對(duì)稱邊界條件正交各向異性板的屈曲分析

王悅帆,張海峰,王彥宗

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710055)

薄板的屈曲問題是工程中比較常見的問題,若利用普通解法求解四邊固定正交各向異性矩形板的屈曲問題比較困難,計(jì)算復(fù)雜,不易得到正確結(jié)果。但是如果利用傅立葉級(jí)數(shù)求解,求解起來(lái)就變的比較容易。

此法首先須將撓度假設(shè)為傅立葉級(jí)數(shù)形式,然后求出撓度各階導(dǎo)數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)形式,再將其代入邊界條件和屈曲的微分方程進(jìn)行求解。為簡(jiǎn)化計(jì)算取1/4板為研究對(duì)象。對(duì)于四邊固定的邊界條件,可以取兩臨邊簡(jiǎn)支,其中一邊受有彎矩來(lái)求得一個(gè)撓度表達(dá)式,再將兩個(gè)邊的邊界條件對(duì)調(diào),求得另外一個(gè)撓度表達(dá)式,此時(shí)將兩個(gè)表達(dá)式相加求得疊加解,從而求得臨界力。

1 基本方程

正交各向異性板屈曲的微分方程

當(dāng)不受縱向剪力,即Nxy=0時(shí)

2 疊加解

在邊界條件對(duì)稱時(shí)(如圖1所示),其解可分為:關(guān)于x=a/2與y=b/2雙軸對(duì)稱;關(guān)于x=a/2與y=b/2雙軸反對(duì)稱;關(guān)于x=a/2對(duì)稱而關(guān)于y=b/2反對(duì)稱;關(guān)于x=a/2反對(duì)稱而關(guān)于y=b/2對(duì)稱等4個(gè)問題。矩形板屬于關(guān)于x=a/2與y=b/2雙軸對(duì)稱的問題。此問題給出兩個(gè)疊加解。所有疊加解的傅立葉級(jí)數(shù)都取如下形式:

2.1 疊加解一

圖1 邊界條件對(duì)稱板

圖2 疊加解一受力圖

如圖2所示,矩形板兩鄰邊簡(jiǎn)支,且在x=0的邊上受有彎矩。其邊界條件為:

故x=0邊上的邊界條件可化為:

且y=0邊上的邊界條件為:

假設(shè)其三階導(dǎo)數(shù)為以下形式:

由傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算求得:

二階導(dǎo)數(shù)可直接微分得到:

將式(5)代入式(4),得:

將式(6)式代入式(3)式得三階導(dǎo)數(shù):

進(jìn)而求得各階偏導(dǎo)數(shù):

將以上各階偏導(dǎo)數(shù)代入式(1)得:

由于sinαmxsinβny≠0,故

解得:

將其代入式(2),即可求得撓度表達(dá)式:

即得疊加解一。

2.2 疊加解二

如圖3所示,矩形板兩鄰邊簡(jiǎn)支,且在y=0的邊上受有彎矩。其邊界條件為:

且x=0的邊界條件為:

圖3 疊加解二受力圖

利用與疊加解一同樣的方法可以得到:

求得疊加解二的撓度表達(dá)式為:

3 邊界條件的疊加

將疊加解一與疊加解二相加,即式(7)與式(8)相加,求得兩鄰邊簡(jiǎn)支且兩邊都受有彎矩時(shí)的撓度表達(dá)式,即

即可求出滿足全部邊界條件的解。

對(duì)式(9)求偏導(dǎo)數(shù),得:

由上兩式聯(lián)立,只需求得方程組中的cn和dm,然后將求解得到的cn和dm回代到式(9)中便可最終求得撓度w表達(dá)式。

4 數(shù)值計(jì)算

如圖4所示的圖形,四邊固定的正交各向異性矩形薄板,它的兩對(duì)邊受有均布?jí)毫?在板邊的每單位長(zhǎng)度上為Px=1 kN/m,其中E1/E2=40,G12/E2=0.5,V12=0.25。

用matlab計(jì)算結(jié)果如表1

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