類比教學(xué)法講解麥克斯韋速率分布律

宋立平

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理教研室 天津 300160)

通過(guò)對(duì)學(xué)生物理學(xué)習(xí)的調(diào)查發(fā)現(xiàn),物理學(xué)習(xí)不好的問(wèn)題癥結(jié)在于對(duì)物理概念、規(guī)律、過(guò)程理解不透，似是而非.怎樣才能使學(xué)生透徹理解物理，類比的理解方法很重要；通過(guò)類比可以把新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái).麥克斯韋速率分布律是一條很重要的物理規(guī)律，普通物理的教學(xué)中學(xué)生對(duì)它的認(rèn)識(shí)和理解不夠深刻.在教學(xué)過(guò)程中，筆者采用類比教學(xué)方法， 講解麥克斯韋速率分布函數(shù)，加深了學(xué)生的認(rèn)識(shí)和理解，產(chǎn)生了良好的教學(xué)效果.

f(v)即麥克斯韋速率與分布函數(shù)，表示分布在速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.

1 講解速率分布函數(shù)

講解之前，可以先給學(xué)生以考試成績(jī)舉例.對(duì)一個(gè)班級(jí)來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為考各個(gè)分?jǐn)?shù)的學(xué)生都有，但最后的考試分?jǐn)?shù)分布基本上都呈正態(tài)分布；而對(duì)于單個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他可以考任何的分?jǐn)?shù)，即考各個(gè)分?jǐn)?shù)的機(jī)會(huì)都有，但大部分學(xué)生的得分是七八十分.然后轉(zhuǎn)入正題，麥克斯韋速率分布律中，對(duì)N個(gè)分子而言，具有各種速率的分子都有；對(duì)一個(gè)分子來(lái)說(shuō)，取各種速率值的機(jī)會(huì)都存在.

如何反映考試分?jǐn)?shù)的分布呢？對(duì)于一個(gè)班級(jí)來(lái)說(shuō)，人數(shù)不多，可以以分?jǐn)?shù)為橫軸，人數(shù)為縱軸，從圖形上.很容易看出成績(jī)的分布.如何反映分子按速率的分布呢？和統(tǒng)計(jì)成績(jī)一樣，也用這種方法，縱軸表示f(v)，橫軸表示分子的速率v，從圖形上就很容易看出分子的速率分布，由做功方面的知識(shí)，橫軸為位移，縱軸為力，兩者的乘積就是功，表現(xiàn)在圖形上就是曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積(圖1)，即

(1)

同理用f(v)dv表示v～v+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積表示速率處于v1～v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比(圖2).

圖1

圖2

當(dāng)取所有的速率時(shí)，其分子數(shù)就是總分子數(shù)，稱歸一化條件.即

(2)

2 求平均速率的講解

求平均速率也是一個(gè)難理解的地方，可以先詢問(wèn)學(xué)生如何求分?jǐn)?shù)在60～80分學(xué)生的平均分.平均分就是總的分?jǐn)?shù)除以總的人數(shù)，即

然后提示學(xué)生，假如分?jǐn)?shù)值是連續(xù)的，如何求平均分？由前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的力學(xué)知識(shí)知道，當(dāng)一個(gè)物理量不再是間隔的，而是連續(xù)的，應(yīng)該用積分求解.所以用微元的形式表示，分?jǐn)?shù)處于F～F+dF分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為dn，由于分?jǐn)?shù)變化量很小，可以假設(shè)這一區(qū)間的分?jǐn)?shù)都是F，所以平均分為

(3)

同理我們求速率分布在v1～v2區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率.取v～v+dv區(qū)間，此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為

dN=Nf(v)dv

則此區(qū)間內(nèi)所有分子的速率之和為

vdN=vNf(v)dv

平均速率就是此區(qū)間的速率之和除以此區(qū)間的分子數(shù).

所以

(4)

如果是求所有分子的平均速率，就是把積分上下線改成從零到無(wú)窮，由歸一化條件

所以有