2010年數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題評(píng)析

● (德清縣第一中學(xué) 浙江德清 313200)

在2010年全國各地的數(shù)學(xué)高考試卷中，應(yīng)用題依然占據(jù)重要一席.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答是分析問題和解決問題能力的高層次表現(xiàn)，能反映出考生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.因此從1993年開始，數(shù)學(xué)高考就逐步開始加強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)踐能力的考查.近幾年來，隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，應(yīng)用題逐漸成為高考考查的一個(gè)重點(diǎn).

1 應(yīng)用型問題在高考中的地位

2010年全國各地高考試卷中有關(guān)應(yīng)用題的命題按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考對數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)踐能力的考查要求：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題；能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料；能夠?qū)λ峁┑男畔①Y料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表述、說明.

2 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

具體地講，2010年全國各地?cái)?shù)學(xué)高考試卷中的應(yīng)用題可謂是精彩紛呈.首先表現(xiàn)在問題情境的豐富多彩，既有傳統(tǒng)的“摸球問題”、“種子發(fā)芽率”、“海上航行”、“電視塔高度測量”、“撲克牌的抽取”、“工廠的生產(chǎn)計(jì)劃與利潤”等問題，也有新穎的“品酒師的酒味鑒別功能”、“營養(yǎng)師為兒童定制午餐與晚餐”問題，以及社會(huì)關(guān)注的“城市缺水”問題、“志愿者為老人提供幫助”問題，還出現(xiàn)了具有時(shí)代特征的“上海世博會(huì)入園人數(shù)”、“志愿者赴世博會(huì)場館”、“迎接2010廣州亞運(yùn)會(huì)”等問題，體現(xiàn)了應(yīng)用題背景的多樣性.但從解決應(yīng)用題的第一關(guān)“閱讀理解”來講，所有問題都很樸實(shí)，貼近生活，易于學(xué)生理解，顯然未從背景角度設(shè)置障礙.從應(yīng)用題考查的具體內(nèi)容來看，出現(xiàn)頻率較高的仍然是近幾年的熱點(diǎn)“概率”問題，尤其是大題，譬如浙江、安徽、江蘇、江西、山東、四川等省的理科卷和部分文科卷，都重點(diǎn)考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等有關(guān)概率計(jì)算的問題；在湖南、遼寧、廣東等卷的大題中，出現(xiàn)了“統(tǒng)計(jì)”或“概率與統(tǒng)計(jì)”型的應(yīng)用題，起到了有效降低難度的作用；另有“線性規(guī)劃”、“解三角形”、“函數(shù)求最值”等出現(xiàn)在大題中，小題中出現(xiàn)較多的是“排列組合與計(jì)數(shù)原理”、“古典概型”、“程序框圖”、“函數(shù)應(yīng)用”、“抽樣方法”、“統(tǒng)計(jì)圖表”等應(yīng)用型題目.總體來講，全國各地試卷中的應(yīng)用題雖然形式新穎、內(nèi)容廣泛，但都立意明確，難度不大.

3 亮點(diǎn)掃描

3.1 關(guān)注生活，學(xué)以致用

例1某地有居民100 000戶，其中普通家庭99 000戶,高收入家庭1 000戶．從普通家庭中以簡單隨機(jī)抽樣方式抽取990戶，從高收入家庭中以簡單隨機(jī)抽樣方式抽取100戶進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有120戶家庭擁有3套或3套以上住房，其中普通家庭50戶，高收人家庭70戶．依據(jù)這些數(shù)據(jù)并結(jié)合所掌握的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，你認(rèn)為該地?fù)碛?套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計(jì)是________.

(2010年安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析本題為分層抽樣問題.首先分別根據(jù)普通家庭和高收入家庭中擁有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000戶居民中擁有3套或3套以上住房的戶數(shù)，它除以100 000得到的值即為該地?fù)碛?套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計(jì).

本題設(shè)置的情境具有時(shí)代氣息，是當(dāng)前社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)問題，背景清晰、立意新穎、設(shè)問巧妙、獨(dú)具匠心.主要運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)中的分層抽樣、用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要關(guān)注“知識(shí)的運(yùn)用”.本題以小題的形式出現(xiàn)，減輕了學(xué)生應(yīng)用題的壓力，很好地把握了應(yīng)用題的度.

