用范圍廣等特點(diǎn)［21］。

Ushakov［22-23］首先介紹了通用生成函數(shù)的概念，隨后Levitin［1-2］和Lisnianski［2］等學(xué)者將通用生成函數(shù)引入多態(tài)系統(tǒng)可靠性領(lǐng)域，使得通用生成函數(shù)在多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析［1-2，8，15，17，24］和多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化［1-2，6-7，16，21，25-26］等方面獲得了廣泛應(yīng)用。此外，An 和Huang 等利用通用生成函數(shù)建立了離散的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型［27］，分析了V 帶傳動(dòng)的可靠性［28］。

在以上文獻(xiàn)中，通用生成函數(shù)都是針對(duì)離散隨機(jī)變量，在通用生成函數(shù)中體現(xiàn)為單一變量，在利用該通用生成函數(shù)分析多態(tài)系統(tǒng)可靠性時(shí)，部件性能和系統(tǒng)性能都只有一個(gè)參數(shù)。但在實(shí)際工程中，不少系統(tǒng)具有多個(gè)性能參數(shù)，特別是機(jī)電系統(tǒng)。對(duì)于具有多個(gè)性能參數(shù)的多態(tài)系統(tǒng)，在利用通用生成函數(shù)進(jìn)行可靠性分析時(shí)，需要對(duì)離散隨機(jī)變量的通用生成函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，以適應(yīng)實(shí)際需要。

針對(duì)多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析的需要，本文通過對(duì)變量通用生成函數(shù)［1-2，21-28］進(jìn)行改進(jìn)，提出向量通用生成函數(shù)，定義其相應(yīng)的運(yùn)算符和基本性質(zhì)，并且分析利用向量通用生成函數(shù)估算多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)可靠度的計(jì)算方法和詳細(xì)流程，最后利用由性能退化部件組成的串-并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行應(yīng)用研究。

1 向量通用生成函數(shù)的定義

假設(shè)G =(G1，G2，…，Gm)為m 維離散隨機(jī)向量，其概率分布可以用2 個(gè)集合g 和q 描述。其中，g 表示離散隨機(jī)向量G 的M 個(gè)可能取值，有如下形式:

其中，

q 表示M 個(gè)取值分別所對(duì)應(yīng)的概率，有如下形式:

其中，

且滿足

則定義離散隨機(jī)向量G 的向量通用生成函數(shù)為

式(6)所定義的向量通用生成函數(shù)與變量通用生成函數(shù)［1-2，21-28］相比，其最大不同在于式(6)中g(shù)l為向量，而變量通用生成函數(shù)中g(shù)l為變量。在對(duì)向量通用生成函數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其計(jì)算相對(duì)比較復(fù)雜，特別是當(dāng)多個(gè)離散隨機(jī)向量的維數(shù)不同，且相互之間的關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)。

2 向量通用生成函數(shù)的運(yùn)算

2.1 2 個(gè)隨機(jī)向量的函數(shù)的向量通用生成函數(shù)

定義H =(H1，H2，…，Hm')為m'維離散隨機(jī)向量，其概率分布可以用2 個(gè)集合h 和p 描述。其中，h={h1，h2，…，hM'}表示H 所有可能的M'個(gè)取值，且hk=(hk，1，hk，2，…，hk，m')，p ={p1，p2，…，pM'}表示每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率。則由式(6)知，其向量通用生成函數(shù)為

定義m″維離散隨機(jī)向量D =(D1，D2，…，Dm″)為G 和H 的函數(shù)，即D=f(G，H).其中，

式(8)表示Di為Gri(1)，…，Gri(ai)，Hsi(1)，…，Hsi(bi)的函數(shù)，即Di為離散隨機(jī)向量G 的第ri(1)，…，ri(ai)個(gè)分量與離散隨機(jī)向量H 的第si(1)，…，si(bi)個(gè)分量的函數(shù)。其中，1≤ri(1)＜…＜ri(ai)≤m，ai∈{1，2，…，m}，1≤si(1)＜…＜si(bi)≤m'，bi∈{1，2，…，m'}，i=1，2，…，m″.

