帶利率與紅利邊界的風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率的上界

楊文權(quán)

(江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430056)

1 引言及引理

Sparre Andersen風(fēng)險模型：

(1)

到目前為止已經(jīng)有許多作者討論了帶紅利邊界的風(fēng)險模型,例如,Gerber(1973,1979,1981),Paulsen和Gjessing(1997),Gerber和Shiu(1998,2004),Irb?ck(2000),Albrecher和Kainhofer(2002),Lin et al(2003),Dickson和Waters(2004)[4～10]等等.特別是Lin et al(2003),Gerber和Shiu(1998,2004),以及Dickson和Waters(2004)[11，12]的研究.Gerber(1973,也可以看1979)在1973年研究帶線性紅利邊界的經(jīng)典風(fēng)險模型中，獲得了最終破產(chǎn)概率的Lundberg上界.其結(jié)果是,在風(fēng)險模型(1) 中，設(shè)bt=b+qt(00|R0=u,b0=b).Gerber(1973,1979)得到最終破產(chǎn)概率的Lundberg上界,

(2)

其中R>0是Lundberg指數(shù),即R>0是下面方程的唯一正解:

而S>0是下面方程的唯一正解:

另一方面,對Sparre Andersenan經(jīng)典風(fēng)險模型另一個合理改進則是在此模型中引入利息，例如Sundt 和Tuegels(1995,1997).到目前為止已經(jīng)有大量作者研究了帶利息的風(fēng)險模型.

因此,一個自然的問題是：在經(jīng)典風(fēng)險模型(1)中，既考慮利息又考慮紅利邊界，破產(chǎn)概率的Lundberg上界成立嗎？據(jù)我們所知，在所能查到的文獻中，還沒有發(fā)現(xiàn)有人將利息和紅利邊界同時引入經(jīng)典風(fēng)險模型(1).在本文中，將常數(shù)利息力度和線性紅利邊界引入風(fēng)險模型(1). 研究表明形如(2)的Lundberg上界能夠推廣到帶有利息的情形(參看下面的定理1和注.因此,本文將討論下面的帶有常數(shù)利息力和線性紅利邊界風(fēng)險模型.假設(shè)保險公司以利息力δ>0獲得盈余的利息.考慮的紅利邊界是:

bt=b+qt,

(3)

其中0

(4)

初始盈余R0=u,0≤u≤b0=b.

定義T∶=inf{t≥0∶Rt<0}(∞,otherwise)為盈余過程{Rt;t≥0}的破產(chǎn)時刻.而ψδ(u,b)∶=p(T<∞|R0=u,b0=b)為盈余過程{Rt;t≤0}的最終破產(chǎn)概率.

2 結(jié)論及證明

下面是本文的主要結(jié)果.

定理1 如果存在v(y,t)≥0,t≥0是下面方程的解:

如果y

(5)

(6)

則：

(7)

注一方面，讓δ趨近零,則由式(4)定義的盈余過程{Rt;t≥0}就是Gerber (1973,或1979)討論的盈余過程；另一方面,記m(t)為X1的矩母函數(shù),即m(t)=E(etX1),t∈R，則:

是式(6)、(7)的解，其中r為調(diào)節(jié)系數(shù)R,即r=R是Lundberg基本方程:

的唯一正解，S為:

λm(-S)=λ+qR-(c-q)S,

的唯一正解，則式(7)變成：

這正是Gerber (1979,Chapter IX)中的經(jīng)典結(jié)果式(2).

在證明定理1之前，先給出幾個引理.記:

Ht∶=σ(Rs,s≤t),t≥0,

和

首先給出Gerber (1979)的一個結(jié)論如下.

引理1 若(MR)t=0,t≥0,則{Rt;t≥0}是鞅和條件(5).若(MR)t≤0,t≥0,則{Rt;t≥0}上鞅.

引理2 如果函數(shù)v(y,t)≥0,t≥0滿足條件(5)和條件(6)，則{v(Rt,t);t≥0}是上鞅.

證明由于{(Rt;t);t≥0}是Markov過程,

當(dāng)Ut=y

E[v(Rt+ch+δRth-X1+o(h),t+h)-v(Rt,t)|Rt=y]P(N(t+h)-N(t)=1)+

E[v(Rt+h,t+h)-v(Rt,t)|Rt=y]P(N(t+h)-N(t)≥2}=

E[v(y+ch+δyh-X1+o(h),t+h)-v(y,t)]λhe-λh+

E[v(Rt+h,t+h)-v(y,t)|Rt=y]o(h)}=

同樣地, 當(dāng)Ut=y=b+qt時,

由引理1推出由引理2，從而引理2得證.

定理1的證明由引理2知{v(Rt,t),t≥0}是上鞅, 記:

(8)

另一方面,當(dāng)t≥0,

E(v(RT,T)|T≤t)P(T≤t).

(9)

定理1得證.

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