一道例題的有效變式練習(xí)——一元二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)例題的教學(xué)案例

?浙江省海鹽縣教研室 沈順良

一道例題的有效變式練習(xí)
——一元二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)例題的教學(xué)案例

?浙江省海鹽縣教研室 沈順良

例題是具有一定代表性的典型問題，變式練習(xí)能有效地引導(dǎo)學(xué)生探究并理解知識(shí)實(shí)質(zhì)，也能將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行拓展，下面試呈現(xiàn)一個(gè)例題的有效變式練習(xí).

1.鋪墊式練習(xí)：

求y=x2-3x+2的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

師：函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)是一個(gè)幾何特征，能否直接由圖得到？

生：不能準(zhǔn)確地得到.

師：那可否由函數(shù)解析式用代數(shù)方法得到？

生：可以，y軸上的點(diǎn)滿足條件x=0，因此將x=0代入可得y=2，從而函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）.

師：從本題可以看出，當(dāng)函數(shù)圖像的幾何特征用幾何方法難以求出時(shí)可以用函數(shù)表達(dá)式借助代數(shù)方法來解決，函數(shù)圖像本身是滿足函數(shù)關(guān)系式的（x，y）所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合，這時(shí)必須清晰它們之間的轉(zhuǎn)化.

【點(diǎn)評(píng)：（1）通過鋪墊問題解決探究的過程引導(dǎo)，滲透了函數(shù)問題解決中的數(shù)形結(jié)合思想，這在二次函數(shù)教學(xué)中也是一個(gè)重要任務(wù)；（2）輔助理解，分散難點(diǎn).相對(duì)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)來說，函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)較易理解，有了這樣的鋪墊，借助正遷移能幫助學(xué)生解決理解函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)這一難點(diǎn).】

2.例題練習(xí)：

求y=x2-3x+2的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

師：上題中函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x2-3x+2中當(dāng)x取0時(shí)對(duì)應(yīng)的y值，那么類比上題，函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)是什么？

生：同樣由圖像難以得到，由于x軸上的點(diǎn)滿足y=0，故對(duì)應(yīng)于函數(shù)y=x2-3x+2中當(dāng)y取0時(shí)的點(diǎn).

師：那如何求？

生：和上面類似，將y=0代入得x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2，從而得到所求交點(diǎn)為（1，0），（2，0）.

師：本題的解決包含了哪些轉(zhuǎn)化問題？

生：與上題一樣有幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化，還有是函數(shù)到方程的轉(zhuǎn)化.

【點(diǎn)評(píng)：有前面問題解決做鋪墊，學(xué)生容易理解函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)即為縱坐標(biāo)（函數(shù)值）取0時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，又有上題的轉(zhuǎn)化鋪墊，學(xué)生也自然想到將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)解方程來解決，后面的引導(dǎo)性問題滲透了數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.】

3.理解性變式練習(xí)：

求y=x2-3x+2的圖像與直線y=2的交點(diǎn)坐標(biāo).

師：此問題與上題有何關(guān)系？

生：就是將上題的y=0改為y=2，因此轉(zhuǎn)化也是類似的，即是函數(shù)y=x2-3x+2圖像中函數(shù)值（縱坐標(biāo)）取2時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

師：具體如何求呢？

生：將y=2代入轉(zhuǎn)化為方程x2-3x+2=2，即x2-3x=0，方程的解為x=0，x=3，因此函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)為（0，0），（3，0）.

【點(diǎn)評(píng)：通過將函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)變式為與直線y=2的交點(diǎn)，更從一般意義上讓學(xué)生理解到函數(shù)圖像上的具體點(diǎn)即是縱（橫）坐標(biāo)已知下求橫（縱）坐標(biāo)，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程來解決.】

4.探究式變式練習(xí)：

求y=x2-3x+3的圖像與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

師：如何求與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？

生1：與x軸公共點(diǎn)即滿足y=0，也就轉(zhuǎn)化為先求方程x2-3x+3=0的解.

生2：方程是無解的，因?yàn)閎2-4ac=-3＜0.

師：對(duì)，那公共點(diǎn)個(gè)數(shù)怎么樣？

生2：應(yīng)該是沒有公共點(diǎn)的.

師：不錯(cuò)，從這里我們知道了利用方程的工具來解決函數(shù)問題.那么你能否得到y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)？

生3：同樣可轉(zhuǎn)化為方程ax2+bx+c=0的根的個(gè)數(shù)，得到b2-4ac＞0時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)，b2-4ac=0時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，b2-4ac＜0時(shí)有沒有公共點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)：通過變式問題的探究過程，更突出了函數(shù)圖像與x軸公共點(diǎn)即為函數(shù)值為0時(shí)對(duì)應(yīng)方程的根的問題，并且能全面地認(rèn)識(shí)函數(shù)圖像與x軸公共點(diǎn)的情況.】

5.拓展化變式練習(xí)：

（1）下列命題：若b2-4ac＞0，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2或3，該命題正確嗎？

【分析：題中條件可以推出方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，對(duì)應(yīng)到函數(shù)的圖像則與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，再加上它與y軸的公共點(diǎn)得到結(jié)論成立.】

（2）y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)？

【分析：在分類討論中把握二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)問題.】

（3）利用圖像解一元二次方程x2+x-3=0時(shí)，我們采用的一種方法是：在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3，兩圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解.利用圖像解一元二次方程x2+x-3=0，也可以這樣求解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y= 和直線y=-x，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解.

【分析：兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)即為兩個(gè)函數(shù)圖像上縱坐標(biāo)相等時(shí)所對(duì)應(yīng)的同一橫坐標(biāo)，此即為代數(shù)形式中的方程.方程x2+x-3=0的解可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=-x和y=-x2-3的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).】

（4）已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0）的圖像相交于點(diǎn)A（-2，4），B（8，2）（如下圖所示），則能使y1＞y2成立的x的取值范圍是 .

【分析：即使將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入也不能求出其中二次函數(shù)解析式，但觀察圖像可直接得到不等式的解為x＜-2或x＞8.】

【點(diǎn)評(píng)：通過近年來中考試題等新穎試題的要求，其中有一次函數(shù)、二次函數(shù)等，有求交點(diǎn)個(gè)數(shù)，有求方程的解，還有不等式的求解，它們從本質(zhì)上要求學(xué)生理解函數(shù)問題解決中的數(shù)形結(jié)合運(yùn)用，理解函數(shù)方程工具的運(yùn)用.】

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?編輯/張燁