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    一類非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制

    2010-02-21 09:54:52王軼卿李勝陳慶偉
    兵工學(xué)報(bào) 2010年12期
    關(guān)鍵詞:平衡位置鏈?zhǔn)?/a>滑模

    王軼卿,李勝,陳慶偉

    (南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京210094)

    0 引言

    近年來,隨著自動(dòng)控制技術(shù)的發(fā)展和人們對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性要求的不斷提高,有限時(shí)間控制成為控制理論界研究的前沿課題之一。由于系統(tǒng)在有限時(shí)間控制律的作用下具有收斂速度快、穩(wěn)態(tài)精度高、魯棒性好的優(yōu)點(diǎn),有限時(shí)間控制問題自問世以來受到了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。針對該問題目前人們提出的主要方法有:齊次系統(tǒng)方法[1-3]、有限時(shí)間Lyapunov 函數(shù)法[4-5]、終端滑??刂品ǎ?-8]等,其中一些已成功地應(yīng)用于一些實(shí)際對象的控制,如非完整移動(dòng)機(jī)器人的控制[9]。但從目前的研究成果來看,非完整系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制還存在一些問題,如所提控制器存在奇異性、不連續(xù)等問題[9-10],這主要是由于非完整系統(tǒng)自身的一些特性和控制器設(shè)計(jì)方法所造成的。

    自非完整系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制問題被提出以來,人們就試圖尋找一種反饋控制律,使得以非完整系統(tǒng)為對象的閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定,但由于非完整系統(tǒng)不滿足Brockett 定理[11]中提出的非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近存在連續(xù)可微反饋鎮(zhèn)定控制器的必要條件,所以理論上不存在光滑的、時(shí)不變狀態(tài)反饋控制器,使非完整系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定。針對這一問題,眾多學(xué)者分別提出了非連續(xù)時(shí)不變鎮(zhèn)定控制器[12-14]、連續(xù)時(shí)變鎮(zhèn)定控制器[15]、混雜控制器[16]三類控制器解決非完整系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定問題。其中非連續(xù)時(shí)不變鎮(zhèn)定控制器只能實(shí)現(xiàn)非全局情況下,系統(tǒng)各狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定。連續(xù)時(shí)變鎮(zhèn)定控制器雖然可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定,但在反饋控制器中需要引入時(shí)間變量?;祀s控制器則根據(jù)預(yù)先設(shè)定的時(shí)間序列在連續(xù)時(shí)不變控制器間切換,使得非完整系統(tǒng)各狀態(tài)指數(shù)收斂。從所得結(jié)論可以看出,上述控制器雖然可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定,但各狀態(tài)均不能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡位置。尤其是當(dāng)各狀態(tài)與平衡點(diǎn)之間偏差較小時(shí),系統(tǒng)過渡時(shí)間較長。

    本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng),提出了2種基于切換控制策略的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器,并分別應(yīng)用齊次系統(tǒng)方法和終端滑模控制理論,證明了在所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點(diǎn)。與一些已有非完整系統(tǒng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器相比,本文提出的2 種控制器均具有非奇異的特點(diǎn)。

    1 問題描述

    本文主要研究了非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)

    的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題,即設(shè)計(jì)反饋控制器

    使得三維鏈?zhǔn)较到y(tǒng)中3 個(gè)狀態(tài)x1,x2,x3,能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡位置。其中:[x1,x2,x3]為三維非完整系統(tǒng)的狀態(tài)向量;[u1,u2]為系統(tǒng)輸入向量;實(shí)際中很多非完整系統(tǒng)可以通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換轉(zhuǎn)換成此類系統(tǒng),如2 輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人、滾動(dòng)的圓盤、獨(dú)輪小車等系統(tǒng)。

    定義1 非線性系統(tǒng)

    是有限時(shí)間穩(wěn)定的是指系統(tǒng)滿足Lyapunov 穩(wěn)定性,且可在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)[2]。其中:f(x)為連續(xù)的向量函數(shù)。

    2 有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

    2.1 基于齊次系統(tǒng)的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

    在設(shè)計(jì)系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間控制器之前,我們先給出一些相關(guān)的引理:

    引理1[2]對Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):

    控制器:

    可以在有限時(shí)間內(nèi)將其各狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡位置。其中:ki>0,且使得多項(xiàng)式:

    為Hurwitz 多項(xiàng)式;αi(i=1,2,…,n)之間滿足:

    并且αn+1=1,αn=α,0<α<1;sign(x)表示符號函數(shù),即:

    在上述定義和引理的基礎(chǔ)上,本文得到了如下定理。

    定理1 非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在切換控制器

    的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中:ki>0,i =1,2,3,且使得多項(xiàng)式

    為Hurwitz 多項(xiàng)式;α0=p/q,p,q 為正奇數(shù)且p<q,α2,α3之間滿足:

    證明:首先由三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)可知:

    當(dāng)u1(x)=1 時(shí),系統(tǒng)的部分狀態(tài)可表示為Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):

    其中:z1=x3,z2=x2,v =u2;由引理1 可知,系統(tǒng)(7)在控制器

    作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中:k2>0,k3>0,且使得多項(xiàng)式:

    為Hurwitz 多項(xiàng)式; α2,α3之間滿足:

    并且α1=1,α2=α,0<α<1.

