等效思想的充分應(yīng)用
——單擺周期公式的分析與比較

陳麗欣

(山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 山西 太原 030002)

平動非慣性參考系中單擺的周期問題在一些競賽題中經(jīng)常考到，學(xué)生多是運(yùn)用等效的物理思想，求得等效重力加速度a′，代替慣性參考系中在只有重力和擺線張力作用下的單擺的周期公式

(1)

中的重力加速度值g，從而得到答案.這里的加速度a′是指除擺線的張力外，擺球所受其他力的合力所產(chǎn)生的加速度.下面舉兩個例子試說明之.

【例1】以加速度a向上做加速運(yùn)動的電梯頂部掛一擺線長為l的單擺，擺球質(zhì)量為m，則單擺的周期為何？

圖1

解：擺球所受的力，除擺線張力之外,還有豎直向下的重力mg和豎直向下的慣性力ma，如圖1所示.這兩個力的合力所產(chǎn)生的加速度即為等效重力加速度a′=g+a代替(1)中的g，即得此單擺的周期公式

圖2

【例2】以加速度a向右做加速運(yùn)動的小車頂部掛一擺長為l的單擺，擺球質(zhì)量為m，則單擺的周期為何？

解：擺球所受的力，除擺

上述兩例均是從等效原理出發(fā)，找到等效重力加速度代入公式即得.但很多時候?qū)W生往往不能接受這種等效處理方式，認(rèn)為有些牽強(qiáng).而且這種做法也的確是機(jī)械的代入公式求答案，對學(xué)生思維能力的提高并沒有提供很好的幫助.

筆者在給競賽班學(xué)生上課時，給出了平動非慣性參考系中單擺周期公式的一般性推導(dǎo)，其過程如下：

圖3

如圖3，設(shè)擺球在平衡位置時偏離豎直方向θ0角，擺球在平衡位置時切向力為零.則有方程

(2)

解得

(3)

(4)

如圖4所示，在K′系中，假設(shè)擺球任一時刻相對于平衡位置的擺角為θ.

圖4

(5)

整理有

(6)

即

(7)

亦即

(8)

把(3)、(4)式代入(8)式，因?yàn)棣冉呛苄?，故可取sinθ≈θ，cosθ≈1，則有

(9)

(10)

(11)

則

(12)

上式即為平動非慣性參考系中單擺的周期公式.

可以驗(yàn)證利用上式解例1、例2所得到的結(jié)果和用等效處理所得到的結(jié)果是一致的.我們再看一道例題.

【例3】如圖5所示，在傾角為φ的固定光滑斜面上有一從靜止開始下滑的小車，車廂頂部有一擺長為l的單擺，擺球質(zhì)量為m，求此擺的周期.

圖5

解：車為非慣性平動參考系，其相對地面沿斜面向下的加速度a=gsinφ，故

代入(11)式有

圖6

我們再用求等效重力加速度的方法求解此題.

擺球所受的擺線張力以外的其他力，為向下的重力mg和沿斜面向上的慣性力f慣=mgsinφ.這兩個力的合力所產(chǎn)生的等效重力加速度a′可由余弦定理求得

gcosφ

故周期

可見，兩種方法所得到的結(jié)果是一致的.雖然公式(11)的導(dǎo)出稍顯麻煩，但其推導(dǎo)過程更令學(xué)生信服，其結(jié)果更具說服力和一般性.我們在競賽教學(xué)中不僅要注意給學(xué)生灌輸一定的物理思想，更要注意借助一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)求出一般的定量的結(jié)論.當(dāng)然最好是這兩者結(jié)合起來才能收到事半功倍的效果.