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    Sn上的變換群探究

    2010-01-25 02:29:04鄧艷娟
    通化師范學(xué)院學(xué)報 2010年12期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積洛倫茲弧度

    鄧艷娟,陳 軍

    (中國青年政治學(xué)院 經(jīng)濟系,北京 100089)

    1 Sn上的簡單介紹

    Sn為n維球空間,定義為

    1.1 球坐標(biāo)表示

    下面討論中,用·代表歐氏內(nèi)積,<,>代表洛倫茲內(nèi)積.令C為Sn上的中心為c∈Sn,弧度為θ,0<θ<π的n維閉-cap,

    C={x∈Sn∶x·c≥cosθ}.

    (1)

    此時對于Sn上的屬于C的點x我們可以表示為

    x·c-1·cosθ≥0,

    (2)

    由于sinθ>0,我們有

    (3)

    可用(n+2)維向量來表示點x和cap-C,令

    (4)

    即確定了Sn上的一個定向球.由上可知,

    定理1 球空間上的定向球與洛倫茲空間中的點一一對應(yīng).

    ≥0.

    (5)

    性質(zhì)1 (1)如果一個向量C表示一個cap當(dāng)且僅當(dāng)C滿足條件=1;(2)如果一個向量表示一點X當(dāng)且僅當(dāng)=0并且X的第一個分量為1.

    由此規(guī)定,如果有正數(shù)λ,點λX與X表示同一點.

    如果一個capC=(cotθ,cscθc)的中心為c,弧度為θ,那它的補C′記為中心為-c,弧度為π-θ的cap.C′的坐標(biāo)表示記為-C.

    性質(zhì)2 n-1維球上的點X是C和C′的公共邊界點當(dāng)且僅當(dāng)=0.

    特別的,當(dāng)γ是大圓時,反演就是得到γ的那個截Sn的平面的反射.如果γ不是大圓,那么就有Rn+1中唯一一點與γ上點的連線與Sn相切.

    由于球坐標(biāo)的引入,可將球上的反演線性化.所以有

    定理2U關(guān)于C和C′的公共邊界的反演記為線性變換

    U→U′=U-2C

    (6)

    證明 只需驗證變換保持線性和保內(nèi)積.

    假設(shè)U,V為球上cap,U′,V′為U,V關(guān)于C和C′的公共邊界的反演,所以有內(nèi)積

    (7)

    對于球上的點上式同樣成立.由此說明變換將cap映成cap,點映成點.特別的,當(dāng)C為半球時,即C=(0,c)(C的第一個分量為0),c為n-維平面的法向,此時反射即為我們的反演.點X=(1,x)的反射

    x→x-2(c·x)c.

    通常情況下,C不是半球時,點X的反演可寫成

    (8)

    其中

    λ=?1+cos2θ-2(c·x)cosθ」csc2θ

    (9)

    容易看出λ>0并且==0,X′是球上的點,并且可看出點x′是x和θc的線性組合.

    1.2 定向球之間的位置關(guān)系

    任意兩個定向球C1=(cotθ1,cscθ1c1),C2=(cotθ2,cscθ2c2).=cosθ,其中θ為兩個定向球之間的夾角.

    由洛倫茲內(nèi)積我們有,

    (10)

    另一方面,x∈定向球C上,有法向量n在C和x確定的平面上,C=ax+bn,a=C·x=cosθ.同時又有=1,故可得到b=sinθ.因此,

    (11)

    由此可看出

    定理3 兩個定向球之間的夾角即為兩個定向球法向之間的夾角.

    通過夾角θ,可以來判斷兩個定向球的位置關(guān)系:

    (1)當(dāng)θ=0,兩個定向球相內(nèi)切,=1;

    (2)當(dāng)θ=0,兩個定向球相外切,=-1;

    (3)當(dāng)θ≠0,π,兩個定向球相交,||<1;

    (4)兩個定向球相外離,即||>1;

    (5)兩個定向球正交,即=0.

    1.3 相切的定向球之間的位置關(guān)系

    定理4 定向球C1,C2∈Sn,C1,C2相切,即

    ===1,則有

    tC1+(1-t)C2,t∈R.

    證明 過C1,C2的直線為

    C=tC1+(1-t)C2∈Sn,t∈R,

    (12)

    此時說明Sn上相切的一簇定向球?qū)?yīng)洛倫茲空間中的一條直線.

    2 Sn上的四種變換群

    定義1 球Sn上反演變換的復(fù)合就是M?bius變換群.

    性質(zhì)3 保正向的洛倫茲變換群O+(n+1,1)是O(n+1,1)的子群.

    定義3 如果映射σ∶Sn→Sn是微分同胚且滿足σ*g=λg,λ∈C∞,這時我們稱σ為Sn上共形變換群.

    定義4 如果映射σ∶Sn→Sn是微分同胚且把Sn上每個Sn-1變成Sn-1,這時我們稱σ為Sn上保球換群.

    性質(zhì)4 保球變換將定向球映到定向球.

    參考文獻:

    [1] Blaschke. W.Verlesungen ueber Differentiallgeometry.Vol[M]. Springer, Berlin , 1929.

    [2] Bryant, R.A dualitytheorem for Willmore surfaces[J].Differential Geom, 1984(20):23-53.

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    [4]Kulkarni, R.S. and Pinkall, U. Conformal Geometry.Aspecs[M].Math. E12, Friedr. Vieweg Son, Braunschweig, 1988.

    [5]Li, H.Zh., Liu, H.L., Wang, C.P. and Zhao, G.S., M bius isoparametric hypersurfaces inSn+1with two distinct principle curvatures[J]. Acta Math. Sinica, English series , 2002(18):437-446.

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