3.2 回歸課本，體現(xiàn)課標(biāo)

例2一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用2種方法來檢測.方法1：在10個(gè)箱子中各任意抽查1枚；方法2：在5個(gè)箱子中各任意抽查2枚.國王用方法1和方法2能發(fā)現(xiàn)至少1枚劣幣的概率分別為p1和p2，則

( )

A.p1=p2B.p1p2

D.以上3種情況都有可能

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題考查的是不放回的抽球問題，重點(diǎn)考查二項(xiàng)分布的概率.本題是北師大版新課標(biāo)的課堂作業(yè)，作為舊大綱的最后一年高考，給出了一個(gè)強(qiáng)烈的導(dǎo)向信號(hào).2010年全國各地考卷中的很多應(yīng)用題的背景都與課本例題相似，可以說是課本例題的變式題.

3.3 綜合考查，出現(xiàn)壓軸

例3品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的2次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分.

現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a1,a2,a3,a4表示第1次排序時(shí)被排為1,2,3,4的4種酒在第2次排序時(shí)的序號(hào)，并令

X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，

則X是對2次排序的偏離程度的一種描述.

(1)寫出X的可能值集合.

(2)假設(shè)a1,a2,a3,a4等可能地為1,2,3,4的各種排列，求X的分布列.

(3)某品酒師在相繼進(jìn)行的3輪測試中，都有X≤2.

①試按第(2)小題中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測試相互獨(dú)立)；

②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.

(2010年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析作為“壓軸題”，本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，涉及到排列組合、離散型隨機(jī)變量的概率分布、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率公式、小概率事件發(fā)生的含義等.從數(shù)學(xué)思想與方法而言，重點(diǎn)考查了概率思想在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，考查了考生的抽象概括能力、應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí).解答本題的難點(diǎn)，首先是在復(fù)雜場合下進(jìn)行計(jì)數(shù)的能力.在解答第(1)小題時(shí)，若根據(jù)對4個(gè)數(shù)字奇、偶性的分析概括出X的可能值，則需要高度的抽象概括能力，多數(shù)考生不會(huì)采用這樣的方法；若采用列舉法將24種排列全部列出，則需要時(shí)間和耐心，稍有不慎，失誤在所難免.第(3)小題“你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由”屬于開放式的設(shè)問方式，有利于考查考生的發(fā)散性思維.考生需要首先發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再去論證結(jié)論.這樣的處理增加了問題的難度，增加了本題作為壓軸題的份量.

4 復(fù)習(xí)建議

4.1 重視基礎(chǔ)，回歸教材

從2010年全國各地?cái)?shù)學(xué)高考試題中的應(yīng)用題來看，常規(guī)題型依然是考查的主流，考查的幾乎都是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中最基本、最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法.因此高三復(fù)習(xí)應(yīng)改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用知識(shí)處理問題.教材是高考試題的重要知識(shí)載體，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”.因?yàn)樵趶?fù)習(xí)過程中，以課本為“藍(lán)本”對題目舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下功夫，力求做到“以不變應(yīng)萬變”.

4.2 建立模型，突破三關(guān)

解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，也就是將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將這些關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來.一般地，解決應(yīng)用題需突破以下3關(guān)：

(1)閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義;

(2)建模轉(zhuǎn)化關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;

(3)數(shù)理求解關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型．

4.3 綜合應(yīng)用，滲透思想

“重視綜合能力的考查、在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題”是近幾年數(shù)學(xué)高考命題的重大改革趨勢，2010年的應(yīng)用題體現(xiàn)了綜合運(yùn)用的趨勢，譬如概率與統(tǒng)計(jì)、概率與排列組合、函數(shù)與幾何等的綜合應(yīng)用.

探究性、應(yīng)用性是創(chuàng)新型試題的重要組成部分，探究性、應(yīng)用性試題具有強(qiáng)大的考查功能，能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)試題的不足，填補(bǔ)傳統(tǒng)試題的考查盲區(qū).在教學(xué)中，一定要精心設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)探究的教學(xué)和數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，同時(shí)也要把數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的理念和思想滲透和融入到常規(guī)課堂教學(xué)中.