則D 的向量通用生成函數(shù)可以通過如下復(fù)合運(yùn)算獲得

其中，

在計(jì)算式(9)時(shí)，向量通用生成函數(shù)中的同類項(xiàng)可以合并。比如，如果f(g1，h1)=f(g2，h2)，則為了簡化計(jì)算過程，可以將q1p1zf(g1，h1)和q2p2zf(g2，h2)合并為(q1p1+q2p2)zf(g1，h1).合并同類項(xiàng)之后可以減少離散隨機(jī)向量的可能取值數(shù)，從而減少計(jì)算量。

介紹一種常用的特殊情況，當(dāng)m =m' =m″時(shí)，即隨機(jī)向量維數(shù)相同，且式(8)為Di=fi(Gi，Hi)時(shí)，則式(10)可以簡化為

此時(shí)，定義如下幾個(gè)比較常用的算子

2.2 多個(gè)隨機(jī)向量的函數(shù)的向量通用生成函數(shù)

定義N 個(gè)離散隨機(jī)向量G1，G2…，GN，其對(duì)應(yīng)的向量通用生成函數(shù)分別為U1(z)，U2(z)，…，UN(z).則向量函數(shù)f(G1，G2，…，GN)的向量通用生成函數(shù)為U1(z)，U2(z)，…，UN(z)的復(fù)合運(yùn)算

對(duì)式(15)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，要用到向量通用生成函數(shù)的如下性質(zhì)［1-2，27］:

利用以上性質(zhì)，可以最終得到向量函數(shù)f(G1，G2，…，GN)的向量通用生成函數(shù)為

式中，Msys為向量函數(shù)f(G1，G2，…，GN)的可能取值數(shù)，由于可以合并同類項(xiàng)，故為向量函數(shù)f(G1，G2，…，GN)的可能取值，qs為對(duì)應(yīng)的概率。

3 多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析

圖1所示的多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)由N 個(gè)分系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中分系統(tǒng)i 并聯(lián)ni個(gè)部件。設(shè)該多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)的部件和系統(tǒng)具有多個(gè)性能參數(shù)。

圖1 多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)Fig.1 Multi-state series-parallel system

計(jì)算該系統(tǒng)的可靠度時(shí)，有以下幾個(gè)步驟。

3.1 計(jì)算部件的向量通用生成函數(shù)

分系統(tǒng)i 的部件j 有Mij個(gè)狀態(tài)，t 時(shí)刻部件的狀態(tài)性能為gij(t)={gij1(t)，gij2(t)，…，gijMij(t)}，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率為qij(t)={qij1(t)，qij2(t)，…，qijMij(t)}.則由式(6)，其向量通用生成函數(shù)為

對(duì)于離散多態(tài)系統(tǒng)，部件的狀態(tài)性能gij(t)和狀態(tài)概率qij(t)可以直接得到［1-2］，對(duì)于多態(tài)退化系統(tǒng)，需要對(duì)性能分布進(jìn)行離散化，離散化時(shí)狀態(tài)數(shù)可以根據(jù)需要來確定，具體情況在算例中分析。

3.2 計(jì)算分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)

分系統(tǒng)i 由ni個(gè)部件并聯(lián)組成，分系統(tǒng)性能可以表示為

式中，Xi為分系統(tǒng)i 的性能，Gi1，Gi2，…，Gini為部件性能。

式(20)為分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)，它表示分系統(tǒng)性能與部件性能的關(guān)系。

根據(jù)部件的向量通用生成函數(shù)(式(19))和分系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)(式(20))，利用式(15)、式(16)、式(17)計(jì)算分系統(tǒng)i 的向量通用生成函數(shù)為

式中:Mi為分系統(tǒng)i 的狀態(tài)數(shù);{xi1(t)，…xiMi(t)}為t 時(shí)刻分系統(tǒng)i 的狀態(tài)性能;{qi1(t)，…，qiMi(t)}為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率。

在得到了分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)之后，對(duì)于并聯(lián)部件較多的情況，分系統(tǒng)i 的狀態(tài)數(shù)Mi會(huì)比較大，為了減少計(jì)算量，提高計(jì)算速度，采用狀態(tài)重新劃分法進(jìn)行處理:

將Ui(z，t)的Mi個(gè)狀態(tài)重新劃分為M'i個(gè)狀態(tài)，M'i＜Mi，M'i的大小可以根據(jù)計(jì)算精度和實(shí)際需要來確定。重新劃分之后，分系統(tǒng)i 的狀態(tài)性能變?yōu)?/p>

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率變?yōu)?/p>

此時(shí)，分系統(tǒng)i 的向量通用生成函數(shù)為

狀態(tài)重新劃分法的應(yīng)用比較靈活，可以在計(jì)算分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)過程中應(yīng)用，也可以在計(jì)算系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)過程中應(yīng)用。

3.3 估算多態(tài)系統(tǒng)可靠度

系統(tǒng)由N 個(gè)分系統(tǒng)串聯(lián)組成，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

式中:Y 為系統(tǒng)性能;X1，X2，…，XN為分系統(tǒng)性能。

估算多態(tài)系統(tǒng)可靠度時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的特點(diǎn)，分3 種情況分析。

