平面射影幾何中二維射影變換不變元素的分布

周明旺

(連云港師范高等?？茖W校 數(shù)學系,江蘇 連云港 222006)

二維射影變換是平面射影幾何的核心內(nèi)容之一,主要研究了其不變元素(不變點、不變直線)的存在性和解法,而其不變元素的結(jié)合關(guān)系則是二維射影變換的核心內(nèi)容,它歸根結(jié)底由射影變換的系數(shù)矩陣所決定,也就是取決于特征方程的根的分布情況.本文重點討論了二維射影變換的不變點與不變直線結(jié)合關(guān)系的分布特征,并給出不變元素的分布對射影變換的影響.文中總假設射影變換的特征方程的根均為實數(shù),即f(λ)=|A-λE|=0或有三個實數(shù)根,或有一個實數(shù)根和一對共軛虛根.

1 預備知識

(1)

則稱φ是π到π/的二維射影對應;特別地,若π/=π,則稱φ是π上的二維射影變換.

利用線性代數(shù)知識,(1)不僅給出了兩個點場之間的射影對應,而且也同時給定了同底兩線場之間的射影對應,共誘導了下列四個式子:

表1 二維射影變換誘導公式表

其中Aij為aij的代數(shù)余子式,由(1)的限制條件|A|≠0,ρ≠0,表1中各對應式的系數(shù)矩陣均非奇異,且有比例常數(shù)λ≠0,σ≠0,μ≠0.

引理1 二維射影變換(1)有不變元素的充要條件是f(λ)=|A-λE|=0有根.

推論1 二維射影變換(1)至少有一個實的不變點和一條實的不變直線.

2 主要結(jié)果

2.1 不變點與不變直線的結(jié)合關(guān)系特征

定理1 屬于三個不同特征根的不變點或不變直線線性無關(guān).

證明 設與射影變換(1)的特征根λi(i=1,2,3)相對應的不變點為xi(i=1,2,3),則(A-λiE)xi=0,即Axi=λixi,(i=1,2,3).

由于無以(0,0,0)為射影坐標的點,所以單個的不變點必然線性無關(guān).

下證屬于兩個不同特征根的不變點線性無關(guān).假設有

ax1+bx2=0,(a,b∈R)

(2)

成立.

(2)式兩端乘以λ2,得aλ2x1+bλ2x2=0,

(3)

(2)式兩端施行變換A,即有

aλ1x1+bλ2x2=0

(4)

(4)式減去(3)式,得到a(λ1-λ2)x1=0,

由于x1≠0,λ1-λ2≠0,所以a=0這時(2)變成bx2=0,又x2≠0,所以b=0.這就證明了x1,x2線性無關(guān).

同理可證,屬于三個不同特征根的不變點線性無關(guān).

利用對偶原則,屬于三個不同特征根的不變直線線性無關(guān).

定理2 兩不變點的連線是一條不變直線;對偶地,兩不變直線的交點是一不變點.

證明 設與射影變換(1)的兩不變直線相對應的特征值為λ1,λ2.由定理1知,λ1≠λ2,又兩條直線有且只有一個交點,記為x.假設x為非不變點,則(A-λiE)x=0,(i=1,2)均無解(只有零解),從而|A-λiE|≠0,(i=1,2).這與λi(i=1,2)是|A-λE|=0的根矛盾.

因此,兩不變直線的交點是一不變點.

利用對偶原則,兩不變點的連線是一條不變直線.

推論 2 不變直線上必存在不變點;對偶地,過不變點必存在不變直線.

定理3 若f(λ)=0有三不等根,則(1)有三個不共線的不變點與三條不共點的不變直線,且每個不變點是其中兩條不變直線的交點,每條不變直線通過其中兩個不變點.

證明 設f(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)=0,λi(i=1,2,3)互不相同.由定理1知,(1)有三個不同的不變點與三條不同的不變直線,且三個不變點不共線,三條不變直線不共點,其中Pi,li屬于同一特征根且Pi?li,(i=1,2,3).再由定理2可知,(1)的每個不變點是其中兩條不變直線的交點,每條不變直線通過其中兩個不變點.