    將z1=x3,z2=x2,v =u2代入控制器(8),可知,系統(tǒng)(1)在控制器

    的作用下,狀態(tài)x2,x3能在有限時(shí)間[0,t1]內(nèi)從非平衡位置收斂至平衡位置x2=0,x3=0,并且由x·1=1可知,狀態(tài)x1在這段時(shí)間內(nèi)的變化有界,從初始值x10變化到(x10+t1).

    而當(dāng)狀態(tài)x2,x3在t1時(shí)刻到達(dá)平衡位置后,由于x2=0,x3=0,因此u2=0,x2u1=0,故控制輸入u1從u1=1 切換至u1=-k1xα01后,系統(tǒng)狀態(tài)x2,x3可以保持在平衡位置不變,而求解微分方程x·1=-k1xα01,可得狀態(tài)x1關(guān)于時(shí)間的方程:

    由此可知狀態(tài)x1可以在有限時(shí)間段(t1,t2]內(nèi)從(x10+t1)收斂至平衡位置x1=0,并且:

    因此,3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在切換控制器(6)的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。定理得證。

    2.2 基于終端滑模的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

    定理2 非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在控制器

    的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中,k >0;γ=n0/m0,n0,m0為互質(zhì)的正奇數(shù)且n0<m0;β >0;p =m/n,m,n 為互質(zhì)的正奇數(shù)且n<m<2n;λ >0;q =n1/m1,m1,n1為互質(zhì)的正奇數(shù)且n1<m1.

    證明:當(dāng)u1(x)=1 時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

    其中,子系統(tǒng)

    為一個(gè)2 階Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng)。

    首先證明子系統(tǒng)(14)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑動(dòng)平面s:

    對所選滑動(dòng)平面式(15)求導(dǎo)得:

    將式(12)中u2和式(14)代入式(16),得:

    當(dāng)p=m/n;m,n 為互質(zhì)的正奇數(shù)且n<m<2n時(shí),xp-12≥0:

    1)若xp-12>0,則對于任意x2,總存在ε,使得λpx2p-1>ε >0,因此,子系統(tǒng)(14)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑動(dòng)平面。

    2)若xp-12=0,則x2=0,若此時(shí)x3=0,則s=0.若x3≠0,由=u2可推得:

    由此可知,系統(tǒng)不會(huì)停留在x2=0 且x3≠0 的狀態(tài),而當(dāng)x2≠0 時(shí),xp-12>0,問題可歸于1).

    因此,子系統(tǒng)(14)在有限時(shí)間[0,t1]內(nèi)到達(dá)切換平面。

    由式(14)和s =x2p+βx3=0 可得:即求解該微分方程,可得狀態(tài)x3關(guān)于時(shí)間的方程:

    由此可知,子系統(tǒng)(14)各狀態(tài)在到達(dá)滑模面s后,可在有限時(shí)間段(t1,t2]內(nèi)沿滑模面s 收斂至原點(diǎn),且所需時(shí)間為

    當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x2和x3到達(dá)平衡位置后,由于x2=0,x3=0,因此u2=0,x2u1=0,故控制輸入u1從u1=1切換至u1=-kxγ1后,系統(tǒng)其余狀態(tài)x2和x3可以保持在平衡位置不變,而求解微分方程x·1=-kxγ1,可得狀態(tài)x1關(guān)于時(shí)間的方程:

    由此可知狀態(tài)x1可以在有限時(shí)間段(t2,t3]內(nèi)從(x10+t2)收斂至平衡位置x1=0,并且:

    綜合上述證明可知,非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)各狀態(tài)在控制器(12)的作用下在有限時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)。定理得證。

    2.3 2 種有限時(shí)間控制器比較

    從上述2 種有限時(shí)間控制器證明過程可知,上述兩種控制器均可使系統(tǒng)(1)各狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡位置。但相比于控制器(6),控制器(12)的參數(shù)與系統(tǒng)各狀態(tài)收斂至平衡狀態(tài)時(shí)刻的關(guān)系更為清晰,當(dāng)參數(shù)κ、β、λ、m0-n0、m1-n1、m -n 越大時(shí),在控制器(12)的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)能更快地到達(dá)平衡位置,否則系統(tǒng)各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時(shí)間較長。

    3 仿真

    本節(jié)各圖中,狀態(tài)x1,x2的單位為red;x3的單位為rad2;控制輸入u1、u2的單位為rad/s.