1)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)已知

如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)已知，系統(tǒng)性能與分系統(tǒng)性能有明確函數(shù)關(guān)系，那么在得到各分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)之后，利用式(15)、式(16)、式(17)可以得到系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)為

式中，Msys為系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù);{y1(t)，…，yMsys(t)}為t時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)性能;{q1(t)，…，qMsys(t)}為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率。

不失一般性，設(shè)2 個(gè)向量Y=(Y1，Y2，…，Ym)和Z=(Z1，Z2，…，Zm)，如果對(duì)于所有的i，都有Yi≥Zi，則定義Y≥Z;如果對(duì)于所有的i，都有Yi≥Zi，且至少有一個(gè)i 使得Yi＞Zi，則定義Y ＞Z.

定義如下運(yùn)算符

其中，

定義w 為系統(tǒng)的最小性能需求，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)性能不小于w 時(shí)，系統(tǒng)可靠，否則，系統(tǒng)不可靠。因此，t 時(shí)刻系統(tǒng)可靠度為

2)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)未知

如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)未知，在得到分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)之后，不能直接利用式(15)、式(16)、式(17)得到系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)。一般來說，對(duì)于串-并聯(lián)系統(tǒng)，當(dāng)各分系統(tǒng)都可靠時(shí)，系統(tǒng)可靠。因此可以根據(jù)各分系統(tǒng)的最小性能需求分別得到各分系統(tǒng)的可靠度，從而得到系統(tǒng)可靠度。

定義wi為分系統(tǒng)i 的最小性能需求，則t 時(shí)刻分系統(tǒng)i 的可靠度為

t 時(shí)刻系統(tǒng)可靠度為

3)系統(tǒng)性能與部分分系統(tǒng)性能有函數(shù)關(guān)系

如果系統(tǒng)性能與部分分系統(tǒng)性能有明確的函數(shù)關(guān)系，不失一般性，設(shè)前d(d＜N)個(gè)分系統(tǒng)的性能與系統(tǒng)性能有明確函數(shù)關(guān)系，則t 時(shí)刻系統(tǒng)可靠度為

式中，R1-d(t)為前d 個(gè)分系統(tǒng)的可靠度，利用式計(jì)算;Ri(t)為t 時(shí)刻分系統(tǒng)i 的可靠度，利用式計(jì)算，i=d+1，…，N.

4 算例分析

性能退化系統(tǒng)在工作時(shí)呈現(xiàn)出多種性能狀態(tài)，是一種比較典型的多態(tài)系統(tǒng)。通過性能退化分析可以得到性能退化系統(tǒng)的退化特性，從而得到其性能可靠性［29］。一個(gè)由性能退化部件組成的多態(tài)系統(tǒng)，如果各部件的性能退化特性已知，利用傳統(tǒng)的可靠性分析方法很難得到系統(tǒng)的性能可靠性。從上面的介紹中知道，向量通用生成函數(shù)可以描述部件狀態(tài)性能和對(duì)應(yīng)概率與系統(tǒng)狀態(tài)性能和對(duì)應(yīng)概率的關(guān)系，從而得到系統(tǒng)的性能與可靠性。下面將利用本文的分析方法進(jìn)行算例分析，以驗(yàn)證其有效性。

如圖2所示的串-并聯(lián)系統(tǒng)由3 個(gè)分系統(tǒng)組成，包含6 個(gè)性能退化部件。其中，部件1 和2 屬于同種類型，部件3、4 和5 屬于同種類型。假設(shè)6 個(gè)性能退化部件的退化特性已經(jīng)比較了解，部件退化性能、分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)見表1。系統(tǒng)的最小性能需求為w=(10.0，4.5).

圖2 多臺(tái)串-并聯(lián)系統(tǒng)Fig.2 An example of multi-state series-parallel system

從表1可以看出，如果定義G6(t)≥7.0 時(shí)部件6 正常，則系統(tǒng)性能可以根據(jù)分系統(tǒng)1 和2 的性能得到，而分系統(tǒng)3(即部件6)的性能與系統(tǒng)性能沒有明確的函數(shù)關(guān)系，因此，在采用向量通用生成函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，可以采用式進(jìn)行計(jì)算，其中，d=2.