推論3 若f(λ)=0有三個不等實根,則(1)可簡記為

其中ρ1ρ2ρ3≠0.

證明 設相應于特征根λ1所決定的不變點取為新的坐標三點形的一個頂點A1(1,0,0),由(A-λE)x=0得ρ1=a11,a21=a31=0.同理,對其余兩個不變點取為新的坐標三點形的另兩個頂點,則分別得出ρ2=a22,a12=a32=0和ρ3=a33,a13=a23=0.故結(jié)論成立.

定理4 若f(λ)=0有一個二重根,則(1)或有兩不變點P1,P2與兩不變直線l1,l2,且P1,P2處于l1或l2上,其中有一點是l1與l2的交點;或有一不變點列l(wèi)1與一不變線束P1且P1?l1,這時不變點與不變直線均有無窮多個.

證明 設f(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)2=0,其中λ1≠λ2.

1°λ=λ1可決定一個不變點P1與一條不變直線l1.

2°若λ=λ2決定的矩陣(A-λE)的秩為2,則λ=λ2也決定一個不變點P2與一條不變直線l2.這時P1,P2應處于l1或l2上,其中一個是l1與l2的交點,因為P1?l1,從而一定有P1,P2∈l2(否則l1與l2的交點是不同于P1,P2的不變點或P1,P2的連線是不同于l1與l2的不變直線.矛盾).

3°若λ=λ2決定的矩陣(A-λE)的秩為1,此時,λ=λ2決定無窮多個不變點,其軌跡是一條不變直線且就是l1;對偶地,λ=λ2也決定了無窮多條不變直線,其交點是一不變點恰為P1,此時射影變換稱為平面的同調(diào),l1為同調(diào)的軸,而P1為該同調(diào)的中心.

定理5 設f(λ)=0有三重根,若(A-λ1E)的秩為2,則(1)只有一個不變點與一條不變直線,且不變點在不變直線上;若(A-λ1E)的秩為1,則(1)有一不變點列與一不變線束,且線束頂點在不變點列上.

證明 設f(λ)=(λ-λ1)3=0

1°若(A-λ1E)的秩為2,則(1)只有一個不變點P與一條不變直線l(否則(A-λ1E)的秩不等于2),再由推論2知,P∈l.

2°若(A-λ1E)的秩為1,則λ=λ1決定無窮多個不變點,其軌跡是一條不變直線l,同時λ=λ1也決定了無窮多條不變直線,它們相交于l上一點P(否則,l外就存在有不變點.矛盾).此時射影變換稱為擴張,此時同調(diào)中心落在該同調(diào)的軸上.

定理6 設射影變換φ∶ρx/=Ax,且At=A.則

(1)若射影變換φ有不變點(x1,x2,x3),則φ有不變直線[x1,x2,x3];

(2)若射影變換φ有以[x1,x2,x3]為底的不變點列,則φ有以(x1,x2,x3)為頂點的不變線束.

證明 由(A-λE)x=0,(At-λE)u=0,結(jié)合At=A易證.

2.2 不變元素的分布對射影變換的影響

定理7 若射影變換(1)保持x3=0不變,則方程為

|A|=|aij|≠0,ρ≠0.

此時射影變換為仿射變換.

|A|=|aij|≠0,ρ≠0.

若轉(zhuǎn)化為非齊次形式為

顯然符合形式

此時射影變換是仿射變換.

定理8 若射影變換(1)保持x3=0上任一點均不變,則方程為

|A|=|aij|≠0,ρ≠0.

此時射影變換為位似變換.

證明 取點P(1,0,0),Q(0,1,0),R(1,1,0)代入(1),得

因此,a21=a31=a12=a32=0,a11=a22≠0.此時(1)變?yōu)?/p>

|A|=|aij|≠0,ρ≠0.

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