    3.1 基于齊次系統(tǒng)的有限時(shí)間控制方法

    由定理1 可知,3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在如下控制器:

    的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零點(diǎn)。在滿足定理1 中參數(shù)選擇條件下,控制器各參數(shù)分別選取為:k1=5,k2=2,k3=1,α0=1/3,α2=3/5,α3=3/7.

    當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=1,x2(0)=2,x3(0)=3 時(shí),在控制器(22)的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖1和圖2所示。

    當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=10,x2(0)=20,x3(0)=30 時(shí),在控制器(22)的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖3和圖4所示。

    圖1 系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下,各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.1 The curves of states of the system (1)under the controller (22)

    圖2 系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下,各控制輸入曲線Fig.2 The curves of inputs of the system (1)under the controller (22)

    圖3 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下,各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.3 The curves of states of the system (1)under the controller (22)when the initial states are far away from the equilibrium

    圖4 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下,各控制輸入曲線Fig.4 The curves of inputs of the system (1)under the controller (22)when the initial states are far away from the equilibrium

    從圖1和圖3可以看出,不論三維非完整系統(tǒng)各狀態(tài)的初始位置是否遠(yuǎn)離平衡狀態(tài),系統(tǒng)(1)均可以在控制器(22)的作用下收斂于平衡狀態(tài),但當(dāng)初始位置遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí),各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時(shí)間較長,同時(shí)從圖2和圖4可以看出控制器的切換時(shí)刻也較晚,主要是由于狀態(tài)x2、x3的初始位置遠(yuǎn)離平衡位置所致。

    3.2 基于終端滑模的有限時(shí)間控制方法

    由定理2 可知,3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在如下控制器:

    的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零點(diǎn)。在滿足定理2 中參數(shù)選擇條件下,控制器各參數(shù)分別選取為:k =1,γ =1/3,β =1,λ =1,p =5/3,q=1/3.

    當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=1,x2(0)=2,x3(0)=3 時(shí),在控制器(23)的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖5和圖6所示。

    當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=10,x2(0)=20,x3(0)=30 時(shí),在控制器(23)的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖7和圖8所示。

    從圖5和圖7可以看出,與控制器(22)相似,不論系統(tǒng)(1)各狀態(tài)的初始位置是否遠(yuǎn)離平衡狀態(tài),該系統(tǒng)均可以在控制器(23)的作用下收斂于平衡狀態(tài),但當(dāng)初始位置遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí),各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時(shí)間較長,同時(shí)從圖6和圖8可以看出控制器的切換時(shí)刻也較晚,主要是由于狀態(tài)x2、x3的初始位置遠(yuǎn)離平衡位置所致。

    圖5 系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下,各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 The curves of states of the system (1)under the controller (23)

    圖6 系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下,各控制輸入曲線Fig.6 The curves of inputs of the system (1)under the controller (23)

    圖7 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下,各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.7 The curves of states of the system (1)under the controller (23)when the initial states are far away from the equilibrium

    綜合以上2 種控制方法,可以看出,基于齊次系統(tǒng)方法的有限時(shí)間控制器和基于終端滑模方法的有限時(shí)間控制器均可以在有限時(shí)間內(nèi)使得三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)的所有狀態(tài)由任意初始位置收斂至平衡狀態(tài)。同時(shí),對比圖1和圖5、圖3和圖7,可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)(1)各狀態(tài)在相同初始位置下,控制器(23)比控制器(22)能夠使系統(tǒng)各狀態(tài)在更短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡位置,即系統(tǒng)(1)在基于終端滑模方法的有限時(shí)間控制器的作用下收斂速度更快一些,且這一優(yōu)勢在系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離平衡位置較近時(shí)尤為明顯。從圖2、圖4、圖6和圖8可以看出,系統(tǒng)的控制輸入均為有界輸入,但同時(shí)也可以看到,由于本文所提控制器的控制輸入采用了切換控制策略,因此在控制過程中控制輸入出現(xiàn)了較大幅度的變化,還有待利用無擾動(dòng)切換技術(shù)予以改進(jìn)。

    圖8 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下,各控制輸入曲線Fig.8 The curves of states of the system (1)under the controller (23)when the initial states are far away from the equilibrium

    4 結(jié)論

    本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題,提出了2 種基于切換控制策略的有限時(shí)間控制器,并基于齊次系統(tǒng)方法和終端滑模控制理論進(jìn)行了證明:當(dāng)所設(shè)計(jì)控制器各參數(shù)滿足給定條件時(shí),在所設(shè)計(jì)控制策略的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)可在有限時(shí)間內(nèi)從任意非平衡位置收斂于平衡位置。最后利用仿真示例驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性,并對兩種控制器的性能進(jìn)行了比較,從仿真結(jié)果可以看出,本文所提控制策略均能較好的解決三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題。

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