當(dāng)t=10 000 h 時(shí)，如果采用Monte Carlo 仿真方法進(jìn)行分析，則系統(tǒng)的可靠度約為0.812 7.下面的分析中，以Monte Carlo 仿真方法所得到的結(jié)果為參考值。

表1 部件退化性能及分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)Tab.1 Performance of degraded components andstructure functions of subsystems and the system

如果采用傳統(tǒng)可靠性分析方法，每個(gè)部件只有兩個(gè)狀態(tài)，對(duì)于部件1 和2，當(dāng)部件性能不小于(5.0，4.5)時(shí)，部件1 和2 正常，分系統(tǒng)1 正常。對(duì)于部件3、4 和5，當(dāng)部件性能不小于(3.4，4.5)時(shí)，部件3、4 和5 正常，分系統(tǒng)2 正常。對(duì)于部件6，當(dāng)部件性能不小于7.0 時(shí)，部件6 正常，分系統(tǒng)3 正常。此時(shí)，采用傳統(tǒng)可靠性分析方法可以得到系統(tǒng)可靠度為0.470 5.

根據(jù)上面定義的2 個(gè)狀態(tài)，采用向量通用生成函數(shù)進(jìn)行分析，得系統(tǒng)可靠度為0.470 5;如果每個(gè)部件定義4 個(gè)狀態(tài)，則系統(tǒng)可靠度為0.784 5;如果每個(gè)部件定義16 個(gè)狀態(tài)，則系統(tǒng)可靠度為0.789 2.部件狀態(tài)數(shù)與系統(tǒng)可靠度的對(duì)應(yīng)情況見表2.

可以看出，隨著部件狀態(tài)數(shù)的增加，采用本文方法所得到的估算結(jié)果越來越與Monte Carlo 仿真得到的參考值接近。當(dāng)部件狀態(tài)數(shù)大于256 時(shí)，系統(tǒng)可靠度穩(wěn)定在0.812 6.隨著部件狀態(tài)數(shù)的增加，所得到的估算結(jié)果越來越準(zhǔn)確，但是計(jì)算量越來越大。

表2 部件狀態(tài)數(shù)與系統(tǒng)可靠度Tab.2 Number of component states and system reliability

當(dāng)部件狀態(tài)數(shù)為256 時(shí)，如果不合并同類項(xiàng)，分系統(tǒng)1 有2562個(gè)狀態(tài)，分系統(tǒng)2 有2563個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)有2565個(gè)狀態(tài)，計(jì)算量太大而難以計(jì)算。合并同類項(xiàng)之后，分系統(tǒng)1 有688 個(gè)狀態(tài)，分系統(tǒng)2 有2 032個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)有3 750 個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)的可靠度為0.812 6，計(jì)算時(shí)間為7.5 s.如果采用狀態(tài)重新劃分法將分系統(tǒng)性能重新劃分為64 個(gè)狀態(tài)，則系統(tǒng)的可靠度為0.812 3，計(jì)算時(shí)間為4.7 s.可以看出，通過合并同類項(xiàng)和狀態(tài)重新劃分法，能夠極大地提高計(jì)算效率，特別是當(dāng)部件數(shù)較多時(shí)，效果會(huì)更加明顯。

分別采用傳統(tǒng)可靠性分析方法、Monte Carlo 仿真方法和本文方法，分析時(shí)間與系統(tǒng)可靠度關(guān)系，如圖3所示。

從圖3可以看出，傳統(tǒng)可靠性分析方法在分析具有多種性能水平的多態(tài)系統(tǒng)可靠性時(shí)，所估算的可靠度與Monte Carlo 仿真方法所得到的結(jié)果相比十分保守，而本文方法與Monte Carlo 仿真方法所得結(jié)果粘合在一起，基本完全相同。

圖3 3 種方法得到的時(shí)間與系統(tǒng)可靠度關(guān)系Fig.3 The relationship between system reliability and time obtained by the three methods

5 結(jié)論

1)提出了向量通用生成函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)的運(yùn)算方法，并且利用向量通用生成函數(shù)分析了多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)的可靠性問題。

2)向量通用生成函數(shù)能夠快速地估算多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)的可靠度，與Monte Carlo 仿真方法的結(jié)果對(duì)比顯示，其所得到的結(jié)果準(zhǔn)確可信。

3)利用向量通用生成函數(shù)估算可靠度時(shí)，其估算的精度與狀態(tài)數(shù)有關(guān)。對(duì)于性能退化系統(tǒng)，狀態(tài)劃分時(shí)定義的狀態(tài)數(shù)越多，計(jì)算精度越高，但計(jì)算越復(fù)雜。采用合并同類項(xiàng)和狀態(tài)重新劃分法可以有效減少計(jì)算量。

4)多態(tài)系統(tǒng)可靠性考慮了部件性能與系統(tǒng)性能的關(guān)系，性能與可靠度的關(guān)系，從而可以利用性能進(jìn)行可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)，這為可靠性設(shè)計(jì)的發(fā)展提供了新的思路，能夠有效避免目前工程中性能設(shè)計(jì)與可靠性設(shè)計(jì)相脫離的情況。

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