平行光路方向運動的光柵多普勒效應(yīng)及其在測微小位移中的應(yīng)用

張 萌,焦文苑,於菪珉,潘永華,高惠濱,丁劍平

(南京大學(xué) 物理系,江蘇南京 210093)

1 引 言

激光雙光柵法測微小位移實驗是面向本科生開設(shè)的大學(xué)物理實驗[1],該實驗利用運動光柵的多普勒效應(yīng)產(chǎn)生頻移光,與經(jīng)過另一片靜止光柵的非頻移光平行疊加,形成光拍來精確測定微弱振動的位移[2-3].運動光柵沿著圖1中 y方向運動(沿垂直光路方向運動,簡稱垂直運動).

圖1 光柵運動示意圖

如果運動光柵沿圖1中 x方向,即沿平行光路的方向運動(以下簡稱平行運動),激光束經(jīng)過后會產(chǎn)生一種新的多普勒頻移現(xiàn)象.本文推導(dǎo)了該現(xiàn)象的產(chǎn)生原理和此情況下測量微弱振動位移的計算公式,并通過實驗對其正確性進(jìn)行了驗證.

2 原 理

2.1 平行運動光柵的光多普勒效應(yīng)

下面利用波陣面分析平行運動光柵產(chǎn)生光的多普勒頻移的原理.如圖2所示,考慮一正弦相位光柵,光柵在y方向折射率不同導(dǎo)致光波經(jīng)過后沿y方向有不同的相位落后[4].對應(yīng)于光柵的同一位置,其相位落后是相同的.不失一般性,設(shè)t=0時刻有一頻率為ω0,相位φ=0的平面波從光柵左側(cè)正入射,經(jīng)調(diào)制后變?yōu)檎倚偷某錾洳嚸?.A點處光波的相位調(diào)制為φ0.由于光柵并不改變?nèi)肷涔獾臅r間頻率,t=0時刻從A點沿與波陣面垂直方向發(fā)出一頻率為ω0的光波.經(jīng)過時間 t,光柵向前移動了 l=vt的距離,此時垂直入射光柵的平面波相位為經(jīng)過光柵調(diào)制變?yōu)槌錾洳嚸?,并在B處發(fā)出一相位為的光波.此時從A點發(fā)出的光波已向前傳播了時間t,即此時A點的相位落后初始相位ω0t,則 A點相位變?yōu)棣誂=ω0t+φ0.考慮到 C與B同時到達(dá)屏,故有 A和B發(fā)出的衍射光波相位差為:Δφ=φC-φB.另有

圖2 光波相位變化

所以

其中

則衍射光波可表示為

即水平運動的相位光柵產(chǎn)生的衍射光相對原來靜止的相位光柵有ωd的頻移.

當(dāng)(1)式中θ滿足光柵方程 d sinθ=nλ時,衍射極大.其中 d為光柵常量,θ為衍射角,n為衍射級次,λ為光波波長.即在特定的θ角方向上可以得到頻移后的光波信號,頻移量由(1)式和光柵方程決定.

再進(jìn)一步分析,當(dāng) v沿 x軸正向時,+n和-n級的衍射光的頻移均相同,為cosθ)v≥0,這是因為所有級次的衍射光的方向均順著運動方向,造成光頻增加.顯然,當(dāng) v沿 x軸負(fù)向時,由于所有級次的衍射光的方向均逆著運動方向,所以所有級次的衍射光光頻均減小.因此從本質(zhì)上講,這屬于光的多普勒效應(yīng)[4].

2.2 光拍的獲得及微弱振動位移量的檢測

本實驗中,為了在光頻中檢測出多普勒頻移量,使經(jīng)過運動光柵的有頻移的光再經(jīng)過一靜止的光柵,如圖3所示.由于通過雙光柵后出射的衍射光包含了不同頻率而又平行的光束,它們平行疊加就形成拍,如圖4所示.此時光電檢測器檢測到光拍信號,其頻率為[1]

圖3 雙光柵形成光拍

圖4 實驗所得光拍信號波形圖

其中λ為He-Ne激光波長,v為光柵振動的瞬時速度,θ為衍射角.

由于 f拍與光頻率無關(guān),當(dāng)光柵密度為常數(shù)時,某一確定級次的光的拍頻 f拍只正比于光柵運動速度v.若把光柵粘在周期運動的音叉上,則v是周期性變化的,所以 f拍也隨時間周期性變化,微弱振動的位移振幅為

3 實驗裝置及實驗內(nèi)容

3.1 實驗裝置

運動光柵平行運動測量微小位移的實驗裝置示意圖如圖5所示,將運動光柵貼在音叉的一條臂上,音頻信號發(fā)生器通過一耳機(jī)驅(qū)動音叉產(chǎn)生微小振動,從而帶動運動光柵平行振動.將靜止光柵固定在運動光柵前.激光分別通過兩光柵后形成光拍,用硅光電池接收,并在示波器上顯示光拍信號的波形.同時,另一耳機(jī)貼近音叉放置,作為接收耳機(jī),直接接收音叉振動信號,并轉(zhuǎn)換成電信號,輸入示波器顯示波形用于比較,示波器中顯示的電壓信號的振幅正比于音叉振動的振幅.

圖5 實驗裝置示意圖

3.2 實驗內(nèi)容

實驗中采用光柵常量為200 mm-1的光柵,測得音叉的共振頻率為346.76 Hz.在音叉共振頻率附近改變驅(qū)動音叉振動的頻率,測得音叉在不同振動頻率下,運動光柵運動時的半個周期內(nèi)的波形數(shù)N和接收音叉振動信號的耳機(jī)輸出的電壓信號的振幅U.

由半個周期內(nèi)的波形數(shù) N,根據(jù)(3)式可計算出音叉振動的位移,即需要測量的微小位移量.

4 實驗結(jié)果及原理驗證

4.1 定性驗證

利用音叉振動的諧振曲線定性地驗證光柵平行運動時的光的頻移公式.

圖6(a)為利用雙光柵(平行運動)原理測量得到的音叉諧振曲線.圖6(b)為直接利用接收耳機(jī)輸出的電壓信號(正比于音叉振動的振幅)繪制的音叉諧振曲線.

由圖6可知,利用雙光柵(平行運動)原理測得的音叉諧振曲線與用耳機(jī)接收到的振動信號描繪的音叉諧振曲線一致.這說明音叉振動的振幅正比于半個周期內(nèi)的波形數(shù),驗證了運動光柵平行運動時衍射光的頻移正比于光柵運動速度.

圖6 音叉的諧振曲線

4.2 定量驗證

進(jìn)一步通過與光柵垂直運動時數(shù)據(jù)比較定量地驗證光柵平行運動時的光頻移(1)式.

已知當(dāng)粘在音叉上的運動光柵垂直運動時,音叉振幅的計算公式[1]為

而由(3)式可知運動光柵平行運動時音叉振幅為

可見,這2種情況下音叉振幅與半個周期內(nèi)的波形數(shù)均呈線性關(guān)系,線性系數(shù)分別為 k1,k2.理論上兩者比值為

在運動光柵垂直和水平運動測量微小位移過程中,使用的均為光柵常量為200 mm-1的光柵,均為一級衍射角,He-Ne激光的波長為λ=6.328×10-7m.

在實驗中,測量不同頻率下接收耳機(jī)輸出的電壓信號(正比于音叉的振幅)及半個周期內(nèi)的波形數(shù),進(jìn)行線性擬合,得到斜率,即為比例系數(shù).在運動光柵垂直運動和水平運動時分別進(jìn)行上述測量得到2條直線,如圖7所示.由實驗測得它們的斜率的比值為0.060.實驗值與理論值的偏差為4.8%,驗證了(1)式.

圖7 音叉輸出電壓的振幅和 T/2內(nèi)的波形數(shù)的關(guān)系

5 原理的拓展

其實不僅僅當(dāng)激光經(jīng)過垂直或水平運動的光柵上會產(chǎn)生頻移,當(dāng)光柵的運動速度與光柵平面法向有任意夾角α?xí)r,衍射光相對于入射光均會產(chǎn)生頻移現(xiàn)象.

如圖8所示,當(dāng)光柵的速度和光柵平面的法向有α的夾角時,對應(yīng)于同一級次的衍射光,在波陣面上發(fā)出的點有v t的位移,造成的相位差為將α=90°代入(6)式,得 :

即運動光柵沿垂直方向運動時的相位差公式.將α=0°代入(6)式 ,得 :

圖8 原理的拓展

即運動光柵沿平行方向運動時的相位差公式.

可見,激光垂直入射到運動光柵上,當(dāng)運動光柵的速度和光柵平面的法向有任意夾角時,均會產(chǎn)生頻移現(xiàn)象,進(jìn)而可以用來測量微小位移量.

6 結(jié)束語

本文驗證了運動光柵平行光路運動時,衍射光相對于入射光可以產(chǎn)生頻率的變化.從理論上推導(dǎo)了頻移公式,利用這個原理測量了微小位移.通過與運動光柵垂直方向運動的實驗相比較,驗證了理論的正確性.對此理論還做了進(jìn)一步的拓展,激光垂直入射到運動光柵上,當(dāng)運動光柵的速度和光柵平面的法向有任意夾角時,均會產(chǎn)生頻移現(xiàn)象,從原理上講是光的多普勒效應(yīng).

[1] 潘元勝,馮璧華,于瑤.大學(xué)物理實驗(第二冊修訂版)[M].南京:南京大學(xué)出版社,2004:159-